Все числа характеризуются свойствами делимости или факторизации, но кроме этого существуют числа, которые легко представить в виде суммы последовательных натуральных чисел.
Разложение чисел на составляющие
В теории чисел каждое натуральное число легко представить в виде составляющих. Разложение элементов натурального множества на простые множители позволяет выразить числа в виде произведения составляющих. Простые множители — это элементы целого ряда, которые делятся только на себя и на единицу, но их произведение формирует искомое число. Например, 50 легко разбить на неделимые и записать его в виде 2 × 5 × 5. Однако числа можно представлять не только в виде произведения, но и в форме суммы.
Совершенные числа
Наиболее известным примером выражения натуральных чисел в виде суммы являются совершенные и последовательные числа. Совершенные числа представляют собой математические объекты, которые записываются в виде суммы собственных делителей. Например, к таким объектам относятся 6 и 28:
Как создать ВЫЧИСЛЯЕМЫЕ запросы в базе Access
- при разложении 6 на делители получаем 1, 2 и 3, что в сумме дает 6;
- разложив 28 на делители, мы получим 1, 2, 4, 7, 14, что при сложении дает 28.
По мере того, как натуральный ряд растет, совершенные числа встречаются все реже. Первые шесть членов совершенной последовательности выглядят так:
6, 28, 496, 8 128, 33 550 336, 8 589 869 056…
Очевидно, что совершенных чисел не так много, а математикам до сих пор неизвестно, существуют ли их предел или совершенная последовательность устремляется в бесконечность.
Последовательные числа
Последовательные числа записываются в виде суммы последовательных членов натурального ряда. Натуральный ряд — это положительные целые числа, которые мы используем при счете предметов. Последовательные члены ряда — это два рядом стоящих элемента, к примеру, 2 и 3, 17 и 18, 178 и 179.
Достаточно много натуральных чисел мы можем записывать в виде суммы последовательных элементов. Например, число 57 мы можем записать в трех вариантах:
- 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 57;
- 18 + 19 + 20 = 57;
- 28 + 29 = 57.
Точно также легко записать 58, 59, 60 и далее, а вот 64 последовательным числом не является и его невозможно представить в виде суммы последовательных членов натурального ряда.
Наш онлайн-калькулятор позволяет представить натуральные числа в виде суммы последовательных. Как видно, выразить число в виде суммы можно несколькими способами, поэтому наша программа высчитывает только один способ, который раскладывает число на сумму наибольшего количества слагаемых.
Примеры
Суммирование последовательных чисел
В работе с последовательными элементами натурального ряда существует несколько хитростей. Первая из таких уловок — это сложение пяти последовательных чисел быстрым способом, который состоит в умножении на 5 третьего члена последовательности. Например, если мы хотим быстро сложить 1 + 2 + 3 + 4 + 5, нам достаточно умножить 3 на 5 и получить 15. Давайте проверим и введем 15 в форму онлайн-калькулятора:
Java. Вычисление арифметического выражения из строки методом рекурсивного спуска.
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5.
Если мы возьмем следующую сумму из пяти последовательных чисел, например, 10 + 11 + 12 + 13 + 14, то умножив третий член на 5, мы получим 12 × 5 = 60. Проверим число 60 на возможность разложения в последовательный ряд:
- 60 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11;
- 60 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14;
- 60 = 19 + 20 + 21.
Как видите, число 60 легко разложить на сумму тремя способами, среди которых есть и наш, который выражен в виде суммы пяти последовательных чисел.
Разложение чисел на сумму последовательных элементов
Для решения такой задачи от вас потребуется только ввести число в форму калькулятора. Давайте попробуем разложить на последовательные слагаемые большие числа:
- 256 — не последовательное число;
- 404 = 47 + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + 54;
- 666 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36.
Таким образом, вы можете разложить достаточно большое количество членов натурального ряда, так как не последовательные числа встречаются довольно редко.
Заключение
Теория чисел — чистая математика, которую трудно использовать в повседневной жизни. Несмотря на это, вы можете использовать нашу программу для исследования самых разных свойств чисел.
Источник: bbf.ru
Написать программу вычисления суммы n слагаемых — Pascal
1)написать программу вычисления суммы n слагаемых вида x+1, где х-данное число, а i меняется от 1 до n 2)суммы n слагаемых вида (i+1)², где i=1,2,3. n; 3)суммы n cлагаемых вида sinx+ sinx². sin x n-степень 4)суммы слагаемых вида sinx+ sin²x+. sin n-степень х 5)вычислить произведение (1+sin 0.1)*(1+sin0.2)*. (1+sin10) 6)вводя числа с клавиатуры без ограничения их количества(конец ввода-число0) ,найти сумму положительных и произведение отрицательных чисел. 7)написать сумму сорока слагаемых n-i, где i=1,2,3. 40, а n-данное число. я вообще ниче в этом не понимаю(((
Код к задаче: «Написать программу вычисления суммы n слагаемых»
Листинг программы
uses crt; var s,n,x,i: integer; begin s:=0; write(‘x=’); readln(x); write(‘n=’); readln(n); for i:=1 to n do s:=s+x+i; writeln(s); readkey end.
Источник: studassistent.ru
Рекурсивные алгоритмы. Разложение натурального числа на слагаемые и множители.
статья по информатике и икт (10, 11 класс)
В этой статье предложены решения задач на разложение натурального числа на слагаемые и множители, удовлетворяющие различным условиям. Статья содержит программы на языке программирования С++.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Разложение натурального числа на слагаемые и множители.
Слово “ рекурсия ” происходит от латинского слова “ recursio ” – возвращение.
Рекурсия — определение, описание, изображение объекта или процесса внутри самого этого объекта или процесса, т.е. когда объект является частью самого себя.
В математике рекурсия имеет отношение к методу определения функций и числовых рядов: рекурсивно заданная функция определяет своё значение через обращение к себе самой с другими аргументами. С рекурсией тесно связана математическая индукция: она является естественным способом доказательства свойств функций на натуральных числах, рекурсивно заданных через свои меньшие значения.
Рекурсия в программировании — это способ организации вспомогательного алгоритма (подпрограммы), при котором эта подпрограмма обращается сама к себе напрямую ( прямая рекурсия ) или через другие функции ( косвенная рекурсия ).
Простейшим примером рекурсии является линейная рекурсия, когда функция содержит единственный условный вызов самой себя. В таком случае рекурсия становится эквивалентной обычному циклу.
В этой статье программы представлены на языке С++.
Пример 1 . Рекурсивная функция для расчета факториала заданного числа n:
n!=1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ n, причем 0!=1 и 1!=1.
Кроме того, выполняется следующее соотношение:
Используя это соотношение, можно составить рекурсивную функцию для вычисления факториала:
long int F( int n)
<
if ( n > 1) F=n * F(n – 1);
else F=1;
>
Пример 2 . Вычисление n-го члена последовательности чисел Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и т.д.
using namespace std;
int fibonachi (int n)
Разложение числа на слагаемые
Задача 1 . Вывести на экран все варианты разложения заданного натурального числа N на слагаемые. Разложения, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми.
Будем раскладывать число N на два слагаемых. Затем второе из полученных слагаемых снова будем раскладывать на 2 слагаемых и т.д., т.е. можно использовать рекурсию.
Чтобы исключить из рассмотрения повторяющиеся последовательности. Для этого будем рассматривать только неубывающие последовательности слагаемых (каждое следующее слагаемое не меньше предыдущего).
Обозначим: n1 — первое слагаемое в разложении.
Таким образом, на каждом шаге будем получать сумму двух слагаемых n1 и N-n1. Вновь полученное число N-n1 снова раскладывать на 2 слагаемых и т.д. Все слагаемые будем записывать в массив. Для этого нам понадобится массив a[N] из N элементов, поскольку самое длинное представление – это сумма N единиц.
Первый вызов подпрограммы надо выполнить при n1=1 (т.е. первое слагаемое будет равно 1), первое слагаемое в разложении хранится в массиве под номером 0 (т.е. pos=0). Поэтому первый вызов подпрограммы R(N, 1, 0).
Для поиска первого слагаемого в разложении (обозначим его n1 ) будем проверять все числа, начиная с 1 до N/2. Например, для числа 7 достаточно проверить в качестве первого слагаемого числа 1, 2, 3; для числа 10 – числа от 1 до 5).
После выбора первого слагаемого надо решить задачу разложения на слагаемые числа, равного N=N-n1. Параметрами создаваемой рекурсивной функции (ее имя — R) будут:
n – число, раскладываемое на слагаемые (не только заданное);
n1 – первое слагаемое числа n;
a[50] – массив, в котором хранятся слагаемые разложения (50 – максимальное с запасом кол-во возможных слагаемых в разложении).
Первый вызов подпрограммы надо выполнить при n1=1 (т.е. первое слагаемое будет равно 1), первое слагаемое в разложении хранится в массиве под номером 0 (т.е. pos=0). Поэтому первый вызов подпрограммы R(0, N, 1).
В подпрограмме в качестве первого слагаемого разложения будем перебирать числа от n1 до n/2 в цикле c параметром i :
1) очередное число i надо сохранить в массиве a[50] под номером pos, т.е. a[pos]=i ;
2) снова обратиться к подпрограмме R. При очередном вызове подпрограммы надо увеличить номер в массиве на 1 (т.е. pos=pos+1), уменьшить раскладываемое на слагаемые число на i (т.е. n=n-i) и в качестве первого слагаемого нового числа снова выбрать число i , т.е. R(pos+1,n-i,i).
После перебора всех чисел i необходимо учесть в записи разложения также само число n (то, что от него осталось), и вывести полученный результат на экран.
using namespace std;
int a[50]; //глобальный массив для хранения слагаемых разложения
void R(int pos, long int n, int n1)
Источник: nsportal.ru