Производная программа что это

Оптимизация функции потерь и понятие производной

При обучении любой модели мы подбирали идеальные веса. Если это модель линейной регрессии (linear regression model) с одним признаком (одной независимой переменной), то наше уравнение может выглядеть следующим образом (постоянный коэффициент или сдвиг мы пока опустим для простоты).

Для того чтобы подобрать вес w у нас есть ещё одна функция, называемая функцией потерь (loss function). Это наш критерий качества первой, основной модели.

Напомню, в данном случае мы находим среднеквадратическую ошибку или MSE, которая показывает среднее расстояние всех точек до линии регрессии.

Для того чтобы сделать более очевидной связь функции потерь с исходной моделью мы можем переписать ее следующим образом.

$$ MSE = frac sum^_ (y_i-(w times x_i))^2 $$

Подставляя наши данные (xi) и веса (w) и сравнивая результат с целевым значением (yi), мы будем на каждой итерации получать определенный уровень ошибки.

Графически, модель регрессии — это прямая, функция потерь — парабола. Представим, что в упрощенном виде, эти функции выглядят следующим образом.

ПРОИЗВОДНАЯ функции. Объяснение математического смысла.

Как они связаны? Там где при определенном весе w значение функции потерь (т.е. ошибка) минимально, вес (а значит и наклон прямой) основной функции оптимален. Из графика очевидно, что идеальным весом с минимальной ошибкой, а значит и наклоном линии регрессии будет w = 2.

Как же найти эту точку? Ведь графики — это просто иллюстрация и никакого надежного метода мы пока не придумали.

Наклон касательной к функции потерь

Давайте возьмем несколько точек на горизонтальной оси w, на уровне этих точек проведем касательные линии (tangent lines) к нашей параболе и рассчитаем их наклон.

Становится очевидно, что в точке b, где наклон касательной равен нулю, наша функция имеет минимальную ошибку, а вес модели идеален. Остаётся выяснить, как рассчитать наклон в каждой из точек.

Производная функции

Оказывается, для многих функций можно найти производную от них функцию или просто производную (derivative).

Значение производной показывает наклон касательной к исходной функции в определенной точке.

Давайте разберем это первое важное для нас утверждение пошагово:

Шаг 1. Берем функцию, например, параболу и находим еще одну функцию, производную от нее.

Обозначение производной f'(w) читается как «эф штрих от далб ю».

Шаг 2. Берем любое значение w, например, w = 3, и подставляем в уравнение производной.

$$ f'(3) = 2 times 3-4 = 2 $$

Число два характеризует наклон касательной к параболе в точке w = 3.

Нахождение производной

Остается выяснить, как мы пришли от функции к ее производной?

АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?

$$ f(w) = (2-w)^2 rightarrow f'(w) = 2w-4 $$

Давайте проведем линию (она называется секущей (secant line)) через нашу параболу в точке (w; f(w)) и в точке ((w + Δw); f(w + Δw)). Здесь Δ — это греческая буква «дельта», которой часто обозначают разницу или изменение чего-либо.

Наклон секущей линии будет равен отношению приращения функции к приращению аргумента (difference quotient).

Другими словами, мы посмотрим насколько изменится расстояние по вертикали f(w + Δw) − f(w) при заданном изменении по горизонтали (w + Δw) − w или просто Δw.

Графическое решение

Для того чтобы графически перейти от секущей к касательной мы можем представить, что бесконечно уменьшаем приращение аргумента Δw. Ещё говорят, что Δw стремится к нулю.

Так вот по мере того, как Δw стремится к нулю, секущая линия будет стремиться к касательной в точке w. Именно это нам и нужно.

Алгебраическое решение

Теперь давайте найдем производную параболы алгебраически. Для этого подставим в формулу выше нашу параболу, раскроем скобки и упростим выражение.

$$ frac +2w Delta w + Delta w^2-cancel-4 Delta w + cancel -cancel+cancel-cancel > = $$

Вспомните, мы допустили превращение секущей в касательную при стремлении Δw к нулю. Так как это бесконечно малая величина, мы можем ей пренебречь, и у нас остаётся уравнение производной.

Правила нахождения производной

Если у функции есть производная (а так бывает не всегда), то с помощью отношения приращений ее можно найти. Однако, по мере усложнения функции, такой способ нахождения производной становится очень долгим.

К счастью, из формулы отношения приращений можно вывести несколько несложных правил, которые упрощают и ускоряют процесс дифференцирования функции (т.е. нахождения ее производной).

Производная константы

График константы (C) — это всегда горизонтальная прямая, а значит наклон касательной в любой точке и производная равны нулю.

$$ f(w) = C rightarrow f'(w) = 0 $$

Проиллюстрируем на графике.

Производная степенной функции

К степенной функции относится уже встречавшаяся нам квадратичная функция w 2 . Ее можно дифференцировать по следующей формуле.

$$ f(w) = w^n rightarrow f'(w) = nw^ $$

Подставим число 2 вместо n.

$$ f(w) = w^2 rightarrow f'(w) = 2w^ = 2w $$

Умножение на число

Если функция умножена на число, то при дифференцировании, мы можем умножить производную функции на это число.

$$ f(w) = Cg(w) rightarrow f'(w) = Cg'(w) $$

$$ f(w) = 2w^3 rightarrow f'(w) = 2 cdot 3w^ = 6w^2$$

Производная суммы и разности

Производная суммы двух функций равна сумме производных каждой из этих функций. То же самое с разностью.

Приведем несложный пример.

$$ f(w) = w^4+3w rightarrow $$

Производная разности находится аналогично.

Производная произведения и частного

Производные произведения и частного требуют несколько более сложных вычислений, но в целом находятся аналогично производным суммы и разности двух функций.

$$ (f(w) cdot g(w))’ = f'(w) cdot g(w) + f(w) cdot g'(w) $$

Приведем примеры для каждой из формул. Начнем с произведения константы на степенную функцию.

$$ f'(w) = 0 cdot w^3 + 5 cdot 3w^2 = 15w^2 $$

Замечу, что в данном случае мы пришли к тому же результату, как если бы использовали формулу умножения функции на число.

$$ f'(w) = 5 cdot 3w^ = 15w^2 $$

Теперь посмотрим на производную частного двух функций.

Обратите внимание, именно эти формулы вы видите на иллюстрации к настоящему курсу. Отличие заключается в том, что h мы заменили на Δw. Кроме того, для простоты, мы не вводили понятие предела функции (lim от англ. limit).

Производная композиции функций

Прежде чем мы перейдем к нахождению производной композиции функций (composite function) или, что почти одно и то же, производной сложной функции, давайте в принципе вспомним, что это такое. Пусть даны две функции.

Тогда композицией этих функций f(g(x)) будет

На схеме это можно представить следующим образом:

Если подставить значение в такую функцию (например, x = 3), то расчет будет выглядеть так.

Теперь про то, как дифференцировать такую функцию. Приведем правило.

Давайте словами опишем каждое действие.

1. Вначале дифференцируем внешнюю функцию f(w)
2. Затем вместо w подставляем внутреннюю функцию g(w)

Получается сложная функция из производной внешней функции и внутренней функции f'(g(w)).

1. Наконец мы умножаем эту сложную функцию на производную внутренней функции g(w)

Эту формулу называют цепным правилом или chain rule.

Теперь найдем производную композиции функций, приведенных выше. Вначале для удобства вычислим производные каждой из функций.

Применим chain rule.

Онлайн-калькуляторы и библиотека SimPy

После того как вы поняли суть производной и принцип ее нахождения, разумеется, в целях экономии времени удобно воспользоваться онлайн-калькулятором⧉ или Питоном.

В Питоне можно воспользоваться библиотекой SymPy (Symbolic Mathematics in Python). Библиотека SimPy — это система компьютерной алгебры (Computer Algebra System, CAS), которая позволяет работать с математическими выражениями, как если бы мы производили вычисления на бумаге.

Приведем распространенный пример с функцией квадратного корня. Если использовать, например, модуль math, то результатом извлечения квадратного корня из числа 11 будет его приближенное значение.

Источник: www.dmitrymakarov.ru

Производная функции онлайн

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной

Калькулятор решает производные c описанием действий ПОДРОБНО бесплатно!

• Производная функции от одной переменной
• Производная функции от двух или трех переменных
• Производная функции, заданной неявно
• Производная функции, заданной параметрически
• Производная второго порядка
• Производная третьего порядка

Производная функции от одной переменной

Это он-лайн сервис в один шаг:

• Ввести функцию, для которой надо найти производную

Производная функции от двух или трех переменных

Это он-лайн сервис в один шаг:

• Ввести функцию, для которой надо найти частные производные

Производная неявной функции

Введите функцию, заданную в неявном виде, вы получите соответствующую производную.

Производная параметрической функции

Это он-лайн сервис в три шага:

• Ввести функцию x = x(t)
• Ввести функцию y = y(t)

Таблица производных

Вы также можете воспользоваться таблицей производных, чтобы самостоятельно вычислить любую производную, перейти:

Производная сложной функции

Производную сложной функции онлайн вы сможете вычислить с помощью калькулятора производных здесь.

Вторая производная

Это он-лайн сервис в два шага:

• Ввести функцию, для которой надо найти производную
• Ввести найденную первую производную в форму

Третья производная

Это он-лайн сервис в три шага:

• Ввести функцию, для которой надо найти производную
• Ввести найденную первую производную в форму
• Ввести найденную вторую производную функции в форму

Что такое производная функции?

Подробнее про производную функции вы можете посмотреть по ссылке

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Источник: www.kontrolnaya-rabota.ru

Автоматическое дифференцирование «на пальцах»

В компании Intel разрабатывают не только ПО для «внешних» потребителей — пишутся и программы, которые используются только внутри Intel. Среди них довольно много средств для численного моделирования различных физических процессов, протекающих при изготовлении процессоров — ведь именно последние и являются основной продукцией Интела. В этих программах, конечно, широко используются различные методы вычислительной математики и физики.
Вот некоторое время назад мне понадобилось программно решать одно уравнение методом Ньютона. Казалось бы, все просто, но для этого надо уметь вычислять производную левой части уравнения. Эта левая часть у меня была довольно сложная — даже просто вычисление ее значений в программе было разбросано по нескольким функциям, — и перспектива вычислять производную на бумажке меня не радовала. Перспектива воспользоваться каким-нибудь пакетом символьных вычислений меня радовала не больше — перенабирать все формулы, содержащие к тому же несколько частных случаев, далеко не очень приятно. Вариант вычислять производную численно как разность значений функции в двух соседних точках, деленную на соответствующее приращение независимой переменной, чреват потерей точности и вообще необходимостью подбирать подходящее приращение этой переменной.
Подумав некоторое время, я применил следующий подход. Потом я узнал, что он называется «автоматические дифференцирование», для него существует довольно обширная литература на английском, и ряд библиотек — но на русском я нашел только некоторые научные статьи про применение этого метода, и пост на Хабрахабре, в котором все рассказывается через смесь дуальных и комплексных чисел, и понять который с ходу, на мой взгляд, тяжело. С другой стороны, для понимания и практического применения автоматического дифференцирования не нужны никакие дуальные числа, и этот подход я тут и изложу.

Простые соображения

Итак, пусть у нас есть какая-нибудь функция . Пусть мы в некоторой точке знаем ее значение , и знаем значение ее производной . Мы знаем только только два числа: и , больше ничего знать нам не надо — ни выражения для , ни даже значения . Рассмотрим функцию и зададимся вопросом: чему равно ее значение и значение ее производной в точке ? Очевидно: и . Обратите внимание, что в правой части здесь стоят только те числа, которые мы знаем.

Вопрос чуть сложнее: рассмотрим функцию , и зададимся про нее тем же вопросом. Несложно видеть, что и в этом случае мы легко находим , и . Аналогично, для имеем и . И так далее: для любой элементарной функции, примененой к , мы можем вычислить значение и производную, используя только два числа: и .

Далее, пусть есть еще какая-нибудь функция , и про нее мы тоже знаем только два числа: и . Тогда для функции мы столь же легко можем вычислить и значение, и производную в той же точке; и аналогично для любой бинарной операции. Например, для умножения имеем: если , то и .

Таким образом, мы можем свободно выполнять любые операции над парами чисел (значение функции, значение ее производной), и никакой дополнительной информации нам не понадобится. Если в некоторой точке мы знаем значения некоторых «базовых» функций и значения их производных, то для любой сложной функции, определяемой через эти «базовые», мы можем автоматически вычислить и ее значение, и значение ее производной.

Код

Легко пишется класс, который реализует такую арифметику:

class Derivable < double val, deriv; public: Derivable(double _val, double _deriv) : val(_val), deriv(_deriv) <>double getValue() double getDerivative() Derivable operator+(Derivable f) < return Derivable(val + f.val, deriv + f.deriv); >Derivable operator-(Derivable f) < return Derivable(val — f.val, deriv — f.deriv); >Derivable operator*(Derivable f) < return Derivable(val * f.val, deriv * f.val + val * f.deriv); >Derivable operator/(Derivable f) < return Derivable(val / f.val, (deriv * f.val — val * f.deriv) / f.val / f.val); >friend Derivable cos(Derivable f); >; Derivable cos(Derivable f)

Теперь, если у нас есть код, вычисляющий некоторую функцию, то достаточно просто заменить везде double на Derivable — и получится код, вычисляющий ту же функцию вместе с ее производной.

Правда, конечно, возникнет вопрос: с чего начать? Мы пока умеем по Derivable получать новые Derivable , но откуда взять самые первые Derivable ? На самом деле, все понятно. В выражения для нашей функции входят, во-первых, различные константы, не зависящие от , и, во-вторых, собственно сама . Любую константу , не зависящую от , надо, конечно, заменить на Derivable(c, 0) ; а вхождения собственно переменной — на Derivable(x0, 1) . (Здесь для понятности x0 обозначает то значение , для которого мы вычисляем функцию. В реальной программе, скорее всего, соответствующая переменная будет называться тоже x ).

Вот пример вычисления функции вместе с ее производной:

Derivable f(double x, double a) < Derivable xd(x, 1); Derivable ad(a, 0); Derivable two(2, 0); return ad*xd*xd*xd — cos(xd/two); >
Естественно, чтобы не городить такой код, проще добавить в наш класс неявное преобразование типов:
Derivable(double c): val(c), deriv(0) <>
и именованный конструктор для независимой переменной:
static Derivable IndependendVariable(double x)
после чего код функции f становится еще проще:
Derivable f(double x, double a) < Derivable xd = Derivable::IndependendVariable(x); return xd*xd*xd*a — cos(xd/2); >

Вот пример кода, решающего уравнение методом Ньютона (здесь я еще, естественно, операторы сделал глобальными, чтобы работало a*xd ; выше они члены класса только для того, чтобы не загромождать код). Если вы захотите изменить решаемое уравнение, вам надо поменять код функции f и всё; производная будет автоматически вычисляться верно. (Конечно, в данном примере, может быть, проще было бы посчитать производную руками, потому что функция простая, — но как только уравнения у вас становятся более сложными, возможность не думать о коде вычисления производной оказывается очень удобной.)

Все это будет работать, даже если у нас в коде есть не очень сложные ветвления, циклы, вызовы других функций и т.д. — главное везде все промежуточные переменные (и в том числе результаты промежуточных функций) сделать Derivable , остальной код даже менять не потребуется!

Конечно, можно придумать и такую функцию, для которой такой подход работать не будет — вдруг вам придет в голову вычислять функцию f методом Монте-Карло? — но все равно область применения автоматического дифференцирования весьма широка. (А потом, если уж вы и правда вычисляете свою функцию методом Монте-Карло, то как вы вообще представляете себе ее производную?)

Обобщения

Напоследок несколько слов об обобщениях этого подхода. На случай нескольких независимых переменных все обобщается очевидным образом: просто будем хранить соответствующее количество производных. Полезно, наверное, класс Derivable сделать шаблонным, принимающим в качестве параметра шаблона количество независимых переменных.

Также несложно все обобщить и на случай производных высших степеней. Я этого сам не делал, но с ходу мне кажется, что это не очень сложно, хотя немного подумать придется. Во-первых, конечно, можно вручную для каждого оператора и элементарной функции вывести формулы пересчета всех производных до нужной степени, и забить эти формулы в код. Во-вторых, можно все-таки думать в терминах дуальных чисел (см. по ссылкам из начала поста), или (как, на мой взгляд, проще), в терминах разложения в ряд Тейлора: если мы храним не производные, а коэффициенты разложения в ряд, то нам надо просто уметь выполнять операции над рядами, что довольно просто.

).

Тогда если написать Derivable, то не получатся ли вторые производные автоматически? Эдакое применение автоматического дифференцирования к автоматическому дифференцированию. Правда, при таким подходе делается лишняя работа: если расписать, например, какой получится оператор умножения, то видно, что всё получится правильно, но первая производная будет вычисляться дважды. Кстати, при правильной инициализации начальных переменных объекты типа Derivable, видимо, можно применять и для вычисления производных по нескольким независимым переменным.

Другие реализации

Отмечу, что описанный выше подход с перегрузкой операторов не является единственным возможным; даже различают «forward» и «reverse» реализации (подробнее см. в википедии и по ссылкам оттуда). В частности, по-видимому, многие коды, на которые приведены ссылки в википедии, используют несколько более общие подходы — но я их смотрел только очень поверхностно.

Ссылки

http://habrahabr.ru/post/63055/
http://en.wikipedia.org/wiki/Automatic_differentiation, со ссылками на множество реализаций
http://www.coin-or.org/CppAD/Doc/mul_level.htm (про конструкцию вида Derivable)

• математика
• производная
• численные методы

Источник: habr.com

Производная функции

Данный калькулятор вычисляет производную функции и затем упрощает ее.
В поле функция введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции + сложение, — вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции. Полный синтаксис смотрите ниже.
Упрощение полученной производной может занять некоторое время, для сложных функций — весьма продолжительное. Если ждать до конца нет сил — нажмите кнопку остановить. У меня получался достаточно простой вариант уже после 10-15 секунд работы алгоритма упрощения.

Калькулятор производных

Производная функции

Функция одного аргумента

Допустимые операции: + — / * ^ Константы: pi Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

Рассчитать
Производная функции
Показать детали вычисления
Показать шаги вычисления производной и упрощения формулы
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Загрузить 

 Ссылка  Сохранить  Виджет

Синтаксис описания формул

В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, — — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.

Источник: planetcalc.ru