Задание 1.1. Вычислить значение функции и, ее предельные абсолютную и относительную погрешности, если известны погрешности ее аргументов. Найти количество верных значащих цифр функции и (в широком и узком смысле). Параметры m и k заданы точно. Данные брать из табл. 2 согласно варианту.
Задание 1.2. Пользуясь разложением в степенной ряд, составить с указанной точностью до 〖10〗^(-5) таблицу значений функции u. Данные брать из табл. 3 согласно варианту. Задание 1.3. Пользуясь методом итераций, составить таблицу значений функции и с точностью ε. Данные брать из табл.
4 согласно варианту.
Похожие ответы, выполненные работы
- Помощь онлайн по русскому языку на тему…
- Контрольная работа по высшей математике (Вариант 6)
- Тест по финансам. Производственный леверидж.
- Лабораторная работа по дисциплине…
- Контрольная работа по высшей математике (Варианты 1-10)
- Контрольная по высшей математике на тему…
- Контрольная работа по высшей математике (Вариант 1-10)
- Контрольная работа по финансам «Финансы и…
- Готовые задачи на тему «Погрешности вычислений.…
- Контрольная работа №2 по финансам «Финансы и…
или напишите нам прямо сейчас
40 *args и **kwargs Python. Передача аргументов в функцию
Оставить комментарий
Inna Petrova 18 минут назад
Нужно пройти преддипломную практику у нескольких предметов написать введение и отчет по практике так де сдать 4 экзамена после практики
Иван, помощь с обучением 25 минут назад
Коля 2 часа назад
Здравствуйте, сколько будет стоить данная работа и как заказать?
Иван, помощь с обучением 2 часа назад
Инкогнито 5 часов назад
Сделать презентацию и защитную речь к дипломной работе по теме: Источники права социального обеспечения. Сам диплом готов, пришлю его Вам по запросу!
Иван, помощь с обучением 6 часов назад
Василий 12 часов назад
Здравствуйте. ищу экзаменационные билеты с ответами для прохождения вступительного теста по теме Общая социальная психология на магистратуру в Московский институт психоанализа.
Иван, помощь с обучением 12 часов назад
Анна Михайловна 1 день назад
Нужно закрыть предмет «Микроэкономика» за сколько времени и за какую цену сделаете?
Иван, помощь с обучением 1 день назад
Сергей 1 день назад
Здравствуйте. Нужен отчёт о прохождении практики, специальность Государственное и муниципальное управление. Планирую пройти практику в школе там, где работаю.
37 Возвращаемое значение функции. Оператор return Python
Иван, помощь с обучением 1 день назад
Инна 1 день назад
Добрый день! Учусь на 2 курсе по специальности земельно-имущественные отношения. Нужен отчет по учебной практике. Подскажите, пожалуйста, стоимость и сроки выполнения?
Иван, помощь с обучением 1 день назад
Студент 2 дня назад
Здравствуйте, у меня сегодня начинается сессия, нужно будет ответить на вопросы по русскому и математике за определенное время онлайн. Сможете помочь? И сколько это будет стоить? Колледж КЭСИ, первый курс.
Иван, помощь с обучением 2 дня назад
Ольга 2 дня назад
Требуется сделать практические задания по математике 40.02.01 Право и организация социального обеспечения семестр 2
Иван, помощь с обучением 2 дня назад
Вика 3 дня назад
сдача сессии по следующим предметам: Этика деловых отношений — Калашников В.Г. Управление соц. развитием организации- Пересада А. В. Документационное обеспечение управления — Рафикова В.М. Управление производительностью труда- Фаизова Э. Ф. Кадровый аудит- Рафикова В. М. Персональный брендинг — Фаизова Э. Ф. Эргономика труда- Калашников В. Г.
Иван, помощь с обучением 3 дня назад
Игорь Валерьевич 3 дня назад
здравствуйте. помогите пройти итоговый тест по теме Обновление содержания образования: изменения организации и осуществления образовательной деятельности в соответствии с ФГОС НОО
Иван, помощь с обучением 3 дня назад
Вадим 4 дня назад
Пройти 7 тестов в личном кабинете. Сооружения и эксплуатация газонефтипровод и хранилищ
Иван, помощь с обучением 4 дня назад
Кирилл 4 дня назад
Нашел у вас на сайте задачу, какая мне необходима, можно узнать стоимость?
Иван, помощь с обучением 4 дня назад
Oleg 4 дня назад
Требуется пройти задания первый семестр Специальность: 10.02.01 Организация и технология защиты информации. Химия сдана, история тоже. Сколько это будет стоить в комплексе и попредметно и сколько на это понадобится времени?
Иван, помощь с обучением 4 дня назад
Валерия 5 дней назад
ЗДРАВСТВУЙТЕ. СКАЖИТЕ МОЖЕТЕ ЛИ ВЫ ПОМОЧЬ С ВЫПОЛНЕНИЕМ практики и ВКР по банку ВТБ. ответьте пожалуйста если можно побыстрее , а то просто уже вся на нервяке из-за этой учебы. и сколько это будет стоить?
Иван, помощь с обучением 5 дней назад
Инкогнито 5 дней назад
Здравствуйте. Нужны ответы на вопросы для экзамена. Направление — Пожарная безопасность.
Иван, помощь с обучением 5 дней назад
Иван неделю назад
Защита дипломной дистанционно, «Синергия», Направленность (профиль) Информационные системы и технологии, Бакалавр, тема: «Автоматизация приема и анализа заявок технической поддержки
Иван, помощь с обучением неделю назад
Дарья неделю назад
Необходимо написать дипломную работу на тему: «Разработка проекта внедрения CRM-системы. + презентацию (слайды) для предзащиты ВКР. Презентация должна быть в формате PDF или формате файлов PowerPoint! Институт ТГУ Росдистант. Предыдущий исполнитель написал ВКР, но работа не прошла по антиплагиату. Предыдущий исполнитель пропал и не отвечает.
Есть его работа, которую нужно исправить, либо переписать с нуля.
Иван, помощь с обучением неделю назад
Источник: the-distance.ru
Sample Code
Выведите количество вариантов расстановки ладьи на шахматной доске, чтобы ни одна из них не угрожала другой
2016-04-17 11:29:32
Выведите количество вариантов расстановки ладьи на шахматной доске, чтобы ни одна из них не угрожала другой. Размер доски NxN (n вводится пользователем). Предусмотрите возможность вывода и самих вариантов расстановки.
Дан текст из строчных латинских букв, за которым следует точка. Определить каких букв-гласных (a,e,o,i,u) или согласных — больше в этом тексте
2016-04-17 11:27:41
Использовать множество, при выполнении этого задания.
Найдите значения функции y=x2+1,для x=0.2,0.4,0.6. 20
2016-04-17 11:25:18
Задайте форматированный вывод для X всего 5 знаков, из них после запятой-один. Для Y всего восемь знаков, из них после запятой-два.
Вычислить значение функции: y=sin(x/(3+x^5))+lg(1,3x+x^3)
2016-04-17 11:22:13
Дана последовательность целых чисел (от -100 до 100) записанных через пробел. Требуется построить эту последовательность по возрастанию
2016-04-17 11:20:38
Дана последовательность целых чисел (от -100 до 100) записанных через пробел. Требуется построить эту последовательность по возрастанию. Входные данные: в первой строке записано целое число N, во вторйо строке последовательность чисел через пробел. Выходные данные: в единственной строке записать последовательность чисел по возрастанию.
Кодирование методом контроля чётности
2016-04-17 11:18:45
Вводится k — число символов в блоке и последовательность двоичных символов, длина которой кратна (k-1). Если кратность нарушается, то последние символы последовательности игнорируются. Для каждой комбинации из (k-1) символов по методу контроля четности определяется значение k-ого, контрольного, символа и вся комбинация из k символов добавляется в результирующую последовательность, выводимую на экран по окончании кодирования всей входной последовательности символов.
Вывести на экран сумму или произведение чисел в зависимости от условия
2016-04-14 15:10:23
Написать программу, запрашивающую 3 целых числа и выводящая сумму этих чисел на экран, если максимум этих чисел больше 12. Вывод на экран произведения этих чисел, если минимум этих чисел меньше или равен 12.
Источник: samplecode.ru
Приближенные вычисления с помощью дифференциала
На данном уроке мы рассмотрим широко распространенную задачу о приближенном вычислении значения функции с помощью дифференциала. Здесь и далее речь пойдёт о дифференциалах первого порядка, для краткости я часто буду говорить просто «дифференциал». Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно. Единственное, есть небольшие подводные камни, которые тоже будут подчищены. Так что смело ныряйте головой вниз.
Кроме того, на странице присутствуют формулы нахождения абсолютной и относительной погрешность вычислений. Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать и в других задачах. Физики, где ваши аплодисменты? =)
Для успешного освоения примеров необходимо уметь находить производные функций хотя бы на среднем уровне, поэтому если с дифференцированием совсем нелады, пожалуйста, начните с урока Как найти производную? Также рекомендую прочитать статью Простейшие задачи с производной, а именно параграфы о нахождении производной в точке и нахождении дифференциала в точке. Из технических средств потребуется микрокалькулятор с различными математическими функциями. Можно использовать Эксель, но в данном случае он менее удобен.
Практикум состоит из двух частей:
– Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной.
– Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных.
Кому что нужно. На самом деле можно было разделить богатство на две кучи, по той причине, что второй пункт относится к приложениям функций нескольких переменных. Но что поделать, вот люблю я длинные статьи.
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала функции одной переменной
Рассматриваемое задание и его геометрический смысл уже освещёны на уроке Что такое производная?, и сейчас мы ограничимся формальным рассмотрением примеров, чего вполне достаточно, чтобы научиться их решать.
В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через или через . Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике:
Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом.
Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала:
Начинаем разбираться, здесь всё просто!
На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: . Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение .
Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:
– получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.
В качестве подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело. Естественно, это значение должно быть как можно ближе к 67. В данном случае: . Действительно: .
Примечание: Когда с подбором всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае ), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае ). В результате и будет выполнен нужный подбор: .
Если , то приращение аргумента: .
Итак, число 67 представлено в виде суммы
Далее работаем с правой частью формулы .
Сначала вычислим значение функции в точке . Собственно, это уже сделано ранее:
Дифференциал в точке находится по формуле:
– тоже можете переписать к себе в тетрадь.
Из формулы следует, что нужно взять первую производную:
И найти её значение в точке :
Всё готово! Согласно формуле :
Найденное приближенное значение достаточно близко к значению , вычисленному с помощью микрокалькулятора.
Ответ:
Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом.
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Начинающим сначала рекомендую вычислить точное значение на микрокалькуляторе, чтобы выяснить, какое число принять за , а какое – за . Следует отметить, что в данном примере будет отрицательным.
У некоторых, возможно, возник вопрос, зачем нужна эта задача, если можно всё спокойно и более точно подсчитать на калькуляторе? Согласен, задача глупая и наивная. Но попытаюсь немного её оправдать. Во-первых, задание иллюстрирует смысл дифференциала функции. Во-вторых, в древние времена, калькулятор был чем-то вроде личного вертолета в наше время.
Сам видел, как из местного политехнического института году где-то в 1985-86 выбросили компьютер размером с комнату (со всего города сбежались радиолюбители с отвертками, и через пару часов от агрегата остался только корпус). Антиквариат водился и у нас на физмате, правда, размером поменьше – где-то с парту. Вот так вот и мучились наши предки с методами приближенных вычислений. Конная повозка – тоже транспорт.
Так или иначе, задача осталась в стандартном курсе высшей математики, и решать её придётся. Это основной ответ на ваш вопрос =)
Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке . Вычислить более точное значение функции в точке с помощью микрокалькулятора, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.
Фактически то же самое задание, его запросто можно переформулировать так: «Вычислить приближенное значение с помощью дифференциала»
Решение: Используем знакомую формулу:
В данном случае уже дана готовая функция: . Ещё раз обращаю внимание, что для обозначения функции вместо «игрека» удобнее использовать .
Значение необходимо представить в виде . Ну, тут легче, мы видим, что число 1,97 очень близко к «двойке», поэтому напрашивается . И, следовательно: .
Вычислим значение функции в точке :
Используя формулу , вычислим дифференциал в этой же точке.
Находим первую производную:
И её значение в точке :
Таким образом, дифференциал в точке:
В результате, по формуле :
Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений.
Абсолютная и относительная погрешность вычислений
Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле:
Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону.
Относительная погрешность вычислений находится по формуле:
, или, то же самое:
Относительная погрешность показывает, на сколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. Существует версия формулы и без домножения на 100%, но на практике я почти всегда вижу вышеприведенный вариант с процентами.
После короткой справки вернемся к нашей задаче, в которой мы вычислили приближенное значение функции с помощью дифференциала.
Вычислим точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
, строго говоря, значение всё равно приближенное, но мы будем считать его точным. Такие уж задачи встречаются.
Вычислим абсолютную погрешность:
Вычислим относительную погрешность:
, получены тысячные доли процента, таким образом, дифференциал обеспечил просто отличное приближение.
Ответ: , абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений
Следующий пример для самостоятельного решения:
Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке . Вычислить более точное значение функции в данной точке, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.
Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.
Многие обратили внимание, что во всех рассмотренных примерах фигурируют корни. Это не случайно, в большинстве случаев в рассматриваемой задаче действительно предлагаются функции с корнями.
Но для страждущих читателей я раскопал небольшой пример с арксинусом:
Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке
Этот коротенький, но познавательный пример тоже для самостоятельного решения. А я немного отдохнул, чтобы с новыми силами рассмотреть особое задание:
Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до двух знаков после запятой.
Решение: Что нового в задании? По условию требуется округлить результат до двух знаков после запятой. Но дело не в этом, школьная задача округления, думаю, не представляет для вас сложностей. Дело в том, что у нас дан тангенс с аргументом, который выражен в градусах. Что делать, когда вам предлагается для решения тригонометрическая функция с градусами? Например, и т. д.
Алгоритм решения принципиально сохраняется, то есть необходимо, как и в предыдущих примерах, применить формулу
Записываем очевидную функцию
Значение нужно представить в виде . Серьёзную помощь окажет таблица значений тригонометрических функций. Кстати, кто её не распечатал, рекомендую это сделать, поскольку заглядывать туда придется на протяжении всего курса изучения высшей математики.
Анализируя таблицу, замечаем «хорошее» значение тангенса, которое близко располагается к 47 градусам:
После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы. Так, и только так!
В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы можно выяснить, что . По формуле перевода градусов в радианы: (формулы можно найти в той же таблице).
Таким образом: (при вычислениях используем значение ). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой.
Ответ:
Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до трёх знаков после запятой.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и придерживаемся обычного алгоритма решения.
Приближенные вычисления
с помощью полного дифференциала функции двух переменных
Всё будет очень и очень похоже, поэтому, если вы зашли на эту страницу именно этим заданием, то сначала рекомендую просмотреть хотя бы пару примеров предыдущего пункта.
Для изучения параграфа необходимо уметь находить частные производные второго порядка, куда ж без них. На вышеупомянутом уроке функцию двух переменных я обозначал через букву . Применительно к рассматриваемому заданию удобнее использовать эквивалентное обозначение .
Как и для случая функции одной переменной, условие задачи может быть сформулировано по-разному, и я постараюсь рассмотреть все встречающиеся формулировки.
Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.
Решение: Как бы ни было записано условие, в самом решении для обозначения функции, повторюсь, лучше использовать не букву «зет», а .
А вот и рабочая формула:
Перед нами фактически старшая сестра формулы предыдущего параграфа. Переменная только прибавилась. Да что говорить, сам алгоритм решения будет принципиально таким же!
По условию требуется найти приближенное значение функции в точке .
Число 3,04 представим в виде . Колобок сам просится, чтобы его съели:
,
Число 3,95 представим в виде . Дошла очередь и до второй половины Колобка:
,
И не смотрите на всякие лисьи хитрости, Колобок есть – надо его съесть.
Вычислим значение функции в точке :
Дифференциал функции в точке найдём по формуле:
Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке .
Вычислим частные производные первого порядка в точке :
Полный дифференциал в точке :
Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке :
Вычислим точное значение функции в точке :
Вот это значение является абсолютно точным.
Погрешности рассчитываются по стандартным формулам, о которых уже шла речь в этой статье.
Ответ: , абсолютная погрешность: , относительная погрешность:
Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.
Это пример для самостоятельного решения. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными. Это произошло по следующей причине: в предложенной задаче достаточно велики приращения аргументов: . Общая закономерность такова – чем больше эти приращения по абсолютной величине, тем ниже точность вычислений. Так, например, для похожей точки приращения будут небольшими: , и точность приближенных вычислений получится очень высокой.
Данная особенность справедлива и для случая функции одной переменной (первая часть урока).
С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.
Решение: Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных:
Отличие от Примеров 8-9 состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух переменных: . Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно.
Значение 4,9973 близко к «пятерке», поэтому: , .
Значение 0,9919 близко к «единице», следовательно, полагаем: , .
Вычислим значение функции в точке :
Дифференциал в точке найдем по формуле:
Для этого вычислим частные производные первого порядка в точке .
Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным:
;
Полный дифференциал в точке :
Таким образом, приближенное значение данного выражения:
Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора: 2,998899527
Найдем относительную погрешность вычислений:
Ответ: ,
Как раз иллюстрация вышесказанному, в рассмотренной задаче приращения аргументов очень малы , и погрешность получилась фантастически мизерной.
С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.
Как уже отмечалось, наиболее частный гость в данном типе заданий – это какие-нибудь корни. Но время от времени встречаются и другие функции. И заключительный простой пример для релаксации:
С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение функции , если
Решение ближе к дну страницы. Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения.
Если честно, немного утомился, поскольку материал был нудноватый. Непедагогично это было говорить в начале статьи, но сейчас-то уже можно =) Действительно, задачи вычислительной математики обычно не очень сложны, не очень интересны, самое важное, пожалуй, не допустить ошибку в обычных расчётах.
Да не сотрутся клавиши вашего калькулятора!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,
Таким образом:
Ответ:
Пример 4: Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,
Таким образом:
Вычислим более точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Ответ: , абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений
Пример 5: Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,
Таким образом:
Ответ:
Пример 7: Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,
Таким образом:
Ответ:
Пример 9: Решение: Используем формулу:
В данной задаче:
, , , , .
Вычислим частные производные первого порядка в точке :
Полный дифференциал в точке :
Таким образом:
С помощью калькулятора вычислим точное значение функции в данной точке:
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Ответ: , абсолютная погрешность: , относительная погрешность:
Пример 11: Решение: С помощью полного дифференциала вычислим данное выражение приближенно:
В данной задаче:
,
,
Вычислим частные производные первого порядка в точке :
Полный дифференциал в точке :
Таким образом, приближенное значение данного выражения:
Значение, вычисленное с помощью микрокалькулятора: 2,007045533
Найдем относительную погрешность вычислений:
Ответ: ,
Пример 12: Решение: Используем формулу:.
В данной задаче: , , , , .
Вычислим частные производные первого порядка в точке :
Полный дифференциал в точке :
Таким образом:
Ответ:
(Переход на главную страницу)
Contented.ru – онлайн школа дизайна
SkillFactory – получи востребованную IT профессию!
Источник: www.mathprofi.ru