Для обсуждения и обоснования основных подходов к разработке проблем математического моделирования технических систем и процессов в них представляется целесообразным предварительно рассмотреть условную схему (рис. 1.1), определяющую последовательность проведения отдельных этапов общей процедуры вычислительного эксперимента. Исходной позицией этой схемы служит технический объект (ТО), под которым будем понимать конкретное техническое устройство, его агрегат или узел, систему устройств, процесс, явление или отдельную ситуацию в какой-либо системе или устройстве.
Рис. 1.1 Получение математической модели
На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого (разрабатываемого или существующего) ТО к его расчетной схеме (PC). При этом в зависимости от направленности вычислительного эксперимента и его конечной цели акцентируют те свойства, условия работы и особенности ТО, которые вместе с характеризующими их параметрами должны найти отражение в PC, и, наоборот, аргументируют допущения и упрощения, позволяющие не учитывать в PC те качества ТО, влияние которых предполагают в рассматриваемом случае несущественным. Иногда вместо PC используют термин «содержательная модель» ТО, а в некоторых случаях – «концептуальная модель».
Алгебра Урок3 Три этапа математического моделирования
При разработке новых ТО успешное проведение первого этапа в значительной мере зависит от профессионального уровня инженера, его творческого потенциала и интуиции. Полнота и правильность учета в PC свойств ТО, существенных с точки зрения поставленной цели исследования, являются основной предпосылкой получения в дальнейшем достоверных результатов математического моделирования. И наоборот, сильная идеализация ТО ради получения простой PC может обесценить все последующие этапы исследования.
Содержание второго этапа состоит, по существу, в формальном математическом описании PC. Это описание в виде математических соотношений, устанавливающих связь между параметрами, характеризующими PC TO, и называют математической моделью.
Надо сказать, что для некоторых типовых PC существуют банки ММ, что упрощает проведение второго этапа. Более того, одна и та же ММ может соответствовать PC из различных предметных областей. Однако при разработке новых ТО часто не удается ограничиться применением типовых PC и отвечающих им уже построенных ММ. Создание новых ММ или модификация существующих должны опираться на достаточно глубокую математическую подготовку и владение математикой как универсальным языком науки.
На третьем этапе проводят качественный и оценочный количественный анализ построенной ММ. При этом могут быть выявлены противоречия, ликвидация которых потребует уточнения или пересмотра PC (см. рис. 1.1, штриховая линия). Количественные оценки могут дать основания упростить модель, исключив из рассмотрения некоторые параметры, соотношения или их отдельные составляющие, несмотря на то, что влияние описываемых ими факторов учтено в PC. В большинстве случаев, принимая дополнительные по отношению к PC допущения, полезно построить такой упрощенный вариант ММ, который позволял бы получить или привлечь известное точное решение.
Тихонов Н. А. — Основы математического моделирования — Типы математических моделей (Лекция 1)
Это решение затем можно использовать для сравнения при тестировании результатов на последующих этапах. В некоторых случаях удается построить несколько ММ для одного и того же ТО, отличающихся различным уровнем упрощения.
Итог анализа на рассматриваемом этапе – это обоснованный выбор рабочей ММ ТО, которая подлежит в дальнейшем детальному количественному анализу. Успех в проведении третьего этапа зависит, как правило, от глубины понимания связи отдельных составляющих ММ со свойствами ТО, нашедшими отражение в его PC, что
предполагает органическое сочетание владения математикой и инженерными знаниями в конкретной предметной области.
Четвертый этап состоит в обоснованном выборе метода количественного анализа ММ, в разработке эффективного алгоритма вычислительного эксперимента, а пятый этап – в создании работоспособной программы, реализующей этот алгоритм средствами вычислительной техники. Для успешного проведения четвертого этапа необходимо владеть современными методами вычислительной математики, а при математическом моделировании довольно сложных ТО выполнение пятого этапа требует профессиональной подготовки в области программирования на ЭВМ.
Представленная последовательность этапов носит общий и универсальный характер, хотя в некоторых конкретных случаях она может и несколько видоизменяться. Если при разработке ТО можно использовать типовые PC и ММ, то отпадает необходимость в выполнении некоторых этапов, а при наличии соответствующего программного комплекса процесс вычислительного эксперимента становится в значительной степени автоматизированным. Однако математическое моделирование ТО, не имеющих близких прототипов, как правило, связано с проведением всех этапов описанного «технологического цикла».
Таким образом, этапы математического моделирования можно записать в виде последовательности действий:
1) выбор расчетной схемы и определение необходимой детализации;
2) математическое описание (составление системы уравнений);
3) выбор метода решения;
4) приведение модели (включающей уравнения, метод, исходные данные и начальные условия) к виду, удобному для решения на ЭВМ;
5) составление программы для ЭВМ;
6) проведение расчетов (моделирование);
7) при необходимости повторить шаги 3 – 6;
8) анализ результатов;
9) при необходимости повторить шаги 1 – 8;
10) оформление отчета (описания, схем, рисунков, графиков, формул);
11) при необходимости повторить шаги 1 – 10, 3 – 10, 8 – 10.
Источник: libraryno.ru
Тема 3. Этапы и цели компьютерного математического моделирования
Рассмотрим процесс компьютерного математического моделирования, включающий численный эксперимент с моделью.
Первый этап — определение целей моделирования, основные из них таковы:
1. модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);
2. модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);
3. модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).
Второй этап – поиск математического описания. На этом этапе необходимо перейти от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое наполнение. В этот момент модель предстает перед нами в виде уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциального уравнения или системы таких уравнений.
Когда математическая модель сформирована, выбираем метод ее исследования. Как правило, для решения одной и той же задачи есть несколько конкретных методов, различающихся эффективностью, устойчивостью и т.д. от верного выбора метода часто зависит успех всего процесса.
Разработка алгоритма и составление программы для ЭВМ – это творческий и трудно формируемый процесс. В настоящее время при компьютерном математическом моделировании наиболее распространенными являются приемы процедурно-ориентированного (структурного) программирования.
После составления программы решаем с ее помощью простейшую тестовую задачу (желательно с заранее известным ответом) с целью устранения грубых ошибок. Это лишь начало процедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом по существу, тестирование может продолжаться долго и закончиться тогда, когда пользователь по своим профессиональным признакам сочтет программу верной.
Затем следует соответственно численный эксперимент, и выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментальными с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов.
Последовательность этапов моделирования:
1. Цель;
2. Объект;
3. Модель;
4. Метод;
5. Алгоритм;
6. Программа;
7. Эксперимент;
8. Анализ;
9. Уточнение.
Раздел 1. Задачи линейного программирования.
Источник: studopedia.su
Последовательность этапов математического моделирования
Последовательность этапов математического моделирования. Рассмотрим условную схему, определяющую последовательность отдельных этапов общей процедуры математического моделирования. Исходной позицией этой схемы служит технический объект (ТО), под которым понимают конкретное техническое устройство, агрегат или узел, систему устройств, процесс, явление или отдельную ситуацию в какой-либо системе или устройстве.
На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого (разрабатываемого или существующего) ТО к его расчетной схеме (РС). При этом в зависимости от направленности вычислительного эксперимента и его конечной цели выделяют те свойства, условия работы и особенности объекта, которые вместе с характеризующими их параметрами должны найти отражение в РС, и аргументируют допущения и упрощения, позволяющие не учитывать в РС те качества ТО, влияние которых предполагают в рассматриваемом случае несущественным. Иногда вместо РС используют термин содержательная модель, а в некоторых случаях говорят о концептуальной модели.
В сложившихся инженерных дисциплинах помимо описательной (вербальной) информации для характеристики РС разработаны специальные приемы и символы наглядного графического изображения. По ряду новых направлений развития техники подобная символика находится в стадии формирования.
При разработке новых ТО успешное выполнение первого этапа в значительной мере зависит от профессионального уровня инженера, его творческого потенциала и интуиции. Полнота и правильность учета в РС свойств ТО, существенных с точки зрения цели исследования, являются основной предпосылкой получения в дальнейшем достоверных результатов математического моделирования. И наоборот, сильная идеализация ТО ради получения простой РС может обесценить выполнение всех последующих этапов исследования.
Содержание второго этапа заключается, по существу, в формальном, математическом описании РС. Это описание в виде математических соотношений, устанавливающих связь между параметрами расчетной схемы ТО, и называют математической моделью (ММ). Для некоторых типовых РС существуют банки ММ, что упрощает процедуры второго этапа. Более того, одна и та же ММ может соответствовать расчетным схемам из различных предметных областей. Однако при разработке новых ТО часто не удается ограничиться применением типовых РС и отвечающих им уже построенных ММ.
Создание новых ММ или модификация существующих должны опираться на достаточно глубокую математическую подготовку и владение математикой как универсальным языком науки.
На третьем этапе проводят качественный и оценочный количественный анализ построенной ММ. При этом могут быть выявлены противоречия, ликвидация которых потребует уточнения или пересмотра РС. Количественные оценки могут дать основания упростить модель, исключив из рассмотрения некоторые параметры, соотношения или их отдельные составляющие, несмотря на то что влияние описываемых ими факторов учтено в РС.
В большинстве случаев, приняв дополнительные по отношению к РС допущения, полезно построить такой упрощенный вариант ММ, который позволял бы получить или применить известное точное решение. Это решение затем можно использовать для сравнения при тестировании результатов на последующих этапах процедуры математического моделирования. В некоторых случаях для одного и того же ТО удается построить несколько ММ с различным уровнем упрощения. В таких случаях говорят об иерархии ММ, имея в виду их упорядочение по признаку сложности и полноты.
Построение иерархии ММ связано с различной детализацией свойств изучаемого ТО. Сравнивая результаты исследования различных ММ, можно существенно расширить и обогатить знания об этом ТО. Кроме того, такое сравнение позволяет оценить достоверность результатов последующего вычислительного эксперимента: если более простая ММ правильно отражает некоторые свойства ТО, то результаты исследования этих свойств должны быть близки к результатам, полученным при использовании более полной и сложной ММ.
Итог рассматриваемого этапа состоит в обоснованном выборе рабочей математической модели ТО, которая подлежит в дальнейшем детальному количественному анализу. Успех третьего этапа зависит, как правило, от глубины понимания связи отдельных составляющих ММ со свойствами ТО, нашедшими отражение в его РС, что предполагает органичное сочетание владения математикой и инженерными знаниями в конкретной предметной области.
Результаты вычислений, получаемые на шестом этапе в итоге работы программы, должны прежде всего пройти тестирование путем сопоставления с данными количественного анализа упрощенного варианта ММ рассматриваемого ТО. Тестирование может выявить недочеты как в программе, так и в алгоритме и потребовать либо доработки программы, либо модификации и алгоритма, и программы.
Анализ результатов вычислений, и их инженерная интерпретация могут вызвать необходимость в корректировке РС и соответствующей ММ.
Представленная последовательность этапов носит достаточно общий и универсальный характер, хотя в некоторых конкретных случаях она может быть несколько изменена.
Если при разработке, ТО можно использовать типовые РС и ММ, то отпадает необходимость в выполнении ряда этапов, а при наличии соответствующего программного комплекса процесс математического моделирования становится в значительной степени автоматизированным.
Однако математическое моделирование ТО, не имеющих близких прототипов, как правило, связано с проведением всех этапов описанного технологического цикла.
Осуществление отдельных этапов требует определенных знаний, навыков и практической подготовки. Если на первом, седьмом и частично на шестом этапах решают инженерные задачи, то второй, третий и четвертый этапы требуют обычно серьезной математической подготовки, а пятый — навыков в разработке и отладке ЭВМ-программ. Поэтому к математическому моделированию сложных ТО приходится привлекать и инженеров, и математиков, и программистов.
Однако для координации их усилий необходимы специалисты, способные выполнять каждый из рассмотренных этапов на высоком профессиональном уровне. Подготовка таких специалистов составляет одну из ключевых проблем, от успешного решения которой зависит эффективное использование возможностей математического моделирования в развитии и совершенствовании техники. Решение этой проблемы, вероятно, по силам ряду созданных в последние десятилетия технических университетов.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Источник: studopedia.ru