Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».
- Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
- Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
- Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
- Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.
Или в виде формул:
- s
- r
- c
- r
Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).
Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.
Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.
ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс
Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.
Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.
Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.
Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)
Принцип повтора знаков тригонометрических функций
Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону. В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ. Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны.
Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.
Тригонометрический круг
Углы в радианах
Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан. Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π .
- 90°
- 180°
- 1
- 2
Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.
Онлайн тренажер
для запоминания значений тригонометрических функций для разных углов
Простые тригонометрические тождества
Используя вышеописанные формулы:
Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ
Источник: matematika.club
С какого класса начинается тригонометрия?
С понятиями синус, косинус, тангенс и котангенс учащиеся впервые знакомятся в 8 классе на курсе геометрии (прямоугольный треугольник, теорема Пифагора). Далее, тригонометрия продолжается в программе геометрии 9 класса, и изучается в курсе алгебры (9 класс). Более глубокое изучение предмета продолжается в курсе алгебры и начала анализа — 10 класс. То есть, школьная программа создана специальным образом — постепенное изучение от тригонометрии треугольника к тригонометрическим функциям числового аргумента
9 Нравится Комментировать
Лучший ответ выбран модератором
Другие ответы (9)
- Awerd
- 6. Профи (1945)
- 4 года
Пользователь
Зависит от образовательного учреждения, обычно с 10-го, но есть и с 9-го класса, в редких случаях с 11-го
0 Нравится Комментировать
- Денис
- 7. Мастер (2105)
- 3 года
Пользователь
Сейчас программы в школах очень разные. Почти везде есть отдельные классы с каким-либо уклоном. Конечно, в классах с математическим уклоном тригонометрию раньше начинают осваивать, чем в классах с гуманитарным.
4 Нравится Комментировать
- Эмин Галаев
- 22. Сверхразум (26218)
- 3 года
Пользователь
Тригонометрия – один из больших разделов школьной математики, изучаемой в курсе геометрии 8, 9 классов и в курсе алгебры 9 класса, алгебры и начал анализа в 10 классе.
1 Нравится Комментировать
- Иван Глушаков
- 22. Сверхразум (24045)
- 1 год
Пользователь
В девятом классе, на геометрии проходят эту тему (но не углубленно), решают задачи, изучают две теоремы. Синусов и косинусов. Но опять же все зависит от программы, по которой учиться класс. Возможно и в 8 классе пойдут
0 Нравится Комментировать
- Витя Оболенский
- 11. Философ (5965)
- 1 год
Пользователь
Школьники впервые сталкиваются с синусами и косинусами в 8 классе на уроке геометрии. Далее изучают в 9 классе на уроках геометрии, и на уроках алгебры. Самое интересное начинают изучать в 10 классе по полной программе.
3 Нравится Комментировать
- Александра
- 4. Знаток (933)
- 1 год
Пользователь
В 8 классе — как отношения катетов и гипотенузы, потом в 9 классе — как функции угла в градусах, наконец в 10 классе — как функции радиан и чисел со всеми формулами
10 Нравится Комментировать
- Семён
- 22. Сверхразум (34799)
- 1 год
Пользователь
В современной школе первое знакомство с тригонометрией происходит в курсе геометрии 8 класса. Более глубокое изучение предмета продолжается в курсе алгебры 10 класса.
0 Нравится Комментировать
- Ксения Фурманова
- 22. Сверхразум (120298)
- 1 год
Пользователь
Раньше тригонометрия выделялась в отдельный предмет, а сейчас в школьной программе она включена в курс геометрии в 8 классе. На этом этапе происходит первое знакомство, более глубокое изучение предмета продолжается в курсе алгебры в 10 классе.
0 Нравится Комментировать
- Владислав
- 22. Сверхразум (43853)
- 1 месяц
Уже разбираюсь в вашем вопросе!
В Российской Федерации тригонометрия изучается в 10-11 классах школы. Однако в различных странах могут быть различия в том, когда она изучается.
Источник: nolvoprosov.ru
Синус, косинус, тангенс, котангенс
В этом уроке мы покажем связь между синусом, косинусом угла и координатами соответствующих точек единичной полуокружности. Еще раз убедимся в справедливости формулы нахождения тангенса угла через отношение синуса и косинуса этого угла, а также аналогичной формулы для вычисления котангенса угла.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.
Получите невероятные возможности
1. Откройте доступ ко всем видеоурокам комплекта.
2. Раздавайте видеоуроки в личные кабинеты ученикам.
3. Смотрите статистику просмотра видеоуроков учениками.
Получить доступ
Конспект урока «Синус, косинус, тангенс, котангенс»
В курсе геометрии 8 класса, мы с вами уже знакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов прямоугольного треугольника. Давайте вспомним их.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
; 
Еще мы с вами учили таблицу синусов, косинусов для углов в 30, 45 и 60 градусов. Давайте вспомним ее.
Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла из промежутка от 0 до 180º.
Построим в прямоугольной системе координат полуокружность радиус которой равен 1 так, чтобы центр этой полуокружности совпадал с началом координат.
Такую полуокружность мы назовем единичной полуокружностью. Из точки О давайте проведем произвольный луч h. Этот луч пересекает полуокружность с точке М (0;0). Угол между лучом h и положительным направлением оси Ox обозначим за α. Если луч h совпадает с положительным направлением оси Ox, то угол α равен 90º. Если луч h совпадает с осью Oy, то угол α= 90º.
Если луч h совпадает с отрицательным направлением оси Ox, то угол α= 180º. Опустим из точки М перпендикуляр на ось Ox и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМD.
Запишем элементы этого треугольника. Поскольку радиус полуокружности равен 1, значит, ОM=1. Так как координаты точки М равны x и y, то, очевидно, что МD=y, а ОD=x. Тогда 
. Мы получили, что синус острого угла равен ординате точки М, а косинус угла α равен абсциссе точки М. По этим же формулам вычисляются синус и косинус для углов в 90º и 180º.
Для любого угла 
синусом угла 
называется ордината 
точки 
, а косинусом угла 
абсцисса 
точки 
Поскольку речь у нас идет о единичной полуокружности, то ордината точки может изменятся от 0 до 1, значит, и синус угла α может принимать значения от 0 до 1. Абсцисса точки М может изменятся от -1 до 1, то есть и косинус угла α из промежутка от 0 до 180º может изменятся от -1 до 1.
Задача. Может ли:
а) абсцисса точки единичной полуокружности быть равна ?
б) ордината точки единичной полуокружности быть равна ?
а) Поскольку полуокружность единичная, значит абсцисса точки должны принадлежать промежутку от -1 до 1, то есть абсцисса точки может быть равна , но не может быть равна 4 и 5.
б) Поскольку полуокружность располагается выше оси Ox, то ординаты точек могут быть только из промежутка от 0 до 1, то есть ордината точки может быть равна 
но не может быть равна 
.
Дополним известную нам таблицу синусов косинусов:
Для определения sin 0º и cos 0º давайте рассмотрим луч ОА. На единичной полуокружности точка А имеет координаты (1;0), значит 
, а 
.
Найдем теперь значение sin90 º и cos 90º. Этот угол задается лучом ОB. Координаты точки B равны (0;1), значит, 
, 
.
Проводя аналогичные рассуждения, получим 
, 
.
Задача. Определить координаты точки , если:
а) 
; б) 
; в) 
.
а)
б)
в)
Ответ: ; ; 
.
Решим теперь обратную задачу.
Задача. Определить 
, 
, если:
а) ; б) ; в) .
а)
б)
в)
Тангенсом острого угла мы называли отношение
. Эта же формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако, если угол равен 90º, то его cos 90º=0, а значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить нельзя, поэтому для угла в 90º тангенс не существует. Таким образом, мы немного уточнили определение тангенса.
Тангенсом угла , 
называется 
.
Котангенсом острого угла мы называли отношение 
. Эта же формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако, если угол равен 0º или 180º, то sin равен 0, а значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить нельзя, поэтому 
, 
– не существует. Таким образом, мы немного уточнили определение котангенса.
Котангенсом угла 
, называется 
.
Задача. Определить 
, 
, если:
а) ; б) ; в) ; г) 
; д) 
.
а)
б)
в)
г)
д)
Давайте занесем полученные данные в таблицу и составим таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º.
Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы определили, что Для любого угла синусом угла называется ордината точки , а косинусом угла абсцисса точки
Тангенсом угла , называется .
Котангенсом угла , называется .
Также мы дополнили известную нам таблицу значений синуса, косинуса и тангенсов для некоторых углов.
Источник: videouroki.net