В школе говорят, интеграл – это значок ∫, а вычисление интеграла, то есть процесс интегрирования, – это операция обратная дифференцированию. Согласитесь скучно!
Разумеется, у школьников возникает резонный вопрос: а нафиг он нам нужен?
Но если бы учитель уделил несколько минут на вводную про интегралы, такой вопрос всё равно бы возник, но уже не у всех!
Вводная к интегралам
В далеком 17 веке были на тот момент нерешенные насущные проблемы, а именно изучались закономерности движения тел. Много трудов было проделано Ньютоном, чтобы понять, как вычисляется скорость тела в любой момент времени. Но чем дальше, тем оказалось интереснее.
Допустим, мы знаем закон изменения скорости тела – это некая функция. Тогда площадь фигуры, ограниченная этой кривой и осью координат, будет равна пройденному пути. Вычисляя неопределенный интеграл от функции, мы как раз находим общий закон движения.
В этом заключается один из физических смыслов интеграла.
Как вы уже поняли, геометрический смысл интеграла – это площадь криволинейной трапеции. Соответственно с помощью кратного интеграла вычисляется объем тела.
Математика без ху%!ни. Интегралы, часть 1. Первообразная. Дифференцирование и интегрирование.
Решение интегралов
Лейбниц и Ньютон заложили основы дифференциального и интегрального исчисления. В последующие десятилетия было много великих открытий, связанных с вычислением интегралов.
Поскольку подынтегральная функция может принимать различные виды, естественно это привело к разделению интегралов на свои типы, а главное были отрыты многочисленные методы решения интегралов.
Но не все так безоблачно. На практике часто происходит так, что в аналитическом виде вычислить интегралы невозможно, то есть используя какой-либо известный метод. Конечно, получить аналитическое решение это здорово, но, с другой стороны, главное ведь вычислить точное значение интеграла. В этом случае интегралы решаются численными методами. Благодаря компьютерным мощностям, такие задачи не представляют особых сложностей для современного человека.
Калькулятор решения интегралов
Теперь самое интересное. Еще каких-то 15 лет назад школьник и помыслить не мог, что под рукой будут такие калькуляторы интегралов, как, например, наш. Это безусловно облегчает процесс обучения. Можно проверять свои решения, находить допущенные ошибки и лучше усваивать образовательный курс.
И тут в который раз повторяем, калькулятор решения интегралов – это только ваш безотказный помощник, к которому можете обратиться в любое время. Но никак не подмена вашей головы. Старайтесь самостоятельно решать задачи, только так можно развивать мышление, а компьютер будет в помощь.
- Полезные статьи
Источник: math24.biz
Решение задач по математике онлайн
‘.$_COOKIE[’email’].’ Выход’ ); /*
РАЗБИРАЕМ ИНТЕГРАЛЫ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #задачиегэ #формулы
‘ ); if ( isset($g_sVIPto) ) echo( ‘Дата окончания VIP статуса: ‘.$g_sVIPto.’ ‘ ); else echo( ‘VIP статуса нет. Как получить ?’ ); echo( ‘
‘ ); > else < // Если юзер НЕавторизованный : $redirect_uri = rawurlencode( ‘//www.math-solution.ru/parts/login.php?backUrl=’.$_SERVER[‘REQUEST_URI’] ); //
Вход:
Калькулятор онлайн.
Вычислить неопределенный интеграл (первообразную).
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить неопределенный интеграл (первообразную). Программа для вычисления неопределенного интеграла (первообразной) не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс интегрирования функции.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите подинтегральную функцию Вычислить
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Игра «droneZone» —> 3D модели Создание острова Эмулятор
гравитации Игра «iChart» —> Головоломка «SumWaves»
Немного теории.
Первообразная (неопределенный интеграл)
Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Производная имеет многочисленные применения: это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; она помогает решать задачи на оптимизацию.
Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача — задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.
Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) — искомый закон движения. Известно, что s'(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что ( s(t) = frac ). В самом деле
( s'(t) = left( frac right)’ = frac(t^2)’ = frac cdot 2t = gt )
Ответ: ( s(t) = frac )
Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили ( s(t) = frac ). На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида ( s(t) = frac + C ), где C — произвольная константа, может служить законом движения, поскольку ( left( frac +C right)’ = gt )
Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s0, то из равенства s(t) = (gt 2 )/2 + C получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s0. Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt 2 )/2 + s0.
В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например: возведение в квадрат (х 2 ) и извлечение квадратного корня ( ( sqrt ) ), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию, т. е. процесс нахождения функции по заданной производной, — интегрированием.
Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у’ = f'(x). Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у’ = f'(x), первичный образ, или первообразная.
Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для ( x in X ) выполняется равенство F'(x) = f(x)
На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).
Приведем примеры.
1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство (x 2 )’ = 2х
2) Функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 , поскольку для любого х справедливо равенство (x 3 )’ = 3х 2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство (sin(x))’ = cos(x)
При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.
Solver Title
Больше практиковаться
Введите свой ответ
Удостоверьтесь
| x^2 | left(right)» data-moveleft=»3″> log_ | nthroot[msquare] | le | ge | cdot | div | pi | |
| left(squareright)^ | frac | int | left(right)» data-moveleft=»1″> lim | infty | theta | (f:circ:g) | f(x) |  |
принять вызов
Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ
Подписаться
Generating PDF.
Вы уверены, что хотите выйти из этого испытания? Закрыв это окно, вы потеряете это испытание.
- Предварительная Алгебра
- Алгебра
- Предварительное Исчисление
- Исчисление
- Производные
- Цепное Правило
- Правило Произведения
- Правило Частного
- Правило Суммы/Разности
- Тангенс
- Нормаль
- Коэффициент Кривой
- Крайние Tочки
- Касательная к конике
- Линейная Аппроксимация
- Правило Лопиталя Новый
- Теорема Сжатия Новый
- Правило Цепи Новый
- Факторизация Новый
- Подстановка Новый
- Теорема о Сэндвиче Новый
- Частичные Дроби
- U-подстановка
- Тригонометрическая замена
- По Частям
- Деление в Столбик
- Лимит Суммы
- Площадь под кривой
- Площадь между кривыми
- Объем тела вращения
- Длина Дуги
- Функция Средняя
- Сумма Римана Новый
- Трапециевидный Новый
- Правило Симпсона Новый
- Сходимость
- Тест Геометрического Ряда
- Тест Телескопической Серии
- Испытание чередующегося ряда
- Тест Ряда P
- Тест на Расхождение
- Тест Соотношения
- Корневой Тест
- Сравнительный Тест
- Предельный Тест Сравнения
- Интегральный Тест
- Радиус Сходимости
- Интервал Сходимости
- Линейный Первый Порядок
- Линейное уравнение с постоянными коэффициентами
- Разделимый
- Бернулли
- Точный
- Второй Порядок
- Однородный
- Неоднородный
- Подстановка
- Система ОДУ
- Задачи Начального Значения с использованием Лапласа
- Серийные Решения
- Метод Фробениуса
- Частная Производная Новый
- Производная Неявной Функции Новый
- Касательная к конике Новый
- Ограничение по Нескольким Переменным Новый
- Кратные Интегралы Новый
- Градиент Новый
- Расходимость Новый
- Крайние Точки Новый
- Преобразование
- Обратный
- Ряс Тейлора
- Ряд Маклорена
| x^2 | left(right)» data-moveleft=»3″> log_ | nthroot[msquare] | le | ge | cdot | div | pi | |
| left(squareright)^ | frac | int | left(right)» data-moveleft=»1″> lim | infty | theta | (f:circ:g) | f(x) | |
| square^ | x^ | sqrt | nthroot[msquare] | frac | log_ | pi | theta | infty | int | frac |
| ge | le | cdot | div | x^ | (square) | |square| | (f:circ:g) | f(x) | ln | e^ |
| left(squareright)^ | frac | int_<msquare>^ | lim | sum | sin | cos | tan | cot | csc | sec |
| alpha | beta | gamma | delta | zeta | eta | theta | iota | kappa | lambda | mu |
| nu | xi | pi | rho | sigma | tau | upsilon | phi | chi | psi | omega |
| A | B | Gamma | Delta | E | Z | H | Theta | K | Lambda | M |
| N | Xi | Pi | P | Sigma | T | Upsilon | Phi | X | Psi | Omega |
| sin | cos | tan | cot | sec | csc | sinh | cosh | tanh | coth | sech |
| arcsin | arccos | arctan | arccot | arcsec | arccsc | arcsinh | arccosh | arctanh | arccoth | arcsech |
| beginsquare\squareend | beginsquare\square\squareend | = | ne | div | cdot | times | > | le | ge | |
| (square) | [square] | ▭:longdivision | times twostack | + twostack | — twostack | square! | x^ | rightarrow | lfloorsquarerfloor | lceilsquarerceil |
| overline | vec | in | forall | notin | exist | mathbb | mathbb | mathbb | mathbb | emptyset |
| vee | wedge | neg | oplus | cap | cup | square^ | subset | subsete | superset | supersete |
| int | intint | intintint | int_^ | int_^int_^ | int_^int_^int_^ | sum | prod | |
| lim | lim _ | lim _ | lim _ | frac | frac | left(squareright)^ | left(squareright)^ | frac |
| (2times2) | (2times3) | (3times3) | (3times2) | (4times2) | (4times3) | (4times4) | (3times4) | (2times4) | (5times5) |
Наиболее часто используемые действияmathrm mathrm mathrm mathrm mathrm Источник: ru.symbolab.com |