Решение системы линейных уравнений методом крамера программа

Содержание

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

В этой форме метод Крамера справедлив без предположения, что отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы и , либо набор состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Пример

Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.

Вычислительная сложность

Метод Крамера требует вычисления определителей размерности . При использовании метода Гаусса для вычисления определителей метод имеет сложность по элементарным операциям сложения-умножения порядка , что сложнее, чем метод Гаусса при прямом решении системы. Поэтому метод, с точки зрения затрат времени на вычисления, считался непрактичным. Однако в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью , сравнимой со сложностью метода Гаусса.

Решение системы уравнений методом Крамера.

Программа на Pascal

uses crt; type Tmass=array[1..20] of real; Tmatrix=array[1..20] of Tmass; procedure Per(k,n:integer;var a:Tmatrix;var p:integer); var z:Real;j,i:integer; begin z:=abs(a[k,k]); i:=k; p:=0; for j:=k+1 to n do begin if abs(a[j,k])>z then begin z:=abs(a[j,k]); i:=j; p:=p+1; end; end; if i>k then for j:=k to n do begin z:=a[i,j]; a[i,j]:=a[k,j]; a[k,j]:=z; end; end; function Znak(p:integer):integer; begin if p mod 2=0 then Znak:=1 else Znak:=-1; end; procedure Opr(n:integer;a:tmatrix;var det:real); var k,i,j,p:integer;r:real; begin det:=1.0; for k:=1 to n do begin if a[k,k]=0 then Per(k,n,a,p); det:=znak(p)*det*a[k,k]; for j:=k+1 to n do begin r:=a[j,k]/a[k,k]; for i:=k to n do begin a[j,i]:=a[j,i]-r*a[k,i]; end; end; end; end; var a:Tmatrix; c:array[1..20] of Tmatrix; b,x:Tmass; det,det1:real; n,k,j,i:integer; begin clrscr; write(‘Порядок системы n=’); readln(n); writeln(‘Введите коэффициенты уравнений:’); for i:=1 to n do begin writeln(‘Уравнение ‘,i); for j:=1 to n do read(a[i,j]); end; readln; writeln(‘Введите свободные члены:’); for i:=1 to n do read(b[i]); readln; clrscr; writeln(‘Расширенная матрица системы:’); for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do write(a[i,j]:7:2); write(b[i]:9:2); writeln; end; Opr(n,a,det); for i:=1 to n do begin for k:=1 to n do begin for j:=1 to n do c[i][k,j]:=a[k,j]; c[i][k,i]:=b[k]; end; Opr(n,c[i],det1); if(det=0)and(det1=0) then begin writeln(‘Система не определена!’); readln; exit; end; if(det=0)and(det1<>0) then begin writeln(‘Система не имеет решений!’); readln; exit; end; x[i]:=det1/det; end; writeln(‘Корни сиcтемы:’); for i:=1 to n do writeln(‘x’,i,’=’,x[i]:7:3); readln end.

Программная реализация метода Крамера

Программу на C++, решающую системы линейных уравнений методом Крамера, удобно реализовать с функциями для вычисления определителя системы и определителя при неизвестных.

Рассмотрим вариант программы, решающей методом Крамера системы из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. В ней требуется объявить четыре функции: одна (determinant) вычисляет определитель системы, а три (determinantX1, determinant X2, determinantX3) вычисляют определители при неизвестных.

Как и положено при объявлении функций, укажем в них формальные параметры — массивы, хранящие значения определителя системы и определителей при неизвестных. Те же формальные параметры указываются и при описании функций (в конце программы, после функции main). Тело каждой функции содержит и запись математических операций вычисления определителей.

А в вызове функций указываются уже фактические параметры — массивы, храняющие перечисленные данные, но уже состоящие из значений, введённых пользователем.

Далее всё предельно просто: в функции main вычисляются и выводятся значения неизвестных как результаты деления определителей при неизвестных на определитель системы, как и должно быть при решении систем линейных уравнений методом Крамера.

Код C++

По тому же алгоритму несложно уже написать программу, вычисляющую мотодом Крамера системы их двух линейных уравнений с двумя неизвестными, а также вариант программы с ветвлением на случаи систем 2х2 и 3х3.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера: онлайн-калькулятор

Существует несколько способов решения СЛАУ. Решить систему линейных уравнений методом Крамера можно при условии, если определитель матрицы квадратной системы отличен от нуля. Чтобы получить ответ, вам необходимо только ввести данные. Программа, заложенная в калькуляторе, произведет последовательные вычисления и выдаст ответ. Вам будет доступен не только результат, но и выполненные для решения действия.

Используя сервис, разработанный специалистами компании Zaochnik, вы сможете решить свои учебные задания быстро, бесплатно и без ошибок.

Метод Крамера в калькуляторе помогает студентам самостоятельно разобрать алгоритм вычислений и впоследствии применять на практике. Учащиеся получают автоматизированное решение и сверяют с собственными действиями. Во время подготовки заданий легче найти ошибку в собственных расчетах. Также Zaochnik – это экстренная помощь на зачетах и экзаменах.

Калькулятор Инструкция Теория
Калькулятор

Решение задач

Инструкция

Решение задач

Рассмотрим несколько примеров решений СЛАУ с помощью онлайн-калькулятора

Онлайн-калькулятор позволяет находить решение СЛАУ, когда свободные члены, переменные и коэффициенты при них являются вещественными числами. Другими словами, калькулятор работает с целыми числами и дробями, а вот решение систем с комплексными коэффициентами ему не по зубам. Максимальное количество неизвестных в системе– 6.

Возьмем простую систему уравнений с двумя неизвестными:

x 1 + 2 x 2 = 11 3 x 1 — x 2 = 12

Для того, чтобы решить ее методом Крамера с помощью онлайн-калькулятора:

Укажем количество неизвестных в системе:
Впишите коэффициенты при переменных в соответствующие поля:
Нажмите «Рассчитать»
Калькулятор сам произведет все вычисления, а вы сможете не только получить ответ, но и ознакомиться подробным решением:

Рассмотрим более сложную систему с большим количеством неизвестных:
2 x 1 + 10 x 2 — 3 x 3 = 38 — 3 x 1 — 24 x 2 + 5 x 3 = — 86 x 1 + x 2 — 5 x 3 = 27
По аналогии с первым примером, укажем количество неизвестных, введем в поля соответствующие коэффициенты, и нажмем «Рассчитать»:
Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Калькулятор выдаст ответ с ходом решения и промежуточными выкладками:

Заметьте, если вы вдруг введете неверные коэффициенты или запишите такую систему, которая не имеет решения, калькулятор выдаст соответствующее сообщение:
Решение систем линейных уравнений методом Крамера