Решение примеров с помощью программы

Математические формулы, таблицы и другие материалы

На данной странице Вы можете посмотреть или бесплатно скачать самые востребованные математические формулы, таблицы и другие справочные материалы по высшей математике, а также расчётные программы – как универсальные, так и частные.

Все материалы созданы лично мной и снабжены дополнительными комментариями. Сделано это в целях преодоления трудностей, с которыми сталкиваются студенты-заочники в ходе решения задач. Я не претендую на всеобъемлющую полноту, но то, что встречается ОЧЕНЬ ЧАСТО, Вы найдете.

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессора

Тригонометрических формул (например) очень много, они давно известны, и нет никакого смысла переписывать справочники. Но вот те формулы, которые используются на каждом шагу, я собрал воедино – в одном файле, для максимальной скорости и эффективности обучения. При этом в комментариях указано, в каком разделе высшей математики (пределы, производные, интегралы, и т.д.) фигурирует та или иная формула.

Итак, прямо сейчас у Вас есть бесплатный доступ к уникальным и ценным материалам! Рекомендую сразу же сохранять к себе нужные файлы и по возможности распечатать их на принтере. Как показывает практика, информация на экране монитора усваивается хуже, чем на бумаге, да и читать с монитора труднее.

Почти все файлы размещены прямо на сайте, а значит, могут быть получены в максимально короткие сроки. Поехали:

! В случае некорректного отображения pdf используйте следующие рекомендации

Рекомендую просмотреть всем. Данные формулы встречаются в ходе решения задач по высшей математике буквально на каждом шагу. Без знания этих формул – никуда. С чего начать изучение высшей математики? С повторения этого.

Независимо от уровня Вашей математической подготовки на данный момент, крайне желательно СРАЗУ ВИДЕТЬ возможность выполнения элементарных действий, применения простейших формул в ходе решения пределов, интегралов, дифференциальных уравнений и т.д.

В справочнике есть краткая информация о модуле, формулы сокращенного умножения, алгоритм решения квадратного уравнения, правила упрощения многоэтажных дробей, а также важнейшие свойства степеней и логарифмов.

Приведены самые «ходовые» тригонометрические формулы, которые применяются в ходе решения задач по высшей математике. На самом деле таких формул НЕМНОГО, и, собирать десятки других по различным математическим справочникам – пустая трата времени. Всё (или почти всё), что может потребоваться – здесь.

При выполнении заданий по математике нередко возникает необходимость заглянуть в тригонометрические таблицы. В данном справочном материале представлена таблица значений тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) при значениях аргумента от нуля до 360 градусов. Держать в памяти данную информацию нет никакого смысла, но некоторые значения тригонометрических функций хорошо бы знать. Также представлены формулы приведения для вышеуказанных тригонометрических функций, иногда (чаще всего при решении пределов) требуются. По просьбам посетителей сайта в pdf-файл добавлена таблица значений обратных тригонометрических функций и две формулы: формула перевода градусов в радианы, формула перевода радианов в градусы.

Методический материал представляет собой обзор графиков основных элементарных функций и их свойств. Будет полезен при изучении практически всех разделов высшей математики, более того, справочное пособие поможет вам намного лучше и качественнее разобраться в некоторых темах. Также вы сможете узнать, какие значения функций следует знать наизусть, чтобы не получить «два автоматом» при ответе на простейший вопрос экзаменатора. Справка выполнена в форме веб страницы и содержит много графиков функций, которые также желательно помнить. По мере развития проекта методичка стала играть роль вводного урока по теме «Функции и графики».

На практике у студентов-заочников практически всегда возникает необходимость использовать первый и второй замечательные пределы, о которых и идет речь в данной справке. Также рассмотрены еще три замечательных предела, которые встречаются значительно реже. Все замечательные пределы снабжены дополнительными важными комментариями. Кроме того, файл дополнен информацией о замечательных эквивалентностях.

В справке приведены правила дифференцирования и таблица производных от основных элементарных функций. Таблица снабжена очень важными примечаниями.

Ваш гид по разделу «Функции и графики». В pdf-ке систематизирована и законспектирована информация об основных этапах исследования функции одной переменной. Руководство сопровождается ссылками, а значит, экономит массу времени. Мануал полезен как чайнику, так и подготовленному читателю.

В общем-то, почти то же самое, что в дифференциальном исчислении. Правила интегрирования и таблица интегралов с моими комментариями.

Справочный материал незаменим при изучении степенных рядов. В таблице представлены разложения в степенной ряд следующих функций: экспоненты, синуса, косинуса, логарифма, арктангенса и арксинуса. Также приведено биномиальное разложение и наиболее распространенные частные случаи биномиального разложения. Разложение функции в ряд является самостоятельным заданием, используется для приближенных вычислений, приближенных вычислений определенного интеграла и в некоторых других задачах.

Основной трудностью при решении неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами является правильный подбор частного решения по виду правой части. Данная методичка, относится, прежде всего, к уроку Как решить неоднородное уравнение второго порядка? и поможет вам легко разобраться в подборе частного решения. Справка не претендует на основательную научную полноту, она написана простым и понятным языком, однако в 99,99% случаев в ней найдется именно тот случай, который вы ищете.

Справка незаменима в ходе решения прикладных задач комплексного анализа – нахождения частного решения ДУ операционным методом и нахождения частного решения системы ДУ этим же способом. Таблица отличается от аналогов тем, что «заточена» именно под вышеуказанные задания, данная особенность позволяет легко освоить алгоритмы решения. Приведено как прямое, так и обратное преобразование Лапласа для наиболее распространенных функций. В случае если информации окажется недостаточно, рекомендую обратиться к солидному математическому справочнику – полная версия содержит более сотни пунктов.

В справочном материале приведены формулы факториала, количества перестановок, сочетаний, размещений (с повторениями и без повторений), а также содержательные комментарии к каждой формуле, позволяющие понять их суть. + Правила сложения и умножения комбинаций. Кроме того, в pdf-ке есть краткая информация о биноме Ньютона и треугольнике Паскаля с примерами их практического использования.

Файл содержит перечень формул с краткими комментариями по обеим главам тервера – Случайные события и Случайные величины, в том числе приведены формулы и числовые характеристики распространённых дискретных и непрерывных распределений. Справка систематизирует материал и очень удобна для выполнения практических заданий, заглядываем и сразу находим то, что нужно!

Специальные расчётные программы:

В данном разделе вы можете найти вспомогательные программы для решения широких и узколокальных математических задач. Они помогут вам быстро выполнить расчёты и оформить решение.

Универсальный калькулятор реализован в рабочей книге MS Excel, которая содержит три листа. Программа может заменить обычный калькулятор с множеством функций. Любые степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции, арки – без проблем!

Кроме того, калькулятор в автоматическом режиме выполняет основные действия с матрицами, считает определители (до определителя 5 на 5 включительно), мгновенно находит миноры и алгебраические дополнения матриц. За считанные секунды можно решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера, посмотреть основные этапы решения. Всё это очень удобно для самопроверки. Просто введите свои числа и получите готовый результат!

Крайне полезная вещь в вышмате! Программка тоже реализована в Экселе и позволяет складывать, вычитать, умножать, делить и возводить в квадрат обыкновенные дроби. Результаты можно перевести в смешанную дробь (с целой и дробной частью).

Калькулятор охватывает значительную часть курса по аналитической геометрии,
и позволит вам практически со 100%-ной вероятностью избежать вычислительных ошибок при действиях с векторами, нахождении расстояний и углов, расчёте параметров треугольной пирамиды. Программа снабжена тремя графопостроителями, позволяющими очень быстро получить качественные чертёжи линий 2-го порядка, чертёжи в полярных координатах, а также графики функций, заданных параметрически.

Прилагается обучающий видеоролик!

Данная полуавтоматическая программа относится к уроку Формула трапеций, формула Симпсона и помогает рассчитать приближенное значение определенного интеграла на 2, 4, 8, 10 и 20 отрезках разбиения. Прилагается видеоурок по работе с калькулятором. Вычислите ваш определенный интеграл в считанные минуты, и даже секунды!

Позволяет подсчитать перестановки, сочетания, размещения, выполнить расчёт по формуле Бернулли, вычислить значения функций Гаусса и Лапласа, найти типовые распределения случайных величин, а также решить другие вычислительные задачи по курсу тервера и матстата. Также этот расчётный макет удобно использовать для самопроверки.

На данный момент пока всё.

Раздел постепенно пополняется дополнительными материалами и полезными программами. Каждое справочное пособие неоднократно редактировалось и улучшалось, в том числе, с учетом ваших пожеланий и замечаний! Если Вы считаете, что упущено что-то важное, нашли какие-либо неточности, а может быть что-то разъяснено недостаточно понятно, обязательно пишите!

С уважением, Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Источник: www.mathprofi.ru

Использование SymPy в вычислениях

Добрый день уважаемые пользователи. Данная статья ориентированна на начинающих программистов. Как вы знаете для Python существует большое множество библиотек которые помогают с вычислениями. И я хотел бы поделиться одной из библиотек, которая может существенно помочь при вычислениях, но использовать ее в коде я не рекомендую. Но она может значительно облегчить вам жизнь, если вы решаете уровнения и занимаетесь их преобразованием, упрощением для дальнейшего использования.

Библиотека SymPy умеет многое, начиная с решения уравнений и заканчивая построениями графиков, но тут я хотел рассмотреть на примерах, как же работают функции «упрощения» в этой библиотеке на примере решения нескольких простых задач.

Задача. Найдите значение выражения:

Проверим наше преобразование с помощью SymPy:

from sympy import * # знак звездочки означает, чт омы импортировали все данные из библиотеки
init_printing(use_unicode = False, wrap_line = False, no_global = True) # формат вывода информации
expression = (sqrt(13)+sqrt(7))**2/(10+sqrt(91)) expression

Скопируйте этот код и посмотрите на нывод. Библиотека SymPy не дала нам ответ, а вывел очень красиво нашу формулу:

Предлагаю упростить это выражение, т.е. решить его, но для упрощения я буду использовать функцию simplify:

simplify(expression) # функция simplify выполняет упрощение выражений

И тут мы получаем:

Для лучшего понимаю как можно использовать функцию simplify приведем еще пару примеров.

Задача. Найдите значение выражения, если lgb = 5:

Проведем преобразования. Для начала вычислим значение b.

Теперь поставим значение b в наше выражение, которое нужно было вычислить:

Проверим наше преобразование с помощью SymPy:

b = Symbol(‘b’) # введем символ b далее мы сможем его вычислить expression_b = log(b, 10) expression_b

Этот код выведет нам следующее сообщение:

После того как мы создадим выражение expression_b давайте вычислим само значение b:

solve_b = solve(expression_b-5, b) # функция slove решает уровнение,тут «-5» эквивалентно «=5» solve_b = solve_b[0] solve_b

На выводе получим 100000.

Да, мы уже получили с вами это же числе проводя преобразования в ручную.

Подставим b в выражение:

expression_b_main = log(10 / solve_b**3) expression_b_main

На выводе получим:

Да, вывод не всегда удобно читать. Но отметим что, В ответе выше содержится 14 нулей, а логарифм по основанию 10 будет равен — 14.

И именно тут я хочу сделать важное замечание, что в SymPy нужно быть очень внимательными с логарифмами и нужно явно указывать основание. Если его не указать, то по умолчанию основание логарифма будет — е.

Задача. Упростите выражение:

Когда перемножаются степени одинаковых чисел, можно просто сложить показатели степеней.

Проверим наше выражение и упростим его с помощью библиотеки.

a = Symbol(‘a’)
expression_a = 2 * a * a**(4/3) * 3 * a**(2/3) expression_a

Выведет , в красивом виде:

Наша библиотека сразу же дала нам упрощенное выражение, перемножив все слагаемые. Результат верный. Реализуйте функцию на языке Python, принимающую на вход n и возвращающую значение следующей суммы:

Задача. Реализуйте функцию на языке Python, принимающую на вход n и возвращающую значение следующей суммы:

def summa(n): summa = 0 for x in range(1, n+1, 1): summa = log(x) + summa return summa

Используем нашу функцию:

summa(5)

Получим на выводе:

Обратите внимание что функция работает верно. Т.е. наша сумма начинается с i = 1, но поскольку натуральный логарифм т 1 будет равен 0, то в вывод 0 не попадает.

Задача. Реализуйте функцию на языке Python, принимающую на вход n и возвращающую значение следующего выражения:

Сразу скажу что не нужно пугаться большой буквы П. В этой записи П оначает что это произведение ряда числе начиная с 1 и до n.

В этом математическом выражении нам необходимо посчитать натуральный логарифм от произведений чисел от 1 до n.

А теперь используем функцию:

multiplication(2)

Получим на вывод:

Задача. Проверьте, что функции из предыдущих двух заданий эквивалентны. Объясните, почему это так.

print(‘Функция из задния 4:’, summa(5)) print(‘Функция из задния 5:’, multiplication(5))

Тут мы вывели значения которые получили от функций суммы и произведения. Полуим на выводе:

Исходя из свойств логарифмов упростим первое выражение. Поскольку у логарифмов везде одинаковое основание, то мы можем перемножить числа в скобках.

summa_expression_simplify = simplify(summa(5)) summa_expression_simplify

На выводе получим:

Как мы видим выражения полностью одинаковы.

Задача. Найдите значение выражения.

x = Symbol(‘x’)
expression_g = (4*x-x*x)**(1/3) expression_g = simplify(expression_g) expression_g

Решим данное уравнение:

expression_g_solve = solve(expression_g-0, x) # Найдем корни expression_g_solve

На выводе получим: