Решение комплексных чисел программа

Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.

Калькулятор комплексных чисел

Скрыть клавиатуру
С решением
Тригонометрическая форма
Показательная форма
Десятичных знаков:

Как пользоваться калькулятором

1. Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
2. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
3. Нажмите на кнопку «Построить»

Ввод комплексных чисел

комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:

• Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
• Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
• Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
• Математические константы: π, e

Поддерживаемые операции и математические функции

• Арифметические операции: +, -, *, /, ^
• Получение абсолютного значения числа: abs
• Базовые математические функции: exp, ln, sqrt
• Получение действительной и мнимой частей: re, im
• Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
• Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
• Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
• Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

Примеры корректных выражений

• (2+3i)*(5-7i)
• sh(i)
• (4+i) / (3 — 4i)
• sqrt(2i)
• (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 — 8i)/4 — 3.75)

Комплексные числа

Комплексные числа — это числа вида x+iy , где x , y — вещественные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i 2 = -1 ).

Комплексные числа в программе MathCad

Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.

Примеры комплексных чисел

• 4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
• -2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
• i — действительная часть = 0, мнимая = 1
• -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
• 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Основные действия с комплексными числами

Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

• сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
• умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
• деление:

(a + bi)(c — di)

Примеры

Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i :
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел | Высшая математика

Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом: 5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i

Найти разность чисел 12-i и -2i :
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i

Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом: 2+3i * (5-7i) = 31 + i

Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом: 75-50i / (3+4i) = 1 — 18i

Другие действия над комплексными числами

Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

• Получение действительной части числа: Re(z) = a
• Получение мнимой части числа: Im(z) = b
• Модуль числа: |z| = √(a 2 + b 2 )
• Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
• Экспонента: e z = e a ·cos(b) + i·e a ·sin(b)
• Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
• Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
• Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
• Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
• Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z

Примеры

Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
|z| = √(4 2 + (-3) 2 ) = √25 = 5

Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.

• Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: x+iy , где x — действительная часть, а y — мнимая часть
• Тригонометричкая форма — запись вида r·(cos φ + isin φ) , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
• Показательная форма — запись вида r·e iφ , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))

Пример:

Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:

• Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(1 2 + 1 2 ) = √2
• Найдём аргумент числа: φ = arctan(

Источник: programforyou.ru

Скачать Калькулятор Комплексных Чисел «CaRevol Jet»

На вкус и цвет товарища нет. Выбери внешний вид программы сам. Считай с комфортом!
Темы оформления — Cкины для калькулятора.

Файл

Системные Требования

Место на Диске

Программе необходимо 3,5 мегабайт на HDD

5..10 мегабайт ОЗУ

Глубина Цвета

16-битный цвет для полноты ощущений

Операционная Система

Windows XP, Windows Vista, Windows 7.

Нашли ошибки в нашей программе?

Ну что ж, людям свойственно ошибаться. Присылайте их описание нам на электропочту (KUIPACUIP или NoBuenHombre) или оставьте сообщение в гостевой книге, разберемся. 🙂

Источник: www.siarion.net

Решение задач по математике онлайн

‘.$_COOKIE[’email’].’ Выход’ ); /*

‘ ); if ( isset($g_sVIPto) ) echo( ‘Дата окончания VIP статуса: ‘.$g_sVIPto.’ ‘ ); else echo( ‘VIP статуса нет. Как получить ?’ ); echo( ‘

‘ ); > else < // Если юзер НЕавторизованный : $redirect_uri = rawurlencode( ‘//www.math-solution.ru/parts/login.php?backUrl=’.$_SERVER[‘REQUEST_URI’] ); //

Вход:

Калькулятор онлайн.
Калькулятор для решения комплексных чисел.
Сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел.
Вычислить n-ую степень и корень n-ой степени.

С помощью данного калькулятора вы можете сложить, вычесть, умножить, и разделить комплексные числа.
Программа решения комплексных чисел не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода действительной и мнимой части

Комплексное число состоит из двух частей — действительной и мнимой.
Первое поле ввода — для действительной части, второе — для мнимой.
Для правильного ввода комплексного числа нужно ввести как минимум одну часть — действительную или мнимую.

Числа в действительную или мнимую части можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так + i

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: + i
Результат: ( -frac — frac cdot i )

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: droneZone» —> 3D модели Создание острова Эмулятор
гравитации Игра «iChart» —> Головоломка «SumWaves»

Немного теории.

Понятие комплексного числа

Определение.
Комплексными числами называют выражения вида (а + bi) где (a) и (a) — действительные числа, а (i) — некоторый символ, для которого по определению выполняется равенство ( i^2=-1 ).

Название «комплексные» происходит от слова «составные» — по виду выражения (а + bi). Число (а) называется действительной частью комплексного числа (а + bi), а число (b) — его мнимой частью. Число (i) называется мнимой единицей.
Например, действительная часть комплексного числа (2-3i) равна (2), мнимая часть равна (-3).
Запись комплексного числа в виде (а + bi) называют алгебраической формой комплексного числа.

Равенство комплексных чисел

Определение.
Два комплексных числа (a + bi) и (c + di) называются равными тогда и только тогда, когда (a =c) и (b =d), т. е. когда равны их действительные и мнимые части.

Сложение и умножение комплексных чисел

Операции сложения и умножения двух комплексных чисел определяются следующим образом.

Определения.
Суммой двух комплексных чисел (a+ bi) и (c + di) называется комплексное число ( (a+c) + (b+d)i ), т.е. ( (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ).

Произведением двух комплексных чисел (a + bi) и (c + di) называется комплексное число ( (ac — bd) + (ad + bc)i ), т. е.
( (a + bi)(с + di) = (aс-bd) + (ad + bc)i ).

Из двух предыдущих формул следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами. Поэтому нет необходимости запоминать эти формулы, их можно получить по обычным правилам алгебры, считая, что ( i^2=-1 ).

Основные свойства сложения и умножения комплексных чисел

1. Переместительное свойство
( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 ),
( z_1z_2 = z_2z_1 )

2. Сочетательное свойство
( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) ),
( (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) )

3. Распределительное свойство
( z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3 )

Комплексно сопряженные числа

Определение.
Сопряженным с числом (z = a + bi) называется комплексное число (a -bi), которое обозначается ( overline ), т. е.
( overline = overline = a-bi )

Например :
( overline = 3-4i ),
( overline = -2+5i ),
( overline = -i )

Отметим, что ( overline = a+bi ), поэтому для любого комплексного числа (z) имеет место равенство
( overline<(overline)> = z )
Равенство ( overline = z ) справедливо тогда и только тогда, когда (z) — действительное число.

Модуль комплексного числа

Определение.
Модулем комплексного числа (z = a + bi) называется число ( sqrt ), т.е.
( |z|=|a+bi| = sqrt )

Из данной формулы следует, что ( |z| geqslant 0 ) для любого комплексного числа (z), причем (|z|=0) тогда и только тогда, когда (z=0), т.е. когда (a=0) и (b=0).

Вычитание комплексных чисел

Определение.
Комплексное число ( (-1)z ) называется противоположным комплексному числу (z) и обозначается (-z).
Если (z = a + bi), то (-z = -a — bi)
Например : ( -(3-5i) = -3+5i )
Для любого комплексного числа (z) выполняется равенство
( z+(-z) = 0 ).

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел (z_1) и (z_2) существует, и притом только одно, число (z), такое, что
( z + z_2 = z_1 ),
т.е. это уравнение имеет только один корень.

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел ( z_1 ) и ( z_2 neq 0 ) существует, и притом только одно, число ( z ), такое, что ( z cdot z_2=z_1 ) т.е. это уравнение относительно z имеет только один корень, который называется частным чисел ( z_1 ) и ( z_2 ) и обозначается ( z_1:z_2 ), или ( frac ), т.е. ( z=z_1:z_2 = frac )

Комплексное число нельзя делить на ноль.

Частное комплексных чисел ( z_1 ) и ( z_2 neq 0 ) можно найти по формуле
$$ frac = frac <|z_2|^2>$$

Каждое комплексное число (z), не равное нулю, имеет обратное ему число (w), такое, что (z cdot w = 1), где
$$ w= frac = frac-fraci $$

Если ( z_1 = a_1 + b_1i ; , ; z_2 = a_2 + b_2i ), то формулу частного комплексных чисел можно представить в виде
$$ frac = frac= frac = frac+ fraci $$

Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Комплексная плоскость

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число (a + bi) можно рассматривать как пару действительных чисел ((a; b)). Поэтому естественно комплексные числа изображать точками плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число (z = a + bi) изображается точкой плоскости с координатами ((a; b)), и эта точка обозначается той же буквой (z).

Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу (a + bi) соответствует одна точка плоскости с координатами ((a; b)) и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами ((a; b)) соответствует одно комплексное число (a + bi). Поэтому слова «комплексное число» и «точка плоскости» часто употребляются как синонимы. Так, вместо слов «точка, изображающая число (1 + i)» говорят «точка (1 + i)». Можно, например, сказать «треугольник с вершинами в точках (i, ; 1+i, ; -i )».

При такой интерпретации действительные числа (a), т.е. комплексные числа (a+0i), изображаются точками с координатами ((a; 0)), т.е. точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью.
Чисто мнимые числа (bi = 0+bi) изображаются точками с координатами ((0; b)), т.е. точками оси ординат, поэтому ось ординат называют мнимой осью. При этом точка с координатами ((0; b)) обозначается (bi).
Например, точка ((0; 1)) обозначается (i), точка ((0; -1)) — это (-i) , точка ((0; 2)) — это точка (2i).
Начало координат — это точка (O).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Отметим, что точки (z) и (-z) симметричны относительно точки (O) (начала координат), а точки ( z ) и ( overline ) симметричны относительно действительной оси.

Комплексное число (z = a+bi) можно изображать вектором с началом в точке (O) и концом в точке (z). Этот вектор будем обозначать той же буквой (z), длина этого вектора равна (|z|).

Число ( z_1 + z_2 ) изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов ( z_1 ) и ( z_2 ) а вектор ( z_1 — z_2 ) можно построить как сумму векторов ( z_1 ) и ( -z_2 ).

Геометрический смысл модуля комплексного числа

Выясним геометрический смысл модуля комплексного числа (|z|). Пусть (z = a+bi). Тогда по определению модуля ( |z|= sqrt ). Это означает, что (|z|) — расстояние от точки (O) до точки (z).

Например, равенство (|z| = 4) означает, что расстояние от точки (O) до точки (z) равно (4). Поэтому множество всех точек (z), удовлетворяющих равенству (|z| = 4), является окружностью с центром в точке (O) радиуса (4). Уравнение (|z| = R) является уравнением окружности с центром в точке (O) радиуса (R), где (R) — заданное положительное число.

Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел

Выясним геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел, т.е. ( |z_1-z_2| ).
Пусть ( z_1 = a_1+b_1i, ; z_2 = a_2+b_2i )
Тогда ( |z_1-z_2| = |(a_1-a_2) + (b_1-b_2)i| = sqrt )

Из курса геометрии известно, что это число равно расстоянию между точками с координатами ( (a_1;b_1) ) и ( (a_2;b_2) ).

Итак, ( |z_1-z_2| ) — расстояние между точками ( z_1 ) и ( z_2 ).

Тригонометрическая форма комплексного числа. Аргумент комплексного числа

Определение
Аргумент комплексного числа ( z neq 0 ) — это угол ( varphi ) между положительным направлением действительной оси и вектором (Oz). Этот угол считается положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательным при отсчете по часовой стрелке.

Связь между действительной и мнимой частями комплексного числа (z = a + bi), его модулем (r=|z|) и аргументом ( varphi ) выражается следующими формулами:
( left< begin a=r cos varphi \ b=r sin varphi end qquad (1) right. )

Аргумент комплексного числа (z = a+bi) ( ( z neq 0 ) ) можно найти, решив систему (2). Эта система имеет бесконечно много решений вида ( varphi =varphi_0+2kpi ), где ( kinmathbb , ;; varphi_0 ) — одно из решений системы (1), т.е. аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.

Для нахождения аргумента комплексного числа (z = a+bi) ( ( zneq 0 ) ) можно воспользоваться формулой
( tg varphi = large frac normalsize qquad (3) )

При решении уравнения (3) нужно учитывать, в какой четверти находится точка (z = a+bi).

Запись комплексного числа в тригонометрической форме

Из равенства (1) следует, что любое комплексное число (z = a+bi), где ( zneq 0 ), представляется в виде
( z = r(cosvarphi +isinvarphi ) qquad (4) )
где ( r=|z|=sqrt ) — модуль комплексного числа (z), ( varphi ) — его аргумент. Запись комплексного числа в виде (4), где (r>0), называют тригонометрической формой комплексного числа (z).

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме

С помощью тригонометрической формы записи комплексных чисел удобно находить произведение и частное комплексных чисел (z_1) и (z_2). Если два комплексных числа записаны в тригонометрической форме :
( z_1 = r_1(cosvarphi_1 +isinvarphi_1), quad z_2 = r_2(cosvarphi_2 +isinvarphi_2) ) то произведение этих комплексных чисел можно найти по формуле:
( z_1z_2 = r_1r_2(cos(varphi_1+varphi_2) +isin(varphi_1+varphi_2)) )

Из этой формулы следует, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Формула для нахождения частного комплексных чисел:
$$ frac = frac(cos(varphi_1-varphi_2) +isin(varphi_1-varphi_2)) $$

Из этой формулы следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного.

Формула Муавра

Для любого ( n in mathbb ) справедлива формула
$$ z^n = r^n(cos varphi + i sin varphi)^n = r^n(cos (nvarphi) + i sin (nvarphi) ) $$
которую называют формулой Муавра.

Вы вошли как
Выход Вход

Источник: www.math-solution.ru