При обработке экспериментальных данных часто возникает необходимость аппроксимировать их линейной функцией.
Аппроксимацией (приближением) функции f(x) называется нахождение такой функции ( аппроксимирующей функции ) g(x) , которая была бы близка заданной. Критерии близости функций могут быть различные.
В случае если приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной .
В случае если аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной . Примером такой аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена некоторой функции степенным многочленом.
Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция – нахождение промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Пусть задан дискретный набор точек, называемых узлами интерполяции , а также значения функции в этих точках. Требуется построить функцию g(x) , проходящую наиболее близко ко всем заданным узлам. Таким образом, критерием близости функции является g(xi)=yi .
Вычисление функции f(x)=a*x^2+b*x+c и построение графика в Excel (макросы VBA): f(x)=a*x^2+b*x+c
В качестве функции g(x) обычно выбирается полином, который называют интерполяционным полиномом .
В случае если полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная .
В случае если между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции.
Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции между узлами, а также определить значение функции даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию ).
Аппроксимация линейной функцией
Любая линейная функция может быть записана уравнением
Аппроксимация заключается в отыскании коэффициентов a и b уравнения таких, чтобы все экспериментальные точки лежали наиболее близко к аппроксимирующей прямой.
С этой целью чаще всего используется метод наименьших квадратов (МНК), суть которого заключается в следующем: сумма квадратов отклонений значения точки от аппроксимирующей точки принимает минимальное значение: 
Решение поставленной задачи сводится к нахождению экстремума указанной функции двух переменных. С этой целью находим частные производные функции функции по коэффициентам a и b и приравниваем их к нулю. 
Решаем полученную систему уравнений
Определяем значения коэффициентов
Численное интегрирование: Методы Левых Правых прямоугольников, Трапеций, Симпсона c++
Для вычисления коэффициентов необходимо найти следующие составляющие: 
Тогда значения коэффициентов будут определены как 
Пример реализации
Для примера реализации воспользуемся набором значений, полученных в соответствии с уравнением прямой
y = 8 · x — 3
Рассчитаем указанные коэффициенты по методу наименьших квадратов.
Результат сохраняем в форме двумерного массива, состоящего из 2 столбцов.
При следующем запуске программы добавим случайную составляющую к указанному набору значений и снова рассчитаем коэффициенты.
Реализация на Си
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
// Задание начального набора значений
double ** getData( int n) double **f;
f = new double *[2];
f[0] = new double [n];
f[1] = new double [n];
for ( int i = 0; i
f[1][i] = 8 * ( double )i — 3;
// Добавление случайной составляющей
f[1][i] = 8*( double )i — 3 + ((rand()%100)-50)*0.05;
>
return f;
>
// Вычисление коэффициентов аппроксимирующей прямой
void getApprox( double **x, double *a, double *b, int n) double sumx = 0;
double sumy = 0;
double sumx2 = 0;
double sumxy = 0;
for ( int i = 0; i
sumy += x[1][i];
sumx2 += x[0][i] * x[0][i];
sumxy += x[0][i] * x[1][i];
>
*a = (n*sumxy — (sumx*sumy)) / (n*sumx2 — sumx*sumx);
*b = (sumy — *a*sumx) / n;
return ;
>
int main() double **x, a, b;
int n;
system( «chcp 1251» );
system( «cls» );
printf( «Введите количество точек: » );
scanf( «%d» ,
x = getData(n);
for ( int i = 0; i printf( «%5.1lf — %7.3lfn» , x[0][i], x[1][i]);
getApprox(x, b, n);
printf( «a = %lfnb = %lf» , a, b);
getchar(); getchar();
return 0;
>
Результат выполнения
Запуск без случайной составляющей 
Запуск со случайной составляющей 
Построение графика функции
Для наглядности построим график функции, полученный аппроксимацией по методу наименьших квадратов. Подробнее о построении графика функции описано здесь.
Реализация на Си
#include
const int NUM = 70; // количество точек
LONG WINAPI WndProc( HWND , UINT , WPARAM , LPARAM );
double **x; // массив данных
// Определение коэффициентов линейной аппроксимации по МНК
void getApprox( double **m, double *a, double *b, int n) double sumx = 0;
double sumy = 0;
double sumx2 = 0;
double sumxy = 0;
for ( int i = 0; i
sumy += m[1][i];
sumx2 += m[0][i] * m[0][i];
sumxy += m[0][i] * m[1][i];
>
*a = (n*sumxy — (sumx*sumy)) / (n*sumx2 — sumx*sumx);
*b = (sumy — *a*sumx) / n;
return ;
>
// Задание исходных данных для графика
// (двумерный массив, может содержать несколько рядов данных)
double ** getData( int n) double **f;
double a, b;
f = new double *[3];
f[0] = new double [n];
f[1] = new double [n];
f[2] = new double [n];
for ( int i = 0; i
f[0][i] = x;
f[1][i] = 8 * x — 3 + ((rand() % 100) — 50)*0.05;
>
getApprox(f, b, n); // аппроксимация
for ( int i = 0; i
f[2][i] = a*x + b;
>
return f;
>
// Функция рисования графика
void DrawGraph( HDC hdc, RECT rectClient, double **x, int n, int numrow = 1) double OffsetY, OffsetX;
double MAX_X = 0;
double MAX_Y = 0;
double ScaleX, ScaleY;
double min, max;
int height, width;
int X, Y; // координаты в окне (в px)
HPEN hpen;
height = rectClient.bottom — rectClient.top;
width = rectClient.right — rectClient.left;
// Область допустимых значений X
min = x[0][0];
max = x[0][0];
for ( int i = 0; i
min = x[0][i];
if (x[0][i] > max)
max = x[0][i];
>
double temp = max — min;
MAX_X = max — min;
OffsetX = min*width / MAX_X; // смещение X
ScaleX = ( double )width / MAX_X; // масштабный коэффициент X
// Область допустимых значений Y
min = x[1][0];
max = x[1][0];
for ( int i = 0; i
min = x[j][i];
if (x[j][i] > max)
max = x[j][i];
>
>
MAX_Y = max — min;
OffsetY = max*height / (MAX_Y); // смещение Y
ScaleY = ( double )height / MAX_Y; // масштабный коэффициент Y
// Отрисовка осей координат
hpen = CreatePen( PS_SOLID , 0, 0); // черное перо 1px
SelectObject(hdc, hpen);
MoveToEx(hdc, 0, OffsetY, 0); // перемещение в точку (0;OffsetY)
LineTo(hdc, width, OffsetY); // рисование горизонтальной оси
MoveToEx(hdc, OffsetX, 0, 0); // перемещение в точку (OffsetX;0)
LineTo(hdc, OffsetX, height); // рисование вертикальной оси
DeleteObject(hpen); // удаление черного пера
// Отрисовка графика функции
int color = 0xFF; // красное перо для первого ряда данных
for ( int j = 1; j <= numrow; j++) hpen = CreatePen( PS_SOLID , 2, color); // формирование пера 2px
SelectObject(hdc, hpen);
X = ( int )(OffsetX + x[0][0] * ScaleX); // координаты начальной точки графика
Y = ( int )(OffsetY — x[j][0] * ScaleY);
MoveToEx(hdc, X, Y, 0); // перемещение в начальную точку
for ( int i = 0; i
Y = OffsetY — x[j][i] * ScaleY;
LineTo(hdc, X, Y);
>
color = color DeleteObject(hpen); // удаление текущего пера
>
>
// Главная функция
int WINAPI WinMain( HINSTANCE hInstance,
HINSTANCE hPrevInstance, LPSTR lpCmdLine, int nCmdShow) HWND hwnd;
MSG msg;
WNDCLASS w;
x = getData(NUM); // задание исходных данных
memset(
w.style = CS_HREDRAW | CS_VREDRAW ;
w.lpfnWndProc = WndProc;
w.hInstance = hInstance;
w.hbrBackground = CreateSolidBrush(0x00FFFFFF);
w.lpszClassName = «My Class» ;
RegisterClass (
hwnd = CreateWindow ( «My Class», «График функции» ,
WS_OVERLAPPEDWINDOW , 500, 300, 500, 380, NULL , NULL ,
hInstance, NULL );
ShowWindow(hwnd, nCmdShow);
UpdateWindow(hwnd);
while ( GetMessage (msg);
DispatchMessage (
>
return msg.wParam;
>
// Оконная функция
LONG WINAPI WndProc( HWND hwnd, UINT Message,
WPARAM wparam, LPARAM lparam) HDC hdc;
PAINTSTRUCT ps;
switch (Message) case WM_PAINT :
hdc = BeginPaint(hwnd,
DrawGraph(hdc, ps.rcPaint, x, NUM, 2); // построение графика
EndPaint(hwnd,
break ;
case WM_DESTROY :
PostQuitMessage(0);
break ;
default:
return DefWindowProc (hwnd, Message, wparam, lparam);
>
return 0;
>
Результат выполнения
Аппроксимация с фиксированной точкой пересечения с осью y
В случае если в задаче заранее известна точка пересечения искомой прямой с осью y, в решении задачи останется только одна частная производная для вычисления коэффициента a.
В этом случае текст программы для поиска коэффициента угла наклона аппроксимирующей прямой будет следующий (имя функции getApprox() заменено на getApproxA() во избежание путаницы).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
// Задание начального набора значений
double ** getData( int n) double **f;
f = new double *[2];
f[0] = new double [n];
f[1] = new double [n];
for ( int i = 0; i
f[1][i] = 8 * ( double )i — 3;
// Добавление случайной составляющей
//f[1][i] = 8 * (double)i — 3 + ((rand() % 100) — 50)*0.05;
>
return f;
>
// Вычисление коэффициентов аппроксимирующей прямой
void getApproxA( double **x, double *a, double b, int n) double sumx = 0;
double sumx2 = 0;
double sumxy = 0;
for ( int i = 0; i
sumx2 += x[0][i] * x[0][i];
sumxy += x[0][i] * x[1][i];
>
*a = (sumxy — b*sumx) / sumx2;
return ;
>
int main() double **x, a, b;
int n;
system( «chcp 1251» );
system( «cls» );
printf( «Введите количество точек: » );
scanf( «%d» ,
x = getData(n);
for ( int i = 0; i printf( «%5.1lf — %7.3lfn» , x[0][i], x[1][i]);
b = 0;
getApproxA(x,
printf( «a = %lfnb = %lf» , a, b);
getchar(); getchar();
return 0;
>
Результат выполнения программы поиска коэффициента угла наклона аппроксимирующей прямой при фиксированном значении b=0:
Комментариев к записи: 23
Источник: prog-cpp.ru
Sample Code
Выведите количество вариантов расстановки ладьи на шахматной доске, чтобы ни одна из них не угрожала другой
2016-04-17 11:29:32
Выведите количество вариантов расстановки ладьи на шахматной доске, чтобы ни одна из них не угрожала другой. Размер доски NxN (n вводится пользователем). Предусмотрите возможность вывода и самих вариантов расстановки.
Дан текст из строчных латинских букв, за которым следует точка. Определить каких букв-гласных (a,e,o,i,u) или согласных — больше в этом тексте
2016-04-17 11:27:41
Использовать множество, при выполнении этого задания.
Найдите значения функции y=x2+1,для x=0.2,0.4,0.6. 20
2016-04-17 11:25:18
Задайте форматированный вывод для X всего 5 знаков, из них после запятой-один. Для Y всего восемь знаков, из них после запятой-два.
Вычислить значение функции: y=sin(x/(3+x^5))+lg(1,3x+x^3)
2016-04-17 11:22:13
Дана последовательность целых чисел (от -100 до 100) записанных через пробел. Требуется построить эту последовательность по возрастанию
2016-04-17 11:20:38
Дана последовательность целых чисел (от -100 до 100) записанных через пробел. Требуется построить эту последовательность по возрастанию. Входные данные: в первой строке записано целое число N, во вторйо строке последовательность чисел через пробел. Выходные данные: в единственной строке записать последовательность чисел по возрастанию.
Кодирование методом контроля чётности
2016-04-17 11:18:45
Вводится k — число символов в блоке и последовательность двоичных символов, длина которой кратна (k-1). Если кратность нарушается, то последние символы последовательности игнорируются. Для каждой комбинации из (k-1) символов по методу контроля четности определяется значение k-ого, контрольного, символа и вся комбинация из k символов добавляется в результирующую последовательность, выводимую на экран по окончании кодирования всей входной последовательности символов.
Вывести на экран сумму или произведение чисел в зависимости от условия
2016-04-14 15:10:23
Написать программу, запрашивающую 3 целых числа и выводящая сумму этих чисел на экран, если максимум этих чисел больше 12. Вывод на экран произведения этих чисел, если минимум этих чисел меньше или равен 12.
Источник: samplecode.ru
Вычисление значений функции на промежутке. Построение графика
Вычисление значений функции y(x)=k*f(x) для всех значений переменной х на отрезке
[1;2] с шагом 0,1 при заданном k=3. Построение графиков функций f(x) и y(x).
f(x)=cos(x)+1/(x+2)
Вычислим значения х с шагом 0,1, для этого в первую ячейку B2 вставим начальное значение 1, а в ячейку В3 введем формулу: =B2+0,1. Растянем эту формулу вниз по столбцу, пока х не станет равным двум. Для расчета f(x) введем в соответствующие ячейки D2:D12 формулы:
для ячейки D2 =COS(B2)+1/(B2+2).
Для расчета y(x) введем формулу в ячейку Е2: =C2*D2.
Скопируем эту формулу вниз по столбцу E до ячейки Е12
Построим графики функций f(x) и y(x). Выберем в главном меню Вставка –Диаграмма. Укажем исходные данные для ряда f(x) и y(x):
После нажатия кнопки ОК получим:
Источник: help-informatika.ru
Знаете ли Вы, в чем ложность понятия «физический вакуум»?
Физический вакуум — понятие релятивистской квантовой физики, под ним там понимают низшее (основное) энергетическое состояние квантованного поля, обладающее нулевыми импульсом, моментом импульса и другими квантовыми числами. Физическим вакуумом релятивистские теоретики называют полностью лишённое вещества пространство, заполненное неизмеряемым, а значит, лишь воображаемым полем.
Такое состояние по мнению релятивистов не является абсолютной пустотой, но пространством, заполненным некими фантомными (виртуальными) частицами. Релятивистская квантовая теория поля утверждает, что, в согласии с принципом неопределённости Гейзенберга, в физическом вакууме постоянно рождаются и исчезают виртуальные, то есть кажущиеся (кому кажущиеся?), частицы: происходят так называемые нулевые колебания полей. Виртуальные частицы физического вакуума, а следовательно, он сам, по определению не имеют системы отсчета, так как в противном случае нарушался бы принцип относительности Эйнштейна, на котором основывается теория относительности (то есть стала бы возможной абсолютная система измерения с отсчетом от частиц физического вакуума, что в свою очередь однозначно опровергло бы принцип относительности, на котором постороена СТО). Таким образом, физический вакуум и его частицы не есть элементы физического мира, но лишь элементы теории относительности, которые существуют не в реальном мире, но лишь в релятивистских формулах, нарушая при этом принцип причинности (возникают и исчезают беспричинно), принцип объективности (виртуальные частицы можно считать в зависимсоти от желания теоретика либо существующими, либо не существующими), принцип фактической измеримости (не наблюдаемы, не имеют своей ИСО).
Когда тот или иной физик использует понятие «физический вакуум», он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.
Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик Анри Пуанкаре, уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.
Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование «моря» двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме — положительной и отрицательной, а также «моря» компенсирующих друг друга частиц — виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.
Однако такая постановка является внутренне противоречивой (виртуальные частицы ненаблюдаемы и их по произволу можно считать в одном случае отсутствующими, а в другом — присутствующими) и противоречащей релятивизму (то есть отрицанию эфира, так как при наличии таких частиц в вакууме релятивизм уже просто невозможен). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.
Источник: www.bourabai.ru