1. Найти область определения функции, классифицировать точки разрыва
2. Исследовать функцию на четность и периодичность
3. Провести анализ асимптотического поведения функции (наличие вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот) (см. §41 данного справочника)
4. Взять первую производную. Определить критические точки, интервалы монотонности, точки экстремума
5. Взять вторую производную. Определить критические точки 2-го порядка, интервалы выпуклости и точки перегиба
6. Найти точки пересечения функции с осями координат (если уравнение (f(x)=0) не имеет аналитического решения, указать количество точек пересечения с осью OX)
7. Построить график функции
п.2. Примеры
Пример 1. Постройте график функции (y=2x^3-6x^2-18x+7)
1) Область определения (xinmathbb)
Точек разрыва нет
2) Четность begin f(-x)=2(-x)^3-6(-x)^2-18(-x)+7ne left[ begin f(x)\ -f(x) end right. end Функция ни четная, ни нечетная.
Периодичность: функция не периодическая
Компонент Chart. Построение графика функции
3) Асимптоты
1. Вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные асимптоты: begin b_1=lim_2x^3-6x^2-18x+7=-infty\ b_2=lim_2x^3-6x^2-18x+7=+infty\ end Пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
3. Наклонные асимптоты: begin k_1=lim_frac=+infty\ k_2=lim_frac=+infty\ end Пределы бесконечны, наклонных асимптот нет.
4) Первая производная begin f'(x)=2cdot 3x^2-6cdot 2x-18cdot 1+0=6x^2-12x-18=6(x^2-2x-3)=\ =6(x-3)(x+1)\ f'(x)=0 text left[ begin x=3\ x=-1 end right. end Критические точки: (x=-1) и (x=3)
Составляем таблицу:
| (x) | ((-infty;-1)) | -1 | (-1;3) | 3 | ((3;+infty)) |
| (f'(x)) | >0 | >0 | |||
| (f(x)) | (nearrow) | max | (searrow) | min | (nearrow) |
Функция возрастает при (xin(-infty;-1)cup(3;+infty))
Функция убывает при (xin(-1;3))
Точка максимума (x=-1; y_=f(-1)=-2-6+18+7=17)
Точка минимума (x=3; y_=f(3)=54-54-54+7=-47)
5) Вторая производная: begin f»(x)=(6x^2-12x-18)’=6cdot 2x-12cdot 1-0=12x-12=12(x-1)\ f»(x)=0 text x=1 end Критическая точка 2-го порядка: (x=1)
Составляем таблицу:
| (x) | ((-infty;1)) | 1 | ((1;+infty)) |
| (f»(x)) | >0 | ||
| (f(x)) | (cap) | перегиб | (cup) |
Функция выпуклая вверх при (xin(-infty;1))
Функция выпуклая вниз при (xin(1;+infty))
Точка перегиба (x=1; f(1)=2-6-18+7=-15)
Как сделать график функции на языке C++
6) Точки пересечения с осями координат
Пересечение с осью OY: (x=0, y=7)
Пересечение с осью OX: $$ 2x^3-6x^2-18x+7=0 $$ У кубической параболы точка максимума (-1;17), точка минимума (3;-47).
Т.к. (y_gt 0, y_lt 0) кубическая парабола пересекает ось OX в трех точках: $$ x_1lt -1, -1lt x_2lt 3, x_3gt 3 $$
7) График
Пример 2. Постройте график функции (y=frac3x+frac x3)
1) Область определения
ОДЗ: (xne 0)
(x=0) — точка разрыва. Исследуем односторонние пределы: begin lim_left(frac 3x+frac x3right)=frac+0=-infty, lim_left(frac 3x+frac x3right)=frac+0=+infty end Пределы не равны и бесконечны. (x=0) — точка разрыва 2-го рода.
2) Четность $$ f(-x)=frac+frac=-left(frac 3x+frac x3right)=-f(x) $$ Функция нечётная.
Периодов нет. Функция не периодическая.
3) Асимптоты
1. Вертикальная асимптота (x=0) – точка разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные асимптоты begin b_1=lim_left(frac 3x+frac x3right)=0+(-infty)=-infty\ b_2=lim_left(frac 3x+frac x3right)=0+(+infty)=+infty end Пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
3. Наклонные асимптоты: begin k_1=frac1x lim_left(frac 3x+frac x3right)=lim_left(+frac13right)=0+frac13=frac13\ k_1=frac1x lim_left(frac 3x+frac x3right)=lim_left(+frac13right)=0+frac13=frac13\ k=k_1=k_2=frac13 end Ищем b: $$ b=lim_(y-kx)=lim_left(frac3x+frac x3-frac x3right)=lim_frac 3x=0 $$ Есть одна наклонная асимптота (y=frac 3x)
Кривая стремится к ней на минус и плюс бесконечности.
| (x) | ((-infty;-3)) | -3 | (-3;0) | ((0;3)) | 3 | ((3+infty)) | |
| (f'(x)) | >0 | (varnothing) | >0 | ||||
| (f(x)) | (nearrow) | max | (searrow) | (varnothing) | (searrow) | min | (nearrow) |
Функция возрастает при (xin(-infty;-3)cup(-3;+infty))
Функция убывает при (xin(-3;0)cup(0;3))
Точка максимума (x=-3; y_=f(-3)=-1-1=-2)
Точка минимума (x=3; y_=f(3)=1+1=2)
5) Вторая производная: begin f»(x)=frac13left(1-fracright)’=frac13left(0+fracright)=frac end Вторая производная нулей не имеет.
Критическая точка 2-го порядка: (x=0)
Составляем таблицу:
| (x) | ((-infty;0)) | ((0;+infty)) | |
| (f»(x)) | (varnothing) | >0 | |
| (f(x)) | (cap) | (varnothing) | (cup) |
Функция выпуклая вверх при (xin(-infty;0))
Функция выпуклая вниз при (xin(0;+infty))
Точек перегиба нет.
6) Точки пересечения с осями
Пересечение с осью OY: (x=0notin D) — не входит в ОДЗ, пересечений с OY нет
Пересечение с осью OX:
(frac3x+frac x3=0Rightarrow frac=0Rightarrow xin varnothing) — решений нет, пересечений с OX нет
7) График
Пример 3*. Постройте график функции (y=frac)
Сколько корней имеет уравнение (frac=a)?
1) Область определения
ОДЗ: (xne 1)
(x=1) — точка разрыва. Исследуем односторонние пределы: begin lim_frac=frac=frac=+infty\ lim_frac=frac=frac=-infty end Пределы не равны и бесконечны. (x=1) — точка разрыва 2-го рода.
2) Четность $$ f(-x)=fracne left[ begin f(x)\ -f(x) end right. $$ Функция ни четная, ни нечетная.
Периодичность: функция не периодическая
| (x) | ((-infty;-2)) | -2 | (-2;1) | 1 | ((1;2)) | 2 | ((2+infty)) |
| (f'(x)) | >0 | (varnothing) | >0 | ||||
| (f(x)) | (searrow) | min | (nearrow) | (varnothing) | (nearrow) | max | (searrow) |
Функция возрастает при (xin(-2;1)cup(1;2))
Функция убывает при (xin(-infty;-2)cup(2;+infty))
Точка максимума (x=2; y_=f(2)=frac=4)
Точка минимума (x=-2; y_=f(-2)=frac=frac=frac49)
| (x) | ((-infty;x_1)) | (x_1) | ((x_1;1)) | 1 | ((1;x_2)) | (x_2) | ((x_2;+infty)) |
| (f»(x)) | >0 | (varnothing) | >0 | ||||
| (f(x)) | (cap) | перегиб | (cup) | (varnothing) | (cap) | перегиб | (cup) |
Функция выпуклая вверх при (xin(-infty;x_1)cup(1;x_2))
Функция выпуклая вниз при (xin(x_1;1)cup (x_2;++infty))
Точки перегиба: $$ begin x=frac>approx -3,37\ yapprox 0,51 end, begin x=frac>approx 2,37\ yapprox 3,62 end $$
6) Точки пересечения с осями
Пересечение с OY: (x=0, y=frac=4)
Пересечение с осью OX:
(frac=0Rightarrow x=sqrt[3], y=0)
7) График
Чтобы узнать количество корней уравнения (frac=a), нужно снизу вверх двигать горизонталь (y=a) и считать количество точек её пересечения с графиком функции.
Последовательно, получаем:
(altfrac) — один корень
(a=frac49) – два корня
(frac49lt alt 1) — три корня
(a=1) – два корня
(1lt alt 4) – три корня
(a=4) — два корня
(agt 4) — один корень
Ответ:
(altfrac49cup agt 4), один корень
(a=left\), два корня
(fraclt 1lt 1cup 1lt alt 4), три корня
Пример 4*. Постройте график функции (y=sin^4x+cos^4x), используя правила преобразования тригонометрических функций и с помощью стандартной процедуры исследования функции
1) Область определения (xinmathbb)
2) Четность $$ f(-x)=sin^4(-x)+cos^4(-x)=sin^4x+cos^4x=f(x) $$ Функция четная.
Чтобы найти период, преобразуем тригонометрическое выражение, применяя формулы понижения степени (см. §15 данного справочника): begin sin^4x+cos^4x=left(fracright)^2+left(fracright)^2=\ =frac14(1-2cos2x+cos^2 2x+1+2cos2x+cos^2 2x)=frac=\ =frac12left(1+fracright)=frac end Функция периодическая с периодом (T=frac<2pi>=frac pi 2)
Исходя из полученного выражения и применяя правила преобразования графиков тригонометрических функций (см. §8 данного справочника), можно сразу получить результат. $$ y=frac=frac34+frac14 cos4x $$ Цепочка преобразований: $$ x xrightarrow1 4xxrightarrow2 cos4x xrightarrow3 frac14xrightarrow4 frac34+frac14 cos4x $$ Пошагово получаем:
1. Умножение аргумента на 4 приводит к уменьшению периода в 4 раза (T=fracpi 2)
2. Косинус – функция четная, при (x=0, cos4x=1), остальные единицы будут через период: (x=frac<pi k>, cos4x=1). Соответственно: (x=fracpi 4+frac<pi k>0 ,cos4x=-1).
Нули функции: (x=fracpi 8+frac<pi k>, cos4x=0).
3. Умножение на (frac14) уменьшает амплитуду косинусоиды в 4 раза: (-frac14leqfrac14 cos4xleq frac14)
4. Прибавление (frac34) перемещает график на (frac34) вверх: (frac12leqfrac34+frac14 cos4xleq 1)
Получаем график:
Продолжим стандартное исследование функции.
3) Асимптоты
1. Вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва 2-го рода.
2. Горизонтальных асимптот нет, т.к. нет пределов на бесконечности.
3. Наклонных асимптот нет, т.к. на бесконечности отношение ограниченной тригонометрической функции к бесконечному x дает (k=0).
4) Первая производная:
Исследуем промежуток, равный одному периоду (T=fracpi 2, 0leq xleqfracpi 2) begin f'(x)=(sin^4 x+cos^4 x)’=left(fracright)’=0-frac14cdot 4cdot sin4x=-sin4x\ sin4x=0Rightarrow 4x=pi kRightarrow x=frac<pi k> end Критические точки: (x=frac<pi k>). На периоде (T=fracpi 2) получаем три точки (x=left<0;fracpi 4;fracpi 2right>)
| (x) | (left(0;fracpi 4right)) | (fracpi 4) | (left(fracpi 4;fracpi 2right)) | (fracpi 2) | |
| (f'(x)) | >0 | ||||
| (f(x)) | 1 max |
(searrow) | (frac12) min |
(nearrow) | 1 max |
Функция убывает при (xinleft(frac<pi k>;fracpi 4+frac<pi k>right))
Функция возрастает при (xinleft(fracpi 4+frac<pi k>;fracpi 2+frac<pi k>right))
Точки минимума (x=fracpi 4+frac<pi k>; y_=frac12)
Точки максимума (x=frac<pi k>; y_=1)
5) Вторая производная: begin f»(x)=(-sin4x)’=-4cos4x\ cos4x=0Rightarrow 4x=fracpi 2+pi kRightarrow x=fracpi 8+frac<pi k> end Критические точки 2-го порядка: (x=fracpi 8+frac<pi k>).
На периоде (T=fracpi 2) получаем две точки (x=left<fracpi 8;frac<3pi>right>)
| (x) | (left(0;fracpi 8right)) | (fracpi 8) | (left(fracpi 8;frac<3pi>right)) | (frac<3pi>) | (left(frac<3pi>;fracpi 2right)) |
| (f»(x)) | >0 | ||||
| (f(x)) | (cap) | перегиб | (cup) | перегиб | (cap) |
Функция выпуклая вниз при (xinleft(fracpi 8+frac<pi k>;frac<3pi>+frac<pi k>right))
Функция выпуклая вверх при (xinleft(-fracpi 8+frac<pi k>;fracpi 8+frac<pi k>right))
Точки перегиба: ( x=fracpi 8+frac<pi k>, y=fracright)>=frac=frac34 )
6) Точки пересечения с осями
Пересечение с OY: (x=0, y_=1)
Пересечение с осью OX: т.к. функция ограничена (frac12leq yleq 1), пересечений с OX нет.
7) График
График тот же, что и полученный с помощью правил преобразований графиков тригонометрических функций. Добавились только точки перегиба.
Источник: reshator.com
Разработать программу построения графика функции на оцифрованной сетке. Протабулировать функцию на отрезке для вводимого числа точек n
Лабораторная работа Задание на графику / задача из РК программа в Lazarus. В архиве также файл с объяснениями работы программы.
Условие:
Задание на графику. Разработать программу построения графика функции на оцифрованной сетке. Протабулировать функцию на отрезке для вводимого числа точек n Гопоциклоида описываемая уравнениями:
x = 2*a*cos(f) + a*cos(2*f) ,
y = 2*a*sin(f) + a*cos(2*f) ,
при f = [-90, +90], a = 1.5
Вариант 11
Вот так выглядит форма в сделанном виде: 
Лабораторная работа Задание на графику / задача из РК программа в Lazarus. В архиве также файл с объяснениями работы программы. Условие: Разработать программу построения графика функции на оцифрованной сетке. Протабулировать функцию на отрезке для вводимого числа точек n
Источник: studizba.com
Цель работы: Ознакомить с операторами работы с графикой. Научить составлять, вводить, редактировать и отлаживать программ работы с графикой.
Для построения графика функции необходимо построить систему координат. Для задания расположения системы координат на экране и направления осей координат используется оператор WINDOW .
WINDOW [ SCREEN ] ( X 1, Y 1)-( X 2, Y 2) – задает собственную систему координат в области просмотра, где:
SCREEN – инвертирует обычное направление декартовых координат Y на экране так, что значения Y увеличиваются на экране сверху вниз.
х1, y 1 – координаты левого верхнего экрана области просмотра.
х2, y 2 – координаты правого нижнего экрана области просмотра.
WINDOW без аргументов выключает систему координат.
Пример 1. Построить график функции y =20 sin 5х на отрезке х Î [-90 ° ,90 ° ] с шагом 15 ° .
Указания: Так как в QBASIC значения аргументов задаются в радианах, то необходимо использовать соотношение: .
Y = 20 * SIN(5* (-90) * P / 180)
FOR X = -90 TO 90 STEP 15
Y = 20 * SIN(5 * X * P / 180)
IF Y > MAX THEN MAX = Y
WINDOW (-90, MAX)-(90, MIN)
X = -90: Y = 20 * SIN(5 *X* P / 180)
FOR X = -90 TO 90 STEP 15
Y = 20 * SIN(5 * X * P/ 180)
Устанавливаем графический режим экрана
Вычисляем значение функции в точке х=-90
Вычисляем минимальное и максимальное значение функции на отрезке х Î [-90 ° ,90 ° ]
Задаем систему координат в области просмотра
Проводим горизонтальную ось координат
Проводим вертикальную ось координат
Рисуем начальную точку графика
Построение графика путем последовательного рисования отрезков. Цвет линий- зеленый.
Обратите внимание, что кривая графика состоит из отдельных отрезков. Для сглаживания кривой задайте шаг изменения значений Х равной 2. Убедитесь, что кривая стала более гладкой.
Недостатком построенного графика является то, что нижняя часть графика как бы не прорисована. Это произошло вследствие наложения надписи «Для продолжения нажмите любую клавишу» на график. Необходимо расширить диапазон значений Y системы координат. Для этого измените строку программы WINDOW (-90, MAX )-(90, MIN ) на WINDOW (-90, MAX )-(90, MIN -5) и убедитесь, что график прорисован полностью.
1. Внимательно изучите теоретический материал.
2. Запустите программу c : QBasic qbasic . exe .
3. Наберите программу, приведенную в примере 1. Отобразите график функции в отчете. Сохраните созданный файл в папке своей группы под именем graf _1. bas
4. Составьте и исполните программу построения графиков функции:
Вариант 1: у=х 3 + 3х -15 для х Î [0;5] с шагом 0,5
Вариант 2: у=х 4 — 2х 2 + 10х для х Î [1;6] с шагом 0,5
3. Оформление отчета:
1. Переписать основные графические операторы, необходимые для построения графика функции и правила их использования из методического пособия в тетрадь.
2. Выполнить п.п. 2-4 задания. Программы задания 4 сохранить под именами graf _2. bas в папку своей группы. Отобразить полученный график в отчете.
3. Дать ответы на контрольные вопросы и объяснить их.
4. Контрольные вопросы.
1. При каком установленном графическом режиме работы монитора качество графика функции лучше?
2. Как изменить программу примера 1, чтобы график функции был бы построен не отрезками, а точками?
Практическая работа № 49. Тема:
Недостатком построенного графика является то, что нижняя часть графика как бы не прорисована
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
Источник: znanio.ru