Рассмотрим задачу №1.
При совместной работе двух программистов программа была написана за 6 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому программисту отдельно для написания программы, если первому программисту для этого требуется на 5 часов больше, чем второму?
Составим таблицу с данными по основным величинам: производительность (скорость работы), время и работа.
Запишем уравнение, отражающее производительность при совместной работе двух программистов
1/(x + 5) + 1/x = 1/6
По смыслу задачи х ≠ 0 и х ≠ 5. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей 6х(х + 5)
(1 • 6x(x + 5))/(x + 5) + (1 • 6x(x + 5))/x = (1 • 6x(x + 5))/6
Решение задач с помощью рациональных уравнений
После преобразований, решим уравнение
6x + 6(x + 5) = x(x + 5)
6x + 6x + 30 = x 2 + 5x
x 2 — 7x — 30 = 0
x1 = 10; x2 = -3
Значение –3 не подходит по смыслу задачи, значит, второй программист напишет программу за 10 часов, а первый потратит на 5 часов больше, то есть 15 часов. t1 = 15ч; t2 = 10ч.
Рассмотрим задачу №2.
В лимонад добавили 150 граммов воды. В результате концентрация сахара в лимонаде уменьшилась на 3%. Определим первоначальную массу лимонада, если известно, что в нём содержалось 65 граммов сахара.
Основные величины задачи: масса лимонада, масса сахара и концентрация сахара. Составим таблицу
Запишем уравнение
65/x • 100% — 65/(x + 150) • 100% = 3%
По смыслу задачи х ≠ 0 и х ≠ –150. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей х(х + 150)
(65 • x(x + 150))/x • 100% — (65 • x(x + 150))/(x + 150) • 100% = 3% • x(x + 150)
После преобразований, решим уравнение
6500(x + 150) — 6500x = 3x(x + 150)
6500x + 6500 • 150 — 6500x = 3x 2 + 450x
3x 2 + 450x — 6500 • 150 = 0
x 2 + 150x — 6500 • 50 = 0
x1 = 500; x2 = -650
Значение –650 не подходит по смыслу задачи, значит, первоначальная масса лимонада 500 граммов.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Восстановите порядок действий при решении дробного рационального уравнения.
Решение рациональных уравнений
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
Алгебра 8 класс (Урок№32 — Решение задач с помощью рациональных уравнений.)
На данном уроке будет рассмотрено решение рациональных уравнений. С помощью рациональных уравнений решается целый ряд задач, которые возникают не только на страницах учебника математики, но и в жизни. Однако, для того чтобы решить рациональное уравнение, его ещё необходимо уметь правильно составить. Поэтому на данном уроке мы не только рассмотрим примеры решения рациональных уравнений как таковых, но и примеры математического моделирования задачи, которое приводит к возникновению соответствующих рациональных уравнений.
Урок алгебры в восьмом классе: «Решение текстовых задач при помощи рациональных уравнений»
Разделы: Математика
Особое место в школьном курсе математики занимают текстовые задачи. Следует отметить, что, решая на уроках алгебры текстовые задачи, учитель математики работает не только на себя, подготавливая учеников к умению осмыслить текст задач в курсе геометрии, без чего говорить о возможности решения этих задач бессмысленно, но также помогает преподавателям физики, химии и даже литературы, так как для того чтобы решить задачу необходимо внимательно прочитать текст задачи, понять его, выделить главное, т.е. разложить все данные «по полочкам».
Не случайно, оценивая задачу, решаемую с помощью уравнения или системы уравнений, учитель отдельно оценивает верность составленного уравнения или системы, так как добросовестного ученика безусловно можно обучить различным математическим алгоритмам, но умению думать научить без текстовых задач невозможно.
Урок рассчитан на один час.
Цель урока: выработка умений самостоятельного применения знаний в стандартных и нестандартных ситуациях.
Задача № 386а (по учебнику «Алгебра-8», С.М.Никольский и др., 2006 г.)
Расстояние между двумя населенными пунктами 50 км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста на 30 км/час больше. Встретились они на расстоянии 10 км от одного из населенных пунктов. Какова скорость велосипедиста?
- Определить, кто удалится на большее расстояние от начальной точки своего движения.
- Определить, какую величину удобнее принять за х.
- Составить таблицу, систематизирующую данные задачи и подводящую к составлению уравнения.
Это уравнение имеет единственный корень х = 10. Итак, скорость велосипедиста 10 км/ч.
Задача № 395 (по учебнику «Алгебра-8», С.М.Никольский и др., 2006 г.)
Двое рабочих выполнили некоторую работу за 8 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить ту же работу на 12ч быстрее второго, если тот будет работать отдельно. За сколько часов второй рабочий один может выполнить ту же работу?
- Отметить, что задачи на совместную работу знакомы ученикам с 5-го класса.
- Обратить внимание на то, что «быстрее» значит меньше времени.
- Определить, какую величину удобнее принять за х.
- Составить таблицу, систематизирующую данные задачи и подводящую к составлению уравнения.
Это уравнение имеет два положительных корня х = 4 и х = 24. Так как при х = 4 время работы 1-го рабочего будет равно 4 – 12
Это уравнение имеет единственный корень . Итак, велосипедист и автобус встретятся на расстоянии км от первого населенного пункта.
Задача № 260(1) (из экзаменационного сборника по алгебре за курс основной школы, 9 класс, Л.В.Кузнецова и др.).
На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 2мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходит круг?
- Обратить внимание на то, что вместо привычной величины «скорость» в этой задаче на движение необходимо найти период вращения, измеряемый в мин/круг. Для этого уместно предложить ученикам устную задачу: Лыжник проходит два круга за 10мин. За сколько минут лыжник пройдет один круг? Что является делимым, а что делителем в ходе решения этой задачи?
- Обратить внимание, что [мин] : [мин/круг] = [круг].
- Привести все данные в единую систему измерений: 1 ч = 60 мин.
- Определить, какую величину удобнее принять за х.
- Составить таблицу, систематизирующую данные задачи и подводящую к составлению уравнения.
1) Составим уравнение: .
Это уравнение имеет два корня: х = – 12 и х = 10. Так как по смыслу задачи х > 0, то х = 10.
2) 10 + 2 = 12 (мин). Итак, первый лыжник проходит круг за 10 мин, а второй за 12 мин.
Итоги урока:
1. Повторили табличный способ систематизации данных задачи, при необходимости дополненный рисунком.
2. Еще раз обратили внимание на то, что задача решается в единой системе измерений.
3. Отметили, что если уравнение, составленное к задаче, имеет два корня, то полученные решения требуют смысловой проверки.
4. Обратили внимание на то, что нельзя решать задачу «автоматически»; необходимо прежде всего внимательно ее прочитать, оценить в каких единицах измеряется каждая величина, данная в задаче, как эти величины связаны между собой и той величиной, которую следует найти, и только после этого, выбрав способ решения, приступить к самому решению.
Домашнее задание: Задачи №№393, 391в (Алгебра-8, С.М. Никольский и др., 2006 г.).
Комментарий: представляется целесообразным на первом уроке по данной теме рассмотреть задачи одного плана (здесь – на движение и работу), приводящие к достаточно простым уравнениям.
Источник: al-shell.ru
Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения
то эти числа являются корнями уравнения x 2 + px + q = 0.
Дробные рациональные уравнения
· Уравнение, в котором обе части являются рациональными выражениями, называютрациональным уравнением.
· Рациональное уравнение, в котором обе части являются целыми выражения, называют целым рациональным уравнением.
· Рациональное уравнение, в котором хотя бы одна часть является дробным выражением, называют дробным рациональным уравнением.
– целые рациональные уравнения.
– дробные рациональные уравнения.
Решение дробного рационального уравнения
1. Перенести всё в одну часть (в другой части остаётся 0).
2. Привести все дроби к общему знаменателю.
3. Выяснить, при каких значениях переменной числитель полученной дроби равен нулю (решить целое рациональное уравнение «числитель равен нулю»).
4. Подставить все найденные корни в знаменатель и отобрать те из них, при которых знаменатель не равен нулю.
Повтори основные методы решения типовых задач.
Рассмотрим задачу №1.
При совместной работе двух программистов программа была написана за 6 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому программисту отдельно для написания программы, если первому программисту для этого требуется на 5 часов больше, чем второму?
Составим таблицу с данными по основным величинам: производительность (скорость работы), время и работа.
| Производительность | Время | Работа |
| Программист 1 | х + 5 ч. | |
| Программист 2 | х ч. | |
| Совместная работа | 6 ч. |
Запишем уравнение, отражающее производительность при совместной работе двух программистов
По смыслу задачи х ≠ 0 и х ≠ 5. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей 6х(х + 5)
После преобразований, решим уравнение
Значение –3 не подходит по смыслу задачи, значит, второй программист напишет программу за 10 часов, а первый потратит на 5 часов больше, то есть 15 часов. t1 = 15ч; t2 = 10ч.
Источник: helpiks.su
Решение задач с помощью рациональных уравнений
[музыка] совместной работе двух программистов программа была написана за 6 часов сколько времени потребовалось бы каждому программисту отдельно для написания программы если первому программисту для этого требуется на пять часов больше чем второму при решении многих задач удобно составлять таблицу содержащую данные по основным величинам в рассматриваемой задачи это производительность скорость работы время и работа пусть 2 программист на пишет программу за x часов тогда первый программист сделает это за x плюс 5 часов отметим в таблице и время которое они потратят написание программы если будут работать совместно по условию задачи оно равно 6 часам обозначим всю работу за единицу теперь можем выразить производительность каждого программиста и их производительность при совместной работе разделив соответствующее значение работы назначения времени производительность при совместной работе получается путем сложения производительности каждого программиста а значит можно составить уравнение которое вы видите на экране решим это уравнение учитывая по смыслу задачи значение x не может равняться ни нулю не -5 умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей получим целое уравнение и решим его -3 не подходит по смыслу задачи значит 2 программист на пишет программу за 10 часов а первый потратит на пять часов больше то есть 15 часов смотрим другую задачу над добавили 150 граммов воды в результате концентрация сахара в лимонаде уменьшилась на 3 процента определим первоначальную массу лимонада если известно что в нем содержалось 65 граммов сахара основными величинами в этой задачи будут масса лимонада масса сахара и концентрация сахара пусть первоначальная масса лимонада x граммов тогда после добавления воды общая масса стала x плюс 150 граммов при этом количество сахара осталось неизменным и равным 65 чтобы заполнить последний столбец таблицы разделим массу сахара на массу лимонада и умножим результат на сто процентов по условиям задачи после добавления воды концентрация сахара уменьшилась на 3 процента значит мы можем составить уравнение которое вы видите на экране решим это уравнение число задач и значение x не может равняться ни нулю не минус 150 поэтому умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей получим целое уравнение и решим его минус 650 не подходит по смыслу задачи значит первоначальная масса лимонада 500 граммов
Источник: znanio.ru