Модифицированная программа элективного курса «Решение сложных задач по математике» рассчитана на второе полугодие. Данный элективный курс разработан в рамках предпрофильной подготовки для ориентации учебно-воспитательного процесса на удовлетворение потребностей учащихся в углублении их знаний, умений и навыков по математике и готовит обучающихся к переходу в старшем звене на профильный уровень обучения. Он предназначен для учащихся 9 класса и рассчитан на 17 часов. Составлена на основе сборника элективных курсов “Математика 8-9 классы”, составитель В. Н . Студенецкая, Л.С. Сагателова.- Волгоград. “Учитель”. 2007-205 с.
Курс ориентирован на развитие у школьника умений решать задачи практического характера: представление данных в таблицах и диаграммах; Он развивает умение работать с информацией, представленной в виде таблиц, графиков, диаграмм, производить интерпретацию результатов.Большую часть программы составляет решение прикладных задач из курсов физики и химии. Эти задачи практически не решаются на уроках математики. Особое внимание следует уделить задачам на проценты.
Урок 20. Геометрическая задача повышенной сложности. Вебинар | Подготовка к ОГЭ | Математика
Полезно ознакомить учащихся с задачами, взятыми непосредственно из жизни (платежи, налоги, прибыль, демография, экология, результаты социологических опросов и т.д).При решении многих задач требуется умение графического построения функции. Такие уроки целесообразно проводить в компьютерных классах, т. к. существует большое количество прикладных программ, работать с которыми будет интересно и не составит сложности.
Содержание учебного материала соответствует целям предпрофильного обучения и обладает новизной для учащихся. Освоение программы способствует интеллектуальному, творческому, эмоциональному развитию школьников, т. к. содержит ценный опыт практической деятельности человека. Программа не создает учебных перегрузок для школьников, т. к. предполагает отсутствие домашних заданий. Она предполагает применение активных методов обучения, т. е. освоение прикладных математических программ. Эффективность программы обеспечивается таким изучением материала, при котором на восстановление забытых или уже утраченных знаний не нужно будет много времени, т. к. получение новых знаний будет базироваться на недавно пройденном материале.
Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.
Ожидаемые результаты
Учащиеся должны знать :
— понимать содержательный смысл термина ”процент” как специального способа выражения доли величины;
— алгоритмы решения задач на проценты составлением уравнения;
— формулы начисления “сложных процентов” и простого роста;
— понимать что такое концентрация, процентная концентрация.
Учащиеся должны уметь :
— решать сложные задачи на проценты;
— применять алгоритмы решения задач составлением уравнений к решению более сложных задач;
20220310 Решение задач ОГЭ повышенной сложности по геометрии
— использовать формулы начисления “сложных процентов” и простого процентного роста при решении задач;
— решать задачи на сплавы, смеси, растворы;
— производить прикидку и оценку результатов вычислений;
— при вычислениях сочетать устные и письменные приемы, применять калькулятор, использовать приемы, рационализирующие вычисления;
— уметь соотносить процент с соответствующей дробью;
-уметь работать с графиками, строить и читать;
-переносить знания и умения в новую, нестандартную ситуацию.
Источник: doroga-v-shkolu.ru
Рабочая программа по элективному курсу «Решение задач повышенной сложности по математике»
Программа обеспечивает достижение следующих результатов освоения образовательной программы основного общего образования:
1) сформированность ответственного отношения к учению, готовность и способности обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и по- знанию, выбору дальнейшего образования на базе ориентировки в мире профессий и профессиональных предпочтений, осознанному построению индивидуальной образовательной траектории с учётом устойчивых познавательных интересов;
2) сформированность целостного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики;
3) сформированность коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками, старшими и младшими, в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, творческой и других видах деятельности;
4) умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;
5) представление о математической науке как сфере человеческой деятельности, об этапах её развития, о её значимости для развития цивилизации;
6) критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта;
7) креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении алгебраических задач;
8) умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;
9) способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений.
метапредметные:
1) умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;
2) умение осуществлять контроль по результату и по способу действия на уровне произвольного внимания и вносить необходимые коррективы;
3) умение адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, её объективную трудность и собственные возможности её решения;
4) осознанное владение логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий, классификации на основе самостоятельного выбора оснований и критериев, установления родовидовых связей;
5) умение устанавливать причинно-следственные связи; строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и выводы;
6) умение создавать, применять и преобразовывать знаково- символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач;
7) умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками: определять цели, распределение функций и ролей участников, взаимодействие и общие способы работы; умение работать в группе: находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учёта интересов; слушать партнёра; формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение;
8) сформированность учебной и общепользовательской компетентности в области использования информацонно-коммуникационных технологий (ИКТ-компетентности);
9) первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов;
10) умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни;
11) умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять её в понятной форме; принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации;
12) умение понимать и использовать математические средства наглядности (рисунки, чертежи, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;
13) умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;
14) умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач;
15) понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;
16) умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем;
17) умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера.
1) умение работать с математическим текстом (структурирование, извлечение необходимой информации), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, применяя математическую терминологию и символику, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический), обосновывать суждения, проводить классификацию, доказывать математические утверждения;
2) владение базовым понятийным аппаратом: иметь представление о числе, владение символьным языком алгебры, знание элементарных функциональных зависимостей, формирование представлений о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер;
3) умение выполнять алгебраические преобразования рациональных выражений, применять их для решения учебных математических задач и задач, возникающих в смежных учебных предметах;
4) умение пользоваться математическими формулами и самостоятельно составлять формулы зависимостей между величинами на основе обобщения частных случаев и экспери- мента;
5) умение решать линейные и квадратные уравнения и неравенства, а также приводимые к ним уравнения, неравенства, системы; применять графические представления для решения и исследования уравнений, неравенств, систем; применять полученные умения для решения задач из математики, смежных предметов, практики;
6) овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, умение строить графики функций, описывать их свойства, использовать функционально-графические представления для описания и анализа математических задач и реальных зависимостей;
7) овладение основными способами представления и анализа статистических данных; умение решать задачи на нахождение частоты и вероятности случайных событий;
8) умение применять изученные понятия, результаты и методы при решении задач из различных разделов курса, в том числе задач, не сводящихся к непосредственному приме- нению известных алгоритмов.
Планируемые результаты обучения отражают следующие четыре категории познавательной области:
владение термином; владение различными эквивалентными представлениями (например, числа); распознавание (на основе определений, известных свойств, сформированных представлений); использование различных математических языков (символического, графического), переход от одного языка к другому; интерпретация.
Умение применить алгоритм:
использование формулы как алгоритма вычислений; применение основных правил действий с числами, алгебраическими выражениями; решение основных типов уравнений, неравенств, систем, задач.
Умение решить математическую задачу:
задания, при решении которых требуется применение (актуализация) системы знаний; преобразование связей между известными фактами; включение известных понятий, приемов и способов решения в новые связи и отношения, умение распознать стандартную задачу в измененной формулировке.
Применение знаний в жизненных, реальных ситуациях:
задания, формулировка которых «облечена» в практическую ситуацию, знакомую учащимся и близкую их жизненному опыту.
2. Содержание учебного предмета, курса
Модуль 1. Алгебраические задания базового уровня.
Функции и графики. Особенности расположения в координатной плоскости графиков некоторых функций в зависимости от значения параметров, входящих в формулы. Зависимость между величинами. Представление данных в виде таблиц, диаграмм и графиков. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Мода, медиана, среднее арифметическое.
Статистические характеристики. Решение задач. Заполнение бланков экзаменационной работы.
Модуль 2. Геометрические задачи базового уровня.
Треугольники, четырехугольники. Равенство треугольников, подобие. Формулы площади. Пропорциональные отрезки. Окружности.
Углы: вписанные и центральные.
Модуль 3. Задания повышенного уровня сложности.
Преобразования алгебраических выражений. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Исследование функции и построение графика. Кусочно-заданные функции, Построение графиков с модулем. решение Наибольшее и наименьшее значения функции. Задачи на движение.
Задачи на смеси, сплавы. Сложные проценты. Задачи на совместную работу. Задания с параметром: исследование графиков функций, решение уравнений и неравенств с параметром. Знаки корней квадратного трехчлена.
Расположение корней квадратного трехчлена. Параметры a , b , c и корни квадратного трехчлена. Геометрические задачи.
Модуль 4. Итоговое занятие. Проведение итоговой контрольной работы по материалам и в форме ГИА.
3.Тематическое планирование с указанием количества часов,
отводимых на освоение каждой темы.
Источник: znanio.ru
Эффективные технологии и методы решения экзаменационных задач повышенной сложности по математике
Материал данного учебного курса составлен на основе глубокого и тщательного анализа условий, схем, приемов, методов и технологий решения экзаменационных задач (ЕГЭ, олимпиады, вступительные эказмены) повышенной сложности по математике (алгебре и геометрии) и дает четкое представление о характере и сложности экзаменационных заданий, основных идеях и подходах к их решению.
Программа курса
| Темы | Содержание |
| Раздел 1. Эффективные нестандартные методы решения задач по алгебре | |
| Тема 1.1. Задачи на целые, рациональные и иррациональные числа. Задачи на сравнение. |
Целые числа. Делимость и остатки. Уравнения в целых числах. Смешанные задачи на целые числа. Рациональные и иррациональные числа. Сравнение чисел. |
| Тема 1.2. Эффективные методы решения иррациональных уравнений и неравенств. |
Эквивалентные преобразования при избавлении от радикалов, область определения и область значений, перебор вариантов и отбор решений в задачах с радикалами различных степеней, иррациональные уравнения и неравенства, поиск оптимального пути разрешения иррационального выражения. |
| Тема 1.3. Эффективные методы решения задач с модулями. Модифицированный метод интервалов (метод замены множителей, метод рационализации). |
Основные приемы равносильных преобразований уравнений и неравенств с модулями и функциями различных типов, различные приемы раскрытия модулей, использование геометрического смысла модуля функции. Переход к системам и совокупностям, метод областей, графические иллюстрации и плоские множества. Модифицированный метод интервалов в неравенствах различных типов, равносильные преобразования уравнений и неравенств, расщепление выражений относительно различных функций, сведение к системам и совокупностям, задачи с параметром и перебор вариантов в уравнениях и неравенствах комбинированных типов. |
| Тема 1.4. Комбинированные уравнения и неравенства. |
Сведение к уравнениям и неравенствам стандартных типов, системы уравнений и неравенств, эквивалентные преобразования и отбор решений различными способами. Обобщение и систематизация ранее использовавшихся методов, приемов и способов решения различных типов задач. |
| Тема 1.5. Тригонометрические неравенства. Обратные тригонометрические функции. |
Определения обратных тригонометрических функций, простейшие преобразования выражений, уравнений и неравенств, отбор решений, сведение к уравнениям и неравенствам стандартных типов. Решение тригонометрических неравенств с использованием тригонометрической окружности и целочисленного перебора вариантов, комбинированные задачи с применением комплекса различных методов. |
| Раздел 2. Методы решения задач повышенной сложности по алгебре | |
| Тема 2.1. Методы решения нестандартных задач по алгебре |
Различные типы текстовых задач: движение, работа, проценты, арифметическая и геометрическая прогрессии, оптимальный выбор и целочисленный перебор, минимальные и максимальные значения. Задачи на делимость чисел, системы и уравнения с целочисленными решениями, отбор корней по смыслу постановки задачи из неравенств и недоопределенных условий. |
| Тема 2.2. Исследование свойств квадратного трехчлена в задачах с параметром. |
Теорема о корнях квадратного трехчлена, расположение параболы на координатной оси, поиск специфических условий на корни, теорема Виета, применение вариантов графических иллюстраций, задачи с параметрами и различные способы их решения. |
| Тема 2.3. Использование различных свойств функций в задачах с параметрами. |
Периодичность, монотонность, четность, непрерывность и ограниченность входящих функций, выделение полных квадратов и составление цепочки сравнений. Оценки на фиксированных множествах, замены переменных, разложение на множители, исследование вспомогательных выражений. |
| Тема 2.4. Применение графических иллюстраций в задачах с параметрами. |
Плоские множества, эквивалентные преобразования к системам и совокупностям, координатная плоскость и тригонометрическая окружность, расщепление на элементарные функции. Перебор вариантов, замена на функции более простого типа, поиск площадей геометрических фигур. |
| Тема 2.5. Использование особенностей условия задач с параметром. |
Эквивалентные преобразования, различные приемы разложения на множители, применение комплекса методов решения нестандартных задач, логические выводы. Использование симметрии входящих выражений, необходимые условия единственности решений, существование корней, получение следствий, переформулирование задачи на этапе решения. Стандартные неравенства и тождества, их следствия и приводящие к ним замены переменных, получение ограничений на параметры и переменные. |
| Раздел 3. Решение планиметрических задач повышенной сложности | |
| Тема 3.1. Треугольник: свойства и решение задач. |
Замечательные точки и линии треугольника, связь различных элементов треугольника с окружностями, формулы решений для различных элементов треугольника, признаки равенства и подобия произвольных треугольников, основные теоремы и свойства произвольных треугольников. |
| Тема 3.2. Задачи на использование подобия. |
Общие признаки подобия треугольников, эквивалентные переходы от произвольных плоских фигур к треугольникам, теоремы Чевы и Менелая, способы их использования и альтернативного применения. |
| Тема 3.3. Окружность: свойства и решение задач. |
Связь различных элементов треугольников через общие окружности, равенства углов и пропорциональность отрезков в окружностях, связь различных элементов треугольников через общие окружности, вписанные и описанные окружности в треугольниках. Касательные и секущие к окружности, использование Декартовой системы координат и уравнений окружности, формулы площадей геометрических фигур с применением дуговых элементов, вписанные и описанные окружности, пропорциональность отрезков и хорд, площади сегментов и секторов. |
| Тема 3.4. Леммы о площадях и их использование для решения задач. |
Различные формулы для вычисления площадей треугольника, параллелограмма, трапеции и других геометрических фигур, разбиение на треугольники, суммирование площадей, общее определение площади фигуры, теоремы о площадях подобных фигур. |
| Тема 3.5. Параллелограммы, трапеции и другие четырёхугольники. |
Параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб, их признаки и специфические свойства, комплексные задачи на применение различных теорем и приемов исследования произвольных параллелограммов. Отдельные теоремы про трапеции различных типов, замечательные линии и числовые характеристики в трапеции, связь стандартных алгебраических выражений и их геометрических интерпретаций в трапеции. Произвольное задание плоской фигуры, теоремы о вписанных и описанных окружностях, о сумме внутренних и внешних углов. |
| Тема 3.6. Задачи на доказательство. |
Задачи на доказательство различных соотношений для элементов треугольника, многоугольника и окружности. Задачи на площади. |
| Тема 4.1. Прямая и наклонная призма. |
Многогранник, n-угольная призма. Прямая призма, правильная призма. Параллелепипед. Объем призмы и параллелепипеда. Наклонная призма. Объем наклонной призмы. Площадь боковой поверхности призмы. |
| Тема 4.2. Пирамиды. |
n-угольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Объем произвольной пирамиды и произвольной усеченной пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды и правильной усеченной пирамиды. Тетраэдр. Произвольные пирамиды. |
| Тема 4.3. Цилиндр. Конус. Шар. |
Цилиндр. Цилиндр, вписанный в призму и описанный около призмы. Площадь боковой поверхности и объем цилиндра. Конус. Конус, вписанный в пирамиду и описанный около пирамиды. Площадь боковой поверхности и объем конуса. Шар, сфера. Шар, вписанный в многогранник и описанный около многогранника. Площадь поверхности сферы, объем шара. Части шара. |
| Тема 4.4. Координаты и векторы. |
Прямоугольная Декартова система координат. Расстояние между двумя точками в пространстве. Вектор, координаты вектора. Сумма и скалярное произведение двух векторов. Уравнение плоскости. Геометрический смысл коэффициентов уравнения плоскости. |
| Тема 4.5. Комбинации тел. |
Способы взаимного расположения геометрических тел в пространстве с учетом наличия общих элементов, теоремы и признаки особых случаев симметрии и наложения, формулы решений для произвольно заданных элементов пространственных фигур. |
Источник: www.vmk-edu.ru