Программа функции нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

Пусть функция $z=f(x,y)$ определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области $D$. Пусть в этой области заданная функция имеет конечные частные производные первого порядка (за исключением, быть может, конечного количества точек). Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в данной замкнутой области требуется выполнить три шага простого алгоритма.

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции $z=f(x,y)$ в замкнутой области $D$.

1. Найти критические точки функции $z=f(x,y)$, принадлежащие области $D$. Вычислить значения функции в критических точках.
2. Исследовать поведение функции $z=f(x,y)$ на границе области $D$, найдя точки возможного наибольшего и наименьшего значений. Вычислить значения функции в полученных точках.
3. Из значений функции, полученных в предыдущих двух пунктах, выбрать наибольшее и наименьшее.

Что такое критические точки? показатьскрыть

Под критическими точками подразумевают такие точки, в которых обе частные производные первого порядка равны нулю (т.е. $frac<partial z><partial x>=0$ и $frac<partial z><partial y>=0$) или хотя бы одна частная производная не существует.

Математический анализ, 13 урок, Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Часто точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, именуют стационарными точками. Таким образом, стационарные точки – есть подмножество критических точек.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=x^2+2xy-y^2-4x$ в замкнутой области, ограниченной линиями $x=3$, $y=0$ и $y=x+1$.

Будем следовать указанному выше алгоритму, но для начала разберёмся с чертежом заданной области, которую обозначим буквой $D$. Нам заданы уравнения трёх прямых, кои эту область ограничивают. Прямая $x=3$ проходит через точку $(3;0)$ параллельно оси ординат (оси Oy). Прямая $y=0$ – это уравнение оси абсцисс (оси Ox).

Ну, а для построения прямой $y=x+1$ найдём две точки, через которые и проведём данную прямую. Можно, конечно, подставить вместо $x$ парочку произвольных значений. Например, подставляя $x=10$, получим: $y=x+1=10+1=11$. Мы нашли точку $(10;11)$, лежащую на прямой $y=x+1$. Однако лучше отыщем те точки, в которых прямая $y=x+1$ пересекается с линиями $x=3$ и $y=0$. Почему это лучше?

Потому, что мы одним выстрелом уложим пару зайцев: получим две точки для построения прямой $y=x+1$ и заодно выясним, в каких точках эта прямая пересекает иные линии, ограничивающие заданную область. Прямая $y=x+1$ пересекает прямую $x=3$ в точке $(3;4)$, а прямую $y=0$ – в точке $(-1;0)$. Дабы не загромождать ход решения вспомогательными пояснениями, то вопрос о получении этих двух точек вынесу в примечание.

Как были получены точки $(3;4)$ и $(-1;0)$? показатьскрыть

Начнём с точки пересечения прямых $y=x+1$ и $x=3$. Координаты искомой точки принадлежат и первой, и второй прямой, поэтому для нахождения неизвестных координат нужно решить систему уравнений:

Решение такой системы тривиально: подставляя $x=3$ в первое уравнение будем иметь: $y=3+1=4$. Точка $(3;4)$ и есть искомая точка пересечения прямых $y=x+1$ и $x=3$.

Наибольшее и наименьшее значение функции. 10 класс.

Теперь отыщем точку пересечения прямых $y=x+1$ и $y=0$. Вновь составим и решим систему уравнений:

Подставляя $y=0$ в первое уравнение, получим: $0=x+1$, $x=-1$. Точка $(-1;0)$ и есть искомая точка пересечения прямых $y=x+1$ и $y=0$ (оси абсцисс).

Всё готово для построения чертежа, который будет иметь такой вид:

Вот теперь перейдём к первому шагу алгоритма. Найдём частные производные первого порядка:

Заметьте, что найденные производные первого порядка существуют для всех значений $x$ и $y$. Т.е. нету точек, в которых хотя бы одна производная не существует. Попробуем отыскать точки, в которых обе частные производные равны нулю (стационарные точки):

Алгоритмы нахождения наибольшего и наименьшего значений функции (C++)

Чтобы решить задачу оптимизации, необходимо определить целевую функцию и найти её максимальное (минимальное) значение.

Для нахождения максимального (минимального) значения целевой функции можно использовать электронные таблицы и программу, написанную на одном из языков программирования.

Метод перебора – вычисляются все значения функции на отрезке допустимых значений с шагом и среди них выбирается максимальное (минимальное).

Метод половинного деления – вычисляется значение функции в середине отрезка допустимых значений и сравнивается со значениями функции на концах отрезка. В результате сравнений выбирается новый отрезок, значение функции на концах которого больше (меньше), чем у исходного. Процедура повторяется до тех пор, пока длина отрезка не будет меньше .

Источник: oblakoz.ru

8. Нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке

1) Найти все критические точки функции, принадлежащие отрезку ;

2) Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;

3) Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 8.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Решение. 1) Найдем критические точки функции.

,  

.

На отрезке знаменатель не обращается в нуль. Следовательно, дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю:

   .

Значит, – критическая точка функции. Она принадлежит данному отрезку.

Найдем значение функции в критической точке:

.

2) Найдем значения функции на концах отрезка:

, .

3) Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:

, .

9. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

При решении задач на вычисление наименьших и наибольших значений величин надо прежде всего определить, для какой величины в задаче требуется найти наименьшее или наибольшее значение. Эта величина и будет исследуемой функцией. Затем одну из величин, от изменения которых зависит применение функции, следует взять за независимую переменную и выразить через неё функцию. При этом нужно в качестве независимой переменной выбрать ту величину, через которую исследуемая функция выражается проще всего. После этого решается задача на нахождение наименьшего и наибольшего значения полученной функции в некотором промежутке изменения независимой переменной, которое обычно устанавливается из самого существа задачи.

Пример 9.1. Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса .

Решение. Обозначив радиус основания, высоту и объём конуса соответственно ,и, запишем. Это равенство выражает зависимость от двух переменныхи; исключим одну из этих величин, а именно. Для этого из прямоугольного треугольникавыводим (по теореме о квадрате перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу):

Рисунок 6 – Иллюстрация к примеру 9.1.

или .

Подставив значение в формулу объёма конуса, получим:

.