Введение понятия машины Тьюринга явилось одной из первых и весьма удачных попыток дать точный математический эквивалент для общего интуитивного представления об алгоритме. Это понятие названо по имени английского математика, сформулировавшего его в 1937 г., за 9 лет до появления первой электронно-вычислительной машины.
Машина Тьюринга есть математическая (воображаемая) машина, а не машина физическая. Она есть такой же математический объект, как функция, производная, интеграл, группа и. т.д. И, так же как и другие математические понятия, понятие машины Тьюринга отражает объективную реальность, моделирует некие реальные процессы.
Именно Тьюринг предпринял попытку смоделировать действия математика (или другого человека), осуществляющего некую умственную созидательную деятельность. Такой человек, находясь в определенном «умонастроении» («состоянии»), просматривает некоторый текст. Затем он вносит в этот текст какие-то изменения, проникается новым «умонастроением» и переходит к просмотру последующих записей.
Машина Тьюринга. Принцип работы компьютера
Машина Тьюринга действует примерно так же. Ее удобно представлять в виде автоматически работающего устройства. В каждый дискретный момент времени устройство, находясь в некотором состоянии, обозревает содержимое одной ячейки, протягиваемой через устройство ленты и делает шаг, заключающийся в том, что устройство переходит в новое состояние, изменяет (или оставляет без изменения) содержимое обозреваемой ячейки и переходит к обозрению следующей ячейки — справа или слева. Причем шаг осуществляется на основании предписанной команды. Совокупность всех команд представляет собой программу машины Тьюринга.
Опишем теперь машину Тьюринга более тщательно. Машина располагает конечным числом знаков (символов, букв), образующих так называемый внешний алфавит А = . В каждую ячейку обозреваемой ленты в каждый дискретный момент времени может быть записан только один символ из алфавита А. Ради единообразия удобно считать, что среди букв внешнего алфавита А имеется «пустая буква», и именно она записана в пустую ячейку ленты. Условимся, что «пустой буквой» или символом пустой ячейки является буква . Лента предполагается неограниченной в обе стороны, но в каждый момент времени на ней записано конечное число непустых букв.
Далее, в каждый момент времени машина способна находиться в одном состоянии из конечного числа внутренних состояний, совокупность которых Q = . Среди состояний выделяются два — начальное и заключительное (или состояние остановки) . Находясь в состоянии , машина начинает работать. Попав в состояние , машина останавливается.
Работа машины определяется программой (функциональной схемой). Программа состоит из команд. Каждая команда Т (i, j) (i=1,2,…, m; j=0,1, …, n) представляет собой выражение одного из следующих видов:
где 0 ? k ? m; 0? л ? n. В выражениях первого вида символ С будем часто опускать.
1) содержимое обозреваемой на ленте ячейки стирается и на его место записывается символ (который может совпадать с
Машина Тьюринга в двух словах.
2) машина переходит в новое состояние (оно также может совпадать с предыдущем состоянием );
3) машина переходит к обозрению следующей правой ячейки от той, которая обозревалась только что, если Х=П, или к обозрению следующей левой ячейки, если Х=Л, или же продолжает обозревать ту же ячейку ленты, если Х = С.
В следующий момент времени (если ? ) машина делает шаг, регламентированный командой Т (k, l): >Х и т.д.
Поскольку работа машины, по условию, полностью определяется ее состоянием в данный момент и содержимым обозреваемой в этот момент ячейки, то для каждых и (i=1, 2, …, m; j=0, 1, …, n) программа машины должна содержать одну и только одну команду, начинающуюся символами . Поэтому программа машины Тьюринга с внешним алфавитом А= и алфавитом внутренних состояний Q = содержит m (n+1) команд.
Словом в алфавите А или в алфавите Q, или в алфавите AQ называется любая последовательность букв соответствующего алфавита. Под k-й конфигурацией будем понимать изображение ленты машины с информацией, сложившейся на ней к началу k-го шага (или слово в алфавите А, записанное на ленту к началу k-го шага), с указанием того, какая ячейка обозревается в этот шаг и в каком состоянии находится машина. Имеют смысл лишь конечные конфигурации, т.е. такие, в которых все ячейки ленты, за исключением, быть может, конечного числа, пусты. Конфигурация называется заключительной, если состояние, в котором при этом находится машина, заключительное.
Если выбрать какую-либо незаключительную конфигурацию машины Тьюринга в качестве исходной, то работа машины будет состоять в том, чтобы последовательно (шаг за шагом) преобразовывать исходную конфигурацию в соответствии с программой машины до тех пор, пока не будет достигнута заключительная конфигурация. После этого работа машины Тьюринга считается закончившейся, а результатом работы считается достигнутая заключительная конфигурация.
Будем говорить, что непустое слово ? в алфавите А <>=, …, > воспринимается машиной в стандартном положении, если оно записано в последовательных ячейках ленты, все другие ячейки пусты, и машина обозревает крайнюю справа ячейку из тех, в которых записано слово ?. Стандартное положение называется начальным (заключительным), если машина, воспринимающая слово в стандартном положении, находится в начальном состоянии (соответственно в состоянии остановки ). Наконец, будем говорить, что слово ? перерабатывается машиной в слово b, если от слова ?, воспринимаемого в начальном стандартном положении, машина после выполнения конечного числа команд приходит к слову b, воспринимаемому в положении остановки.
Источник: studentopedia.ru
Описание программы-эмулятора машины Тьюринга
Тренажёр «Машина Тьюринга» – это учебная модель универсального исполнителя (абстрактной вычислительной машины), предложенного в 1936 году А. Тьюрингом для уточнения понятия алгоритма. Согласно тезису Тьюринга, любой алгоритм может быть записан в виде программы для машины Тьюринга. Доказано, что машина Тьюринга по своим возможностям эквивалентна машине Поста и нормальным «алгорифмам» Маркова.
Рис. 14. Модель машины Тьюринга
Машина Тьюринга состоит из каретки (считывающей и записывающей головки) и бесконечной ленты, разбитой на ячейки. Каждая ячейка ленты может содержать символ из некоторого алфавита A=0,a1,…,aN>. Любой алфавит содержит символ «пробел», который обозначается как a0 или Λ. При вводе команд пробел заменяется знаком подчеркивания «_».
Машина Тьюринга – это автомат, который управляется таблицей. Строки в таблице соответствуют символам выбранного алфавита A, а столбцы – состояниям автомата Q=0,q1,…,qM>. В начале работы машина Тьюринга находится в состоянии q1. Состояние q0 – это конечное состояние: попав в него, автомат заканчивает работу.
В каждой клетке таблицы, соответствующей некоторому символу ai и некоторому состоянию qj, находится команда, состоящая из трех частей:
1. символ из алфавита A;
2. направление перемещения: > (вправо), (влево) или ● (на месте);
3. новое состояние автомата
В верхней части программы находится поле редактора, в которое можно ввести условие задачи в свободной форме.
Лента перемещается влево и вправо с помощью кнопок, расположенных слева и справа от нее. Двойным щелчком по ячейке ленты (или щелчком правой кнопкой мыши) можно изменить ее содержимое.
С помощью меню Лента можно запомнить состояние ленты во внутреннем буфере и восстановить ленту из буфера.
В поле Алфавит задаются символы выбранного алфавита. Пробел добавляется к введенным символам автоматически.
В таблице в нижней части окна набирается программа. В первом столбце записаны символы алфавита, он заполняется автоматически. В первой строке перечисляются все возможные состояния. Добавить и удалить столбцы таблицы (состояния) можно с помощью кнопок, расположенных над таблицей.
При вводе команды в ячейку таблицы сначала нужно ввести новый символ, затем направление перехода и номер состояния. Если символ пропущен, по умолчанию он не изменяется. Если пропущен номер состояния, по умолчанию состояние автомата не изменяется.
Справа в поле Комментарий можно вводить в произвольной форме комментарии к решению. Чаще всего там объясняют, что означает каждое состояние машины Тьюринга.
Программа может выполняться непрерывно (F9) или по шагам (F8). Команда, которая сейчас будет выполняться, подсвечивается зеленым фоном. Скорость выполнения регулируется с помощью меню Скорость.
Задачи для машины Тьюринга можно сохранять в файлах. Сохраняется условие задачи, алфавит, программа, комментарии и начальное состояние ленты. При загрузке задачи из файла и сохранении в файле состояние ленты автоматически записывается в буфер.
Содержание работы
Запустить программу-эмулятор машины Тьюринга. Ознакомиться с работой эмулятора и набором команд. Воспроизвести (не сохраняя в файл) предложенные выше примеры. По указанию преподавателя выбрать варианты из папки ..Example программы-эмулятора, а, также вариант из Приложения Ж. По завершении работы результаты сохранить в файл.
Воспользуйтесь поиском по сайту:
studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2023 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с) .
Источник: studopedia.org
Машина Тьюринга — одно из важных открытий
Оскольский политехнический колледж
Машина Тьюринга — одно из самых интригующих и захватывающих интеллектуальных открытий 20-го века. Это простая и полезная абстрактная модель вычислений (компьютерных и цифровых), которая является достаточно общей для воплощения любой компьютерной задачи. Благодаря простому описанию и проведению математического анализа она образует фундамент теоретической информатики. Это исследование привело к более глубокому познанию цифровых компьютеров и исчислений, включая понимание того, что существуют некоторые вычислительные проблемы, не решаемые на общих пользовательских ЭВМ.
Алан Мэтисон Тьюринг, 23 июня 1912 — 7 июня 1954 — английский математик, логик, криптограф, оказавший существенное влияние на развитие информатики. Кавалер Ордена Британской империи (1945), член Лондонского королевского общества (1951). Предложенная им в 1936 году абстрактная вычислительная «Машина Тьюринга», которую можно считать моделью компьютера общего назначения, позволила формализовать понятие алгоритма и до сих пор используется во множестве теоретических и практических исследований.
Машина Тьюринга является вычислительным устройством, состоящим из головки чтения/записи (или «сканера») с бумажной лентой, проходящей через него. Лента разделена на квадраты, каждый из которых несет одиночный символ — «0» или «1». Назначение механизма состоит в том, что он выступает и как средство для входа и выхода, и как рабочая память для хранения результатов промежуточных этапов вычислений.
Каждая такая машина состоит из двух составляющих:
1) Неограниченная лента. Она является бесконечной в обе стороны и разделена на ячейки.
2) Автомат – управляемая программа, головка-сканер для считывания и записи данных. Она может находиться в каждый момент в одном из множества состояний.
Как работает механизм
Машина Тьюринга имеет принципиальное отличие от вычислительных устройств – ее запоминающее приспособление имеет бесконечную ленту, тогда как у цифровых аппаратов такое устройство имеет полосу определенной длины. Каждый класс заданий решает только одна построенная машина Тьюринга. Задачи иного вида предполагают написание нового алгоритма.
Управляющее устройство, находясь в одном состоянии, может передвигаться в любую сторону по ленте. Оно записывает в ячейки и считывает с них символы конечного алфавита. В процессе перемещения выделяется пустой элемент, который заполняет позиции, не содержащие входные данные. Алгоритм для машины Тьюринга определяет правила перехода для управляющего устройства. Они задают головке записи-чтения такие параметры: запись в ячейку нового символа, переход в новое состояние, перемещение влево или вправо по ленте.
Функции машины Тьюринга
В решении алгоритмов часто требуется реализация функции. В зависимости от возможности написания цепочки для вычисления, функцию называют алгоритмически разрешимой или неразрешимой. В качестве множества натуральных или рациональных чисел, слов в конечном алфавите N для машины рассматривается последовательность множества В – слова в рамках двоичного кодового алфавита В=. Также в результат вычисления учитывается «неопределенное» значение, которое возникает при «зависании» алгоритма. Для реализации функции важно наличие формального языка в конечном алфавите и решаемость задачи распознавания корректных описаний.
Программа для устройства
Программы для механизма Тьюринга оформляются таблицами, в которых первые строка и столбец содержат символы внешнего алфавита и значения возможных внутренних состояний автомата — внутренний алфавит. Табличные данные являются командами, которые воспринимает машина Тьюринга. Решение задач происходит таким образом: буква, считываемая головкой в ячейке, над которой она в данный момент находится, и внутреннее состояние головки автомата обусловливают, какую из команд необходимо выполнять. Конкретно такая команда находится на пересечении символов внешнего алфавита и внутреннего, находящихся в таблице.
Машины Тьюринга были введены для доказательства несуществования алгоритма решения тех или иных задач. Однако именно развитие вычислительной техники стимулировало развитие такого направления в математике (и информатике), как теория сложности алгоритмов. Выяснилось, что для огромного класса задач, имеющих алгоритмы их решения, программы, реализующие эти алгоритмы для очень многих исходных данных, «зависают», то есть время их работы настолько велико, что приходится искать приближенные методы их решения, причем, чем больше точность решения задачи, тем, дольше работает программа.
Машины Тьюринга оказались очень удобным математическим аппаратом, позволяющим получать оценки как времени реализации алгоритмов (в частности, и на реальных компьютерах), так и размера памяти, требуемой для вычислений.
В разных устройствах — скажем, в телевизоре и в стиральной машине, — может использоваться одна и та же микросхема процессора, — это воплощение одной из идей Тьюринга.
И то, что одна и та же программа может использоваться в самых разных компьютерах, работать с самой разной аппаратурой и выглядеть одинаково, это тоже его идея. Тогда это называлось идеей хранимой программы (программа хранится в памяти и определяет поведение машины), и ещё была идея универсальной машины, — есть машина, которая может делать все, что может делать любая другая машина.
Если бы не Тьюринг, наверно, это придумал бы кто-то другой, он не был единственным, кто над этим работал, но так или иначе такое абстрактное теоретическое устройство оказалось одним из самых важных изобретений в XX веке.
Представьте себе, как в XIX веке (это написано у Лотмана в его «Беседах о русской культуре») играли в карты. В отличие от нынешней ситуации, когда карты тасуют, тогда карты продавались уже перетасованными заранее.
Поэтому дворяне, которые играли в серьезные игры, каждый раз брали новую колоду и играли с ней. После этого она выбрасывалась и поступала, как пишет Лотман, в распоряжение слуг, которые играли в своего «подкидного дурака».
Так вот, представим себе, что есть фабрика, которая выпускает такие перетасованные колоды и есть машина, которая печатает карты, а есть, которая их тасует — эта машина их как-то внутри себя тасует, потом выкладывает, запаковывает, и они поступают в продажу. Теперь представим себе, что на этой фабрике есть, как говорили в советское время, «отдел технического контроля», который должен проверять, хорошо ли они перетасованы.
Время от времени он из пачки сделанных колод достаёт одну колоду, распаковывает и смотрит, хорошо ли она перетасована. С одной стороны, он должен что-то контролировать, то есть если он никогда никакие колоды не будет браковать как негодные, то зачем он вообще нужен? А с другой стороны, непонятно, что он может контролировать, потому что вся идея того, что карты хорошо перетасованы, состоит в том, что все варианты, все возможные последовательности карт в колоде, имеют совершенно одинаковую вероятность.
Соответственно, ни одна из них, с точки зрения тасовальной машины, не лучше другой. Почему же мы некоторые колоды (некоторые последовательности карт) бракуем, а некоторые оставляем? Это как-то загадочно.
Если, скажем, все карты идут в порядке возрастания их значения, или сначала идут все красные карты, а потом черные — такие комбинации, вроде бы, надо браковать. Но, с другой стороны, непонятно, чем они хуже других. Одной из попыток ответить на этот вопрос (60-е годы XX века) было понятие сложности, то, что сейчас называется колмогоровская сложность или алгоритмическая сложность [3].
Список использованных источников
- Машина Тьюринга [Электронный ресурс]: syl.ru (ред. От 11.12.2018). https://www.syl.ru/article/178287/new_mashina-tyuringa-opisanie-i-primeryi-mashin-tyuringa#image707217
- КиберЛенинка [Электронный ресурс]: https://cyberleninka.ru/article/n/mashiny-tyuringa
- Машина Тьюринга — одно из самых важных открытий XX века [Электронный ресурс]: https://medium.com/eggheado-science/xx-27235ab2aab4
Источник: www.informio.ru