Решение простых уравнений — одна из базовых тем для усвоения, при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.
Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную. Значение данной переменной требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.
Переменную, входящую в уравнение, еще называют неизвестным.
Примеры:
- выражение 3+2=5 является равенством, так как при вычислении получаем 5=5
- выражение 3+х=5 является уравнением, так как содержит переменную х, значение которой можно найти.
Решить уравнение — значит найти такое значение х, чтобы равенство было верным.
То есть, в уравнении 3+х=5 значение будет равно 2 (х=2), чтобы получилось верное равенство.
При этом говорят, что 2 — это корень уравнения или решение уравнения 3+х=5.
Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?
Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.
Компоненты
Компонентами называются числа и переменные, которые входят в равенство:
- компоненты сложения — слагаемые и сумма;
- компоненты вычитания — уменьшаемое, вычитаемое и разность;
- компоненты умножения — множители и произведение;
- компоненты деления — делимое, делитель и частное.
Правила нахождения неизвестных
Чтобы выразить переменную через другие числа, нужно переменную оставить (или перенести) в левой части выражения, а все числа перенести в правую часть.
Решение простых уравнений подразумевает применение следующих правил :
- чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
- чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
- чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
- чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
- чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
- чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Скачать программу, которая формирует простые линейные уравнения. В программе можно выбрать уровень сложности (вид и количество действий, наличие скобок).
Если неизвестное имеет коэффициент
Решение простых уравнений сводится к тому, что неизвестное нужно выразить через другие числа. Но чаще всего задаются уравнения, в которых неизвестное имеет коэффициент, например: 2х, 5х и т.д. В таких случаях неизвестное нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент. Поэтому нужно привести это уравнение к виду, в котором переменная будет выражена.
Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?
Рассмотрим пример: 2х+4=8.
В данном примере: 2x — первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.
Скачать программу, которая формирует линейные уравнения с неизвестным, имеющим коэффициент. В программе можно выбрать уровень сложности (вид и количество действий, наличие скобок).
Если уравнение имеет неизвестные с разными коэффициентами
Рассмотрим пример: a+2a+3a=30.
Cразу выразить неизвестное нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить. Для этого нужно сложить все неизвестные величины с коэффициентами: 1а+2а+3а=6а (а — это переменная с коэффициентом 1. который не пишется).
Получаем уравнение вида: 6*а=30. Его можно решить как простое уравнение. Получаем корень: а=5.
Равносильные уравнения
Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.
Из предыдущего примера: уравнение a+2a+3a=30 и уравнение 6а=30 являются равносильными.
Проверим это. Подставим корень сначала в уравнение a+2a+3a=30, а затем в уравнение 6а=30, которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства.
Для удобства решения можно любое уравнение преобразовать в равносильное. Для этого можно применить законы математики и свойства уравнений.
Свойства уравнений
- Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.
- Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.
Пример. Решить уравнение 5х-10=20.
Вычтем из обеих частей уравнения число 10, получим: 5х=20-10 или 5х=10.
В результате получилось равносильное уравнение , корень которого равен 2.
Пример. Решить уравнение 4(х+3)=20.
Раскроем скобки: 4х+12=20.
Вычтем из обеих частей уравнения число 12, получим: 4х=20-12 или 4х=8.
В результате получилось равносильное уравнение , корень которого равен 2.
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.
То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.
Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные числа.
Пример. Решить уравнение (1/4)х+5=6,5
- При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.
- Для упрощения обе части уравнения можно умножить на 4: 4*(1/4)х+4*5=4*6,5 или х+20=26.
- В результате останется простейшее уравнение. Получаем, что корень равен 6.
- Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение. Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Пример. Решить уравнение 8х+16=56
- Для упрощения обе части уравнения можно разделить на 8: 8х:8+16:8=56:8 или х+2=7.
- В результате останется простейшее уравнение. Получаем, что корень равен 5.
- Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение. Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Если обе части уравнения умножить на минус единицу (поменять знаки), то получится уравнение равносильное данному.
Это правило следует из того, что если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, не равное нулю, то получится равносильное уравнение. Иногда это нужно для того, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.
Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.
При этом минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x, а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать.
Пример. Решить уравнение: 2х-5х+10=4.
- Приведем подобные слагаемые: -3х+10=4
- Перенесем второе слагаемое в правую часть: -3х=-6
- Для удобства умножим обе части на (-1). получим: 3х=6.
- Корень: х=2.
Уравнение имеет несколько корней
Уравнение может иметь несколько корней.
Рассмотрим уравнение: x(x + 9) = 0.
Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет выполняться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю. Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и −9.
Уравнение имеет бесконечно много корней
Уравнение может иметь бесконечно много корней, когда при подстановке подставив в такое уравнение любого числа, мы получим верное равенство.
Например: рассмотрим простое уравнение 6*(х+2)=6х+12. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 6х+12= 6х+12. Это равенство будет выполняться при любом х.
Уравнение не имеет корней
Бывает и так, что уравнение совсем не имеет корней.
Например: уравнение х+2=х.
Данное уравнение не имеет корней, так как при любом значении х, левая часть уравнения всегда будет больше правой на 2.
Таким образом, мы рассмотрели в статье решение разных видов простых уравнений. Решение более сложных уравнений без знания данного материала практически невозможно.
Для решения уравнений вам также могут понадобится темы: раскрытие скобок и порядок действий в примерах.
Источник: intmag24.ru
Алгоритм решения уравнений во 2классе
учебно-методическое пособие по математике (2 класс)
Программа действий при решении уравнений
Установи программу действий при решении уравнений. Пользуясь ею, реши уравнение. произвести вычисления применить правило сделать проверку
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,292
- гуманитарные 33,622
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,160
- разное 16,830
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Урок математики во 2 классе по теме: «Программа действий. Алгоритм»
- сформировать представление о понятиях “программа действий”, “алгоритм”, “линейный алгоритм”;
- научить действовать по алгоритму;
- работать над умением решать самостоятельно задачи;
- закреплять навыки устных и письменных вычислений;
- развивать мыслительные операции, математические способности, логическое мышление;
- воспитывать внимание, взаимовыручку (взаимопомощь).
-
цифры 5, 6, 7, 8, 9;
- алгоритм уравнения; робот, алгоритм “съесть конфету”;
- “программа действий”;
- “алгоритм”; “линейный алгоритм”;
- конфета;
- задача на листочках;
- примеры;
- кружки.
I. Организационный момент.
Долгожданный дан звонок,
Начинается урок.
II. Актуализация опорных знаний.
— Расположить числа 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы сумма чисел по каждой линии была равна а) 20; б) 21.
3. Решить уравнение:
— Составьте последовательность операций решения уравнения.
- Найти целое и части.
- Определить, что неизвестно.
- Применить правило.
- Произвести вычисления.
- Сделать проверку.
— У нас получилась некая программа действий, по которой мы можем решить уравнение. Решите уравнение у себя в тетради, соблюдая порядок выполнения действий.
Проверка:
— А что такое программа действий?
— Какую учебную задачу мы себе поставим?
(Узнать что такое программа действий? Как выполнять программу действий? – вопросы выписываются на доску)
III. Открытие нового.
— К нам в гости пришел Робот. Кто такой Робот? (Это машина, которая во всем слушается человека и выполняет только то, что ему говорят/)
— Давайте зададим ему задание, а он его выполнит.
Условие – Но команды нужно давать правильные и в правильном порядке иначе робот запутается и сломается.
— Попросим робота съесть конфету.
— Что сначала он должен сделать? (Рассуждаем, ваши варианты).
- Возьми конфету.
- Разверни конфету.
- Съешь конфету.
- Выбрось фантик (Куда? Выбрось фантик в мусорное ведро.)
- — Итак, у нас определена последовательность операций или некая как уже говорили программа действий.
— Может кто-то уже знает, как одним словом можно назвать программу действий? (Алгоритм.)
— Это красивое слово мы будем использовать на уроке математики.
— Сформулируйте тему урока (Программа действий или алгоритм).
— А для чего нам нужны алгоритмы? Только ли играть, есть конфеты?
— Где в жизни пригодится алгоритм?
— А в математике? (Решение примеров, задач, уравнений.)
— Так как называется программа действий? (Алгоритм.)
Учитель возвращается к вопросам на доске.
Вопрос №1. Узнать что такое программа действий? – Узнали?
Сравним свои выводы с выводом учебника с.10 №1 (последняя строка).
IV. Закрепление
— Почему действия должны быть строго по порядку?
(Условие составления программы действия или алгоритма)
— Строго по порядку и правильно.
— Как мы выполняли алгоритм при решении уравнения? (Строго по порядку.)
Такие алгоритмы действия, в котором выполняются строго друг за другом не отступая вправо и влево, как по линейке называют линейным алгоритмом.
— Выполнить по моему алгоритму зарядку.
1) Решим задачу по алгоритму (алгоритм решения задачи проговариваем устно). Решение задачи самостоятельно.
2) Работа в парах: Выполни задание по алгоритму.
- Реши примеры вместе с соседом
- Расположи ответы в порядке возрастания
- Прочитай слово
— Что узнали нового?
— Что такое алгоритм?
— Как выполняется алгоритм?
— Попробуйте составить алгоритм записи д/з в дневник (устно).
VII. Домашнее задание
Творческое задание: составить алгоритм пути в школу.
- Зеленый – знаю, умею
- Желтый – могу, но сомневаюсь
- Красный – затрудняюсь
Конспект урока по математике на тему «Программа действий. Алгоритм» (2 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Тема: «Программа действий. Алгоритм».
1) Сформировать умение правильно формулировать цели «автора» и «понимающего» при
коммуникации в учебной деятельности и опыт самооценки этого умения на основе применения эталона.
2) Сформировать умение фиксировать индивидуальное затруднение в учебной деятельности и опыт самооценки этого умения на основе применения эталона.
3) Сформировать умение фиксировать последовательность действий на втором этапе учебной деятельности и опыт самооценки этого умения на основе применения эталона.
1) Сформировать представление об алгоритме, программе, блок – схеме, умение читать простейшие блок – схемы заданных алгоритмов.
2) Тренировать вычислительный навык, умение анализировать и решать текстовые задачи.
Оборудование: презентация, эталоны.
1. Мотивация к учебной деятельности.
На доске карточка со стихотворением:
Тот, кто хочет много знать,
Должен сам все постигать!
— Ребята, прочитайте девиз урока. Как вы думаете, какое главное слово в этих строках? (Сам.)
— А можно ли заставить кого-то учиться? (Нет, он должен сам этого захотеть.)
— Я уверена, что вы хотите учиться. Что же значит «учиться»? (Это, значит, понять, что мы еще не знаем, и самим найти способ открыть новые знания.)
— Я желаю вам успешно выполнить эти шаги на уроке.
— С чего должны начать работу на уроке? (С повторения необходимых знаний.)
2. Актуализация знаний и фиксация индивидуального затруднения в пробном действии.
— Откройте рабочие тетради на стр. 63, выполните № 1. Что вы должны сделать? (Заполнить пропуски.) Что поможет выполнить это задание? (Эталоны.)
Учитель открывает на доске эталоны. В случае необходимости можно проговорить, что называют операцией, объектом и результатом операции, обратной операцией.
Учащиеся выполняют задание самостоятельно в РТ.
— Итак, проверяем ваши ответы. Какие числа вы получили? (7, 16, 21, 18, 25.)
Учитель записывает ответы на доске. В случае выявления ошибок, проводиться коррекционная работа.
— Какие операции вы выполняли?
— Что было объектом операции? (Число 14.)
— Что явилось результатом? (Число 25.)
— Как проверить правильность выполнения задания? (Можно выполнить обратные операции.)
— Какие обратные операции надо выполнить?
— Что вы повторили? (Потренировались в устном счете, потренировались в нахождении объекта и результата операций, в выполнении операций и обратных операций.)
— Почему я выбрала именно это? (Это нам пригодится для открытия нового знания.)
— Что будет дальше на вашем пути? (Задание, в котором будет что-то новое.)
— Зачем вы его получите? (Чтобы мы сами узнали, что мы еще не знаем.)
— Выполните задание № 2 (РТ), стр. 63.
Учащиеся выполняют задание самостоятельно.
— Кто не выполнил это задание?
— Сформулируйте своё затруднение? (Мы не смогли определить порядок действий.)
— Кто смог выполнить задание?
— Какой порядок действий у вас получился?
Несколько учащихся озвучивают свой порядок.
— Кто может обосновать свое мнение.
— Сформулируйте своё затруднение? (Мы не можем обосновать свое мнение.)
3. Выявление места и причины затруднения.
— Какое задание выполняли? (Мы должны были определить порядок действий.)
— Почему же возникло затруднение? (Мы не знаем, как определить порядок действий.)
4. Построение проекта выхода из затруднения.
— Какую цель поставим перед собой на уроке? (Узнать, как определять порядок действий.)
— Чему же посвящен сегодняшний урок? (Порядку действий.)
5. Реализация построенного проекта.
— Какие действия (операции) надо выполнить Толе?
— Поставить их по порядку можно с помощью программы действий Толи.
— Откройте учебники на странице 75. Прочитайте статью. Проверьте свой вариант по учебнику, используя программу действий. Как показан порядок операций в программе? (Стрелками.)
— Как можно записать операции? (Сверху вниз или снизу вверх.)
— Что такое алгоритм? (Это порядок действий в программе.)
— Что такое программа? (Это запись алгоритма.)
— Можно ли в программе Толи переставить местами зарядку и заправку постели? А одевание и путь в школу?
— Итак, в программе некоторые операции можно переставлять, т.е. менять местами.
— Какие ещё операции в нашей программе можно переставлять? («заправить постель» и «причесаться»)
— А какие переставлять нельзя? («проснуться» и «позавтракать»)
— Каким образом может быть записана программа действий? (картинками, словами, буквами.)
— Смогли вы преодолеть затруднение? (Да.)
— Что теперь вы можете? (Составлять программы действий.)
— Какой следующий шаг на нашем уроке? (Закрепить наши знания.)
6. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.
— К нам в гости пришел Робот. Кто такой Робот? (Это машина, которая во всем слушается человека и выполняет только то, что ему говорят/)
— Давайте зададим ему задание, а он его выполнит.
— Но команды нужно давать правильные и в правильном порядке, иначе робот запутается и сломается.
— Попросим Робота сделать бутерброд.
В разном порядке даны картинки, на которых нарисованы: нож, булка, масло, отрезанный кусок хлеба, кусок мажут маслом. Ученики расставляют действия в правильном порядке и записывают алгоритм приготовления бутерброда.
№ 3, стр. 76 учебник.
— Выполните в № 3 на странице 76 в парах.
Учащиеся выполняют данное задание в парах с комментированием. Проверки организуется по образцу.
— Исправьте свою ошибку.
— Какой следующий шаг на уроке? (Проверить, сумеем ли мы выполнить данные задания самостоятельно.)
7. Самоконтроль с самопроверкой по образцу.
Задание: составь программу сборки пирамидки.
Учащиеся выполняют работу самостоятельно на листочках. Проверка организуется по образцу.
— Кто из вас ошибся?
— В чем ошибка? (Неправильно определил последовательность действий, …)
— Сделайте вывод. (Нужно еще потренироваться.)
— Сделайте вывод. (Мы все хорошо усвоили.)
— Даже в зарядке при выполнении физических упражнений существует алгоритм. Давайте проследим это в физкультминутке «На зарядку становись».
Под веселые напевы
Повернемся вправо, влево.
Руки вверх! Руки вниз! Вверх!
И снова наклонись!
Вправо, влево головою!
Руки вверх! Перед собою!
Топни правою ногой!
Топни левою ногой!
Повернись направо к другу.
Правую дай руку другу.
(Дети выполняют движения за учителем по содержанию текста.)
8. Включение в систему знаний и повторение.
— Где вы встречаетесь с программой действий? (При решении задач, уравнений, примеров.)
— Найдите № 4 на странице 63 РТ.
— Назовите последовательность операций в алгоритме решения задачи?
Учитель по шагам вывешивает на доску алгоритм решения задачи Д-7.
— Решите эту задачу.
Один из учащихся решает задачу у доски с комментированием, остальные учащиеся выполняют задание в рабочих тетрадях:
В задаче известно, что в детский сад привезли 17 кукол, 9 мячей, 8 машинок. В первую группу отнесли 25 игрушек. Требуется узнать, сколько игрушек отнесли во вторую группу. Заполняю схему.17 кукол, 9 мячей, 8 машинок – это целое, 25 игрушек – известная часть.
Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно из всего количества игрушек вычесть количество игрушек, которое отнесли в первую группу. Это сделать не могу, так как неизвестно, сколько всего игрушек привезли в детский сад. Поэтому сначала я узнаю общее количество игрушек, а затем отвечу на вопрос задачи.
1) 17 + 9+8 = 34 (игр.) – всего.
2) 34 – 25 =9 (игр.)
Ответ: 9 игрушек отнесли во вторую группу.
— Найдите №1 на странице 64 РТ. Прочитайте задание.
— Установите программу действий при решении уравнений.
Источник: al-shell.ru