Скачать:
Предварительный просмотр:
«Муниципальное общеобразовательное учреждение
cредняя общеобразовательная школа
пгт Свеча Свечинского района Кировской области»
«Решение задач с модулем и параметрами»
Кузина Жанна Анатольевна,
МОУ СОШ пгт Свеча
Программа элективного курса составлена в соответствии с федеральным компонентом Государственного образовательного стандарта основного общего образования по предмету.
Программа выполняет две основные функции.
Информационно-методическая функция позволяет всем участникам образовательного процесса получить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспитания и развития учащихся средствами данного элективного курса.
Организационно-планирующая функция предусматривает выделение этапов обучения, структурирование учебного материала, определение его количественных и качественных характеристик на каждом из этапов, в том числе для содержательного наполнения промежуточной аттестации учащихся.
Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика
Программа определяет перечень вопросов, которые подлежат обязательному изучению в школе и включает материал, создающий основу математической грамотности. Программа содействует сохранению единого образовательного пространства, не сковывая творческой инициативы учителя, и предоставляет возможности для реализации различных подходов к построению учебного курса.
Общая характеристика курса
Элективный курс предназначен для учащихся 9 классов, рассчитан на 17 часов.
Авторская программа курс 7-9 «Решение задач с модулем и параметром»
Актуальность данного курса определяет возникшие противоречия между 1) требованиями, предъявленными к знаниям и умениям по решению задач с параметрами и модулем и реальным уровнем их сформированности у учащихся образовательных учреждений; 2) необходимость усовершенствования обучения учащихся решению уравнений и неравенств с параметром и модулем и отсутствия научно-обоснованной методики обучения учащихся решению такого рода задач.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.
Просмотр содержимого документа
«Авторская программа курс 7-9 «Решение задач с модулем и параметром»»
1.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.
1.1.КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ
Основной задачей модернизации российского образования является повышение его доступности, качества и эффективности. Это предполагает точный и правильный подход ко всему образовательному процессу, приведение его в соответствие с требованиями времени.
Задачи с параметром и модулем традиционно представляют для учащихся сложность в логическом ,техническом и психологическом плане. Однако именно решение таких задач открывает перед учащимися большое число эвристических приемов общего характера ,применяемых в исследованиях на любом математическом материале.
Кроме того, задачи с параметром и модулем обладают высокой диагностической и прогностической ценностью. Мы считаем, что обучать массово школьников решению уравнений и неравенств с параметрами вряд ли целесообразно, решению таких задач надо обучать специально. Учащиеся образовательных учреждений традиционно знакомятся при изучении математики с графическими методами решения уравнений, неравенств и их систем. Однако, в последнее время содержащиеся в контрольно-измерительных материалах ГИА И ЕГЭ задания (так называемые комбинированные уравнения) решения которых требует применения только функционально – графического метода вызывает у учащихся затруднений.
Итак, актуальность данного курса определяет возникшие противоречия между 1) требованиями , предъявленными к знаниям и умениям по решению задач с параметрами и модулем и реальным уровнем их сформированности у учащихся образовательных учреждений; 2) необходимость усовершенствования обучения учащихся решению уравнений и неравенств с параметром и модулем и отсутствия научно-обоснованной методики обучения учащихся решению такого рода задач.
1.2. МЕСТО КУРСА В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ ПРОЦЕССЕ
Программа курса предназначена для учащихся 7-9 классов, рассчитана на 102 часа(34 часа в 7 классе,34часа в 8 классе, 34 часа в 9 классе). Преподавание курса предусматривается в рамках оказания платных дополнительных услуг.
Предлагаемый курс построен по принципам модульного дополнения действующего учебника А.Г Мордковича, естественным образом примкнет к курсу, углубляя и расширяя его. Курс предназначен для учащихся , выбравших для себя те области деятельности ,в которых математика играет роль аппарата, специфического средства для изучения закономерностей окружающего мира.
1.3 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА
-совершенствование математической культуры и творческих способностей учащихся на основе коррекции базовых математических знаний
-расширение возможностей учащихся в отношении дальнейшего профильного образования
Задачи курса:
-формирование у учащихся целостного представления о заданиях с параметрами и модулем, их значение в разделе математики и связь с другими задачами
— формирование поисково-исследовательского метода , аналитического мышления, развитие памяти, кругозора, умение преодолевать трудности при решении сложных задач
-осуществление работы с дополнительной литературой
-акцентирование внимания учащихся на единых требованиях к правилам оформления различных видов заданий , включаемых в итоговую аттестацию в форме ГИА.
-охарактеризовать методы решения заданий с параметрами, выделить их гносеологические и деятельностные компоненты
-исследовать методические аспекты применения компьютерных технологий для обучения учащихся приемам решения уравнений и неравенств с параметрами и модулем.
1.4. ПРЕДПОЛАГАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Изучение данного курса дает возможность учащимся:
— использовать базы данных, т.е. сведения которые уже имеются у решавшего задачу;
-освоить технологию, позволяющую структурировать решение задач с параметром и модулем;
— познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;
— повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;
— познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов, в ходе подготовки к итоговой аттестации в форме ГИА и ЕГЭ.
1.5.МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
В процессе изучения материала используются как традиционные формы обучения, так и самообразование, саморазвитие учащихся посредством самостоятельной работы с информационным и методическим материалом.
Занятия включают в себя теоретическую и практическую части, в зависимости от целесообразности. Основные формы проведения занятий: беседа, дискуссия, консультация, практическое занятие, защита проекта. Особое значение отводится самостоятельной работе учащихся , при которой учитель на разных этапах изучения темы выступает в разных ролях, четко контролируя и направляя работу учащихся.
Предполагаются следующие формы организации обучения: индивидуальная, групповая, коллективная, взаимное обучение, самообучение.
Средства обучения: дидактические материалы, творческие задания для самостоятельной работы, мультимедийные средства, справочная литература.
Технологии обучения: информационные, проектные, исследовательские. Занятия носят исследовательский характер. Предполагаются ответы на вопросы в процессе дискуссии, поиск информации по смежным областям знаний.
1.6. КОНТРОЛЬ РЕЗУЛЬТАТИВНОСТИ ИЗУЧЕНИЯ УЧАЩИМИСЯ ПРОГРАММЫ
Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля: самостоятельная работа, практикумы, тестирование.
Основные формы итогового контроля:
Практикумы по темам «Модели пространственных фигур. Позиционные построения» , «Метод ортогонального проектирования»,
« Координатно-векторный метод», «Вспомогательный параллелепипед», «Комбинации геометрических тел»; тестирование по теме «Итоговый контроль».
Показателем эффективности следует считать повышенный интерес к математике, творческую активность учащихся.
2.СОДЕРЖАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ
1.Начальные представления о модуле ( 1 час)
Модуль действительного числа. Геометрическая интерпретация.
2.Способы решения заданий с модулем (3 часа)
Методы решения уравнений вида: |ах+в|=с, где с — любое действительное число, |ах+в|=|сх+д|.
Графическое решение неравенства |ах+в|≤с, где с – любое действительное число. Методы решения уравнений вида: |ах+в|+|сх+д|=т, |ах+в|+|сх+д|+пх=т. Методы решения неравенств вида: |ах+в|+|сх+д| сх+д|+ пхт. Методы решения неравенств вида: |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д. Метод замены переменной решения уравнений.
3. Задачи с модулем ( 18 часов)
Линейное уравнение, содержащее абсолютную величину. Преобразование выражений, содержащих модуль. Решение уравнений и неравенств вида |х|= а, |ах+в|=0, |ах+в|≤0. Графики функций, содержащих модули. Построение графиков функций вида у=|f(х)|, у=| ах+в|, y= f|x|, |y| =f(x) b |y|=|f(x).
Построение графиков функций, связанных с модулем. Квадратное уравнение и квадратное неравенство, содержащее абсолютную величину. Дробно- линейные уравнения, содержащие абсолютную величину .
Методы решения дробно-линейных уравнений с модулем
4.Начальные представления о параметре(2часа)
Понятие параметра. Примеры уравнений и неравенств с параметром. Понятие об уравнении с параметром. Что значит решить уравнение с параметром.
5.Способы решения задач с параметрами (16 часов)
Аналитический способ, графический, функциональный и функционально- графический. Сочетание графического и аналитического методов. Способ определения множества значений функции. Способ определения условий существования корней уравнения y=f(x;а) относительно х (считая переменные у и а параметрами этого уравнения) при сформированных требованиях к переменной у. Решение относительно параметра а равенства y=f(x;а).
6. Задачи с параметрами ( 27 часов)
Линейные уравнения и неравенства с параметром. Приемы построения графиков линейных функций с параметром. Решение систем линейных уравнений с параметром. Квадратные уравнения и неравенства с параметром. Соотношение между корнями квадратных уравнений. Исследование квадратного трехчлена. Количество корней квадратного уравнения в зависимости от параметра.
Задачи с параметром ,решаемые с помощью теоремы Виета. Системы квадратных уравнений и неравенств. Уравнения с параметром, приводимые к квадратным. Методы решения дробных уравнений с параметром в общем виде.
7.Задачи условного параметрического анализа (5 часов)
Расположение корней квадратного трехчлена относительно заданного множества чисел. 6 типов расположения корней квадратного трехчлена. Метод интегрального анализа.
8.Полный параметрический анализ соотношений с модулем (3 часа)
Алгоритм метода интегрального анализа. Условные схемы. Основное назначение условных схем заключается в освобождении соотношения от функции модуля путем перехода к равносильному множеству соотношений.
9.Полный параметрический анализ рациональных соотношений( 3 часа)
5 схем «освобождения» от дроби. Несмотря на относительную громоздкость, логическая простота этих схем часто позволяет справиться с возникающими осложнениями.
10. Несколько решений одной задачи ( 8 часов)
Решение первое- метод интервалов;
решение второе- графическое в плоскости (х;а);
решение третье-метод нестандартных преобразований неравенств с модулем;
решение четвертое- графическое в плоскости (х;у);
решение пятое- относительно параметра.
Решения первое и третье являются аналитическими и обусловлены спецификой именно этой задачи и ей подобных. Учащийся после ознакомления со всеми решениями не должен устанавливать между методами какой-либо иерархии по эффективности их применения, поскольку, как известно, эффективность избранного пути решения зависит от постановки задачи.
3.УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
Источник: kopilkaurokov.ru
Уравнения с модулем и параметрами
В этом уроке мы подробнее рассмотрим понятие модуля числа, также научимся решать уравнения, содержащие знак модуля. После этого будут изучены уравнения с параметрами.
План урока:
Модуль числа
Напомним, что такое модуль числа. Так называют значение числа, взятое без учета его знака. То есть модуль чисел 9 и (– 9) одинаков и равен 9. Для обозначения модуля применяют специальные прямоугольные скобки:
|2,536| = |– 2,536| = 2,536
Грубо говоря, операция нахождения модуля сводится к отбрасыванию у числа знака «минус», если он у него есть. Вообще, если число х неотрицательно, то его модуль |х| = х. Если же число отрицательно, то его модуль имеет противоположное значение: |х| = х. Математически это можно записать так:
Именно такое определение обычно и применяется в математике.
Модуль играет важную роль в математике. Дело в том, с его помощью удобно записывать расстояние между двумя точками на координатной прямой. Пусть на ней отмечены точки a и b. Расстояние между ними равно |a – b|, причем неважно, какое из этих чисел больше, а какое меньше:
Также модуль возникает при извлечении квадратного корня из четной степени числа:
В частности, если n = 1, получим формулу:
Для того чтобы получить график функции у = |x|, сначала надо построить график функции без учета знака модуля:
Далее следует выполнить преобразование. Те точки графика, которые располагаются выше оси Ох, остаются на своем месте. В данном случае это та часть графика, которая находится в I четверти. Те же точки, которые располагаются ниже оси Ох, должны быть симметрично (относительно этой самой оси Ох) отображены. В результате они окажутся выше оси Ох:
В результате получилась «галочка».
Пример. Постройте график ф-ции у = |х 2 – 4х + 3|
Решение. Для построения графика функции, содержащей модуль, сначала надо построить график для «подмодульного» выражения. Поэтому построим график у = х 2 – 4х + 3. Это квадратичная ф-ция, ее график – это парабола:
Часть графика, в промежутке от 1 до 3, находится ниже оси Ох. Чтобы построить ф-цию у = |х 2 – 4х + 3|, надо перевернуть эту часть графика:
Решение уравнений с модулем
Изучим простейший случай уравнения, содержащего модуль, когда вся его слева записано выр-ние в модульных скобках, а справа находится число. То есть уравнение имеет вид
где b – какое-то число, а у(х) – произвольная ф-ция.
Пример. Найдите корни ур-ния
|125x 10 + 97x 4 – 12,56х 3 + 52х 2 + 1001х – 1234| = – 15
Решение: Справа стоит отрицательное число. Однако модуль не может быть меньше нуля. Это значит, что у ур-ния отсутствуют корни.
Ответ: корни отсутствуют.
Если b = 0, то мы получим какое-то произвольное ур-ние у(х) = 0, у которого могут быть корни. Проще говоря, модульные скобки в таком случае можно просто убрать.
Пример. Решите ур-ние
Ясно, что подмодульное выр-ние равно нулю:
Наиболее интересен случай, когда b> 0, то есть в правой части стоит положительное число. Ясно, что тогда под модулем находится либо само это число b, либо противоположное ему число – b:
То есть мы получаем два различных ур-ния: у(х) = bи у(х) = – b.
Пример. Решите ур-ние
Решение. В правой части – положительное число, поэтому либо х = – 10, либо х = 10.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Исходное ур-ние разбивается на два других ур-ния:
10х + 5 = 7 или 10х + 5 = – 7
10х = 2 или 10х = – 12
х = 0,2 или х = – 1,2
Пример. Найдите корни ур-ния
Решение. Снова заменим исходное равенство на два других:
x 2 – 2х – 4 = 4 или x 2 – 2х – 4 = – 4
Имеем два квадратных ур-ния. Решим каждое из них:
D = b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•(– 8) = 4 + 32 = 36
Нашли корни (– 2) и 4. Решаем второе ур-ние:
х = 0 или х – 2 = 0
Получили ещё два корня: 0 и 2.
Встречаются случаи, когда в уравнении, содержащем знак модуля, под ним находятся обе части равенства:
Здесь возможны два варианта. Либо подмодульные выр-ния равны друг другу (у(х) = g(x)), либо у них противоположные значения (у(х) = – g(x)). То есть снова надо решить два ур-ния.
Пример. Решите ур-ние
|x 2 + 2x– 1| = |х + 1|
Решение. Выр-ния справа и слева (без знака модуля) либо равны, либо противоположны. Можно составить два ур-ния:
x 2 + 2x– 1 = х + 1 или x 2 + 2x– 1 = – (х + 1)
х 2 + х – 2 = 0 или х 2 + 3х = 0
Решим 1-ое ур-ние:
D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9
Теперь переходим ко 2-омуур-нию:
х = 0 или х + 3 = 0
Всего удалось найти 4 корня: (– 1), (– 2), 2 и 0.
Возможен случай, когда в левой части равенства находится модуль выр-ния, а в правой – обычное выражение, без модуля. Такое ур-ние имеет вид |у(х)| = g(x). Здесь также возможны два варианта: у(х) = g(x) или у(х) = – g(x). Однако следует учитывать ещё один факт. Модуль не может быть отрицательным, а потому должно выполняться нер-во g(x)⩾ 0. Но это неравенство не надо решать.
Достаточно просто подставить в него все полученные корни и проверить, справедливо ли нер-во.
Пример. Найдите решение уравнения, содержащего модуль:
|х 2 + 3,5х – 20| = 4,5х
Решение. Рассмотрим два отдельных равенства:
х 2 + 3,5х – 20 = 4,5х илих 2 + 3,5х – 20 = – 4,5х
х 2 – х – 20 = 0 или х 2 + 8х – 20 = 0
Решим каждое из полученных квадратных ур-ний.
D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 20) = 1 + 80 = 81
D = b 2 – 4ас = 8 2 – 4•1•(– 20) = 64 + 80 = 144
Итак, получили 4 корня: (– 4), 5, (– 10) и 2. Однако правая часть исходного ур-ния, 4,5x, не может быть отрицательной, ведь модуль числа – это всегда неотрицательная величина:
Для х = – 4 и х = – 10 это условие не выполняется, поэтому эти корни должны быть исключены.