Метод исключения Гаусса главного элемента столбца для решения линейных уравнений (включая код)
оглавление
Принцип исключения Гаусса столбцов
Он не учитывается в процессе исключения основного метода исключения Гаусса. Любые числовые задачи , На самом деле проблемы в этой сфере общие и игнорировать их нельзя., ИОчень маленький, хотя метод исключения Гаусса может быть выполнен, но сПри вычислении множителя строки в качестве точки поворота он будет Увеличенная ошибка , Что приводит к ненадежным результатам, даже Сильное искажение 。
Основной метод исключения Гаусса Процесс решения следующий (см. Конкретный принципhttps://blog.csdn.net/weixin_41788456/article/details/102485139）：
Пусть Ax = b,, Если все принципы и подформы последовательности A не равны нулю, то базовое исключение по Гауссу не нужно завершать до конца, и получается единственное решение. Формулы вычисления для исключения и обратного генерирования
(1) Расчет исключения для
(2) Расчет обратного поколения
Лекция 150: Идея реализация метода Гаусса на C/C++
В приведенном выше процессе решения можно увидеть, что соответствующие изменения в алгоритме могут эффективно повысить точность. Основная идея заключается в том, что Каждый шаг Выберите сначала Максимальное абсолютное значение Элементы при построчном обмене исключения, т. Е. При переходе на k-й шаг,Выберите тот, который имеет наибольшее абсолютное значение из элементов ниже и ниже, а затем передайте Преобразование строк Поменять на Главный элемент В позиции, а затем использовать его для исключения других элементов ниже основной пары и, наконец, стать верхнетреугольным уравнением с тем же решением.Этот метод называется методом исключения Гаусса главного элемента столбца.
Блок-схема метода исключения Гаусса основного элемента
Исходный код программы на C ++
// Реализация метода исключения Гаусса главного элемента // Разработчик: chenshuai Дата разработки: 2019.11.24 Электронная почта: [email protected] #include «pch.h» #include // Ввод / вывод основного потока данных #include // Параметризованный ввод / вывод #include // контейнер динамического массива STL using namespace std; //************************ // Формула метода исключения Гаусса главного элемента столбца //*********************** vector cpe_gaussian_elimination (vector a, vector b); // Метод исключения Гаусса для решения линейных уравнений AX = B vector cpe_gaussian_elimination(vectora, vectorb) < int n = size(b); vector x; // Определяем решение уравнений x.resize(n); vector mi_k; // определяем промежуточную переменную в процессе исключения mi_k.resize(n); double sum,max=0,c; // исключение n-1 шага for (int k = 0; k < n — 1; k++) < // Поворот столбца, находим стержень с наибольшим абсолютным значением if (a [k] [k] == 0 || fabs (a [k] [k]) <0.1) // Условие поворота столбца состоит в том, что точка поворота равна 0 или точка поворота меньше определенного значения < for (int i = k; i < n; i++) < max = fabs(a[i][k]); if (i < n — 1) < if (fabs(a[i][k]) < fabs(a[i + 1][k])) < max = fabs(a[i][k]); >> > // Поменять местами строку for (int i = k; i < n; i++) < if (max == a[i][k]) < for (int j = k; j < n; j++) < c = a[k][j]; a[k][j] = a[i][j]; a[i][j] = c; >c = b[k]; b[k] = b[i]; b[i] = c; > > > // Находим коэффициент преобразования i-й элементарной строки for (int j = k + 1; j < n; j++) < mi_k[j] = a[j][k] / a[k][k]; >for (int i = k + 1; i < n; i++) < for (int j = 0; j < n; j++) < a[i][j] = a[i][j] — mi_k[i] * a[k][j]; >b[i] = b[i] — mi_k[i] * b[k]; > > // Обратный процесс генерации x[n — 1] = b[n — 1] / a[n — 1][n — 1]; for (int i = n — 2; i >= 0; i—) < sum = 0; for (int j = i + 1; j < n; j++) < sum = sum + a[i][j] * x[j]; >x[i] = (b[i] — sum) / a[i][i]; > return x; > int main() < int n = 2; vectora; a.resize(n, vector(n)); vectorb(n); vectorx; a[0] = < 0.007,-0.8 >, a[1] = ; b = < 0.7,10>; x = cpe_gaussian_elimination(a, b); cout
Пример
Используйте метод исключения Гаусса главного элемента столбца для решения линейных уравнений:
VB.net Vs С++. СЛАУ Метод Гаусса
Источник: russianblogs.com
Метод Гаусса решения СЛАУ на С++
При реализации метода Гаусса выполняется триангуляция (приведение к треугольному виду) расширенной матрицы системы уравнений. Расширенная матрица образуется добавлением столбца свободных членов к матрице коэффициентов при неизвестных. При этом, расширенная матрица содержит n строк и n+1 столбец (к матрице коэффициентов прикрепляется столбец свободных членов). Несмотря на то, что для работы метода Гаусса удобно было бы принять в функции сразу расширенную матрицу, оставим интерфейс всех наших методов решения одинаковым. Описание функции будет следующим:
template std::vector gauss_solving(std::vector free_term_column, int n);
Напишем модульные тесты с использованием Boost Test Framework:
BOOST_AUTO_TEST_CASE(GaussSolving_Solution) < const int size = 3; std::vector> matrix = , , >; std::vector free_term_column = , good_solution = , solution; BOOST_CHECK_NO_THROW( solution = gauss_solving(matrix, free_term_column, size) ); BOOST_REQUIRE_EQUAL(solution.size(), size); for (int i = 0; i < size; ++i) < BOOST_REQUIRE_CLOSE(solution[i], good_solution[i], Accuracy); >> BOOST_AUTO_TEST_CASE(GaussSolving_NoSolution) < const int size = 2; std::vector> matrix = , >; std::vector free_term_column = ; BOOST_CHECK_THROW(gauss_solving(matrix, free_term_column, size), NoSolution); >
Перед выполнением триангуляции допишем в конец каждой строки элемент столбца свободных членов и используем функцию триангуляции, рассчитанную на то, что матрица может не являться квадратной. После выполнения этих операций, выполняется обратный ход алгоритма. Мы рассматривали два варианта обратного хода, в первом — уравнения перебираются начиная с последнего, для каждого из них вычисляется сумма a[i][j]*x[j] . При обходе уравнений с конца матрицы окажется, что для каждого уравнения достаточно данных чтобы вычислить все неизвестные:
template std::vector gauss_solving(std::vector free_term_column, int n) < std::vectorsolution(n); for (int i = 0; i < n; ++i) < matrix[i].push_back(free_term_column[i]); >triangulation(matrix, n); for (int i = n-1; i>=0; —i) < if (std::abs(matrix[i][i]) < 0.0001) throw NoSolution(); for (int j = i+1; j < n; ++j) < matrix[i][n] -= matrix[i][j]*solution[j]; >solution[i] = matrix[i][n]/matrix[i][i]; > return solution; >
Другой вариант выполнения обратного хода заключается в том, что после вычисления i-того корня, его значение подставляется в уравнения, расположенные в матрице выше:
template std::vector gauss_solving(std::vector free_term_column, int n) < std::vectorsolution(n); for (int i = 0; i < n; ++i) < matrix[i].push_back(free_term_column[i]); >triangulation(matrix, n); for (int i = n-1; i>=0; —i) < if (std::abs(matrix[i][i]) < 0.0001) throw NoSolution(); solution[i] = matrix[i][n]/matrix[i][i]; for (int j = 0; j < i; ++j) < matrix[j][n] -= matrix[j][i]*solution[i]; >> return solution; >
Просмотр 0 веток ответов
Источник: pro-prof.com
Метод гаусса код программы
V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
- Главная
- Список секций
- Информатика
- Метод решения системы линейных уравнений методом Гаусса. (Прикладное программирование.)
Метод решения системы линейных уравнений методом Гаусса. (Прикладное программирование.)
Андреянов Н.С. 1
1 МБОУ Одинцовская гимназия 13
Пименова О.Р. 1
1 МБОУ Одинцовская гимназия 13
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
Паспорт проектной работы
Название проекта: Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Учебный предмет, в рамках которого проводится проект: информатика.
Возраст учащихся, на которых рассчитан проект:15-16 лет.
Состав проектной группы: ученик 10 «А» класса
Тип проекта:
По характеру результатов: практико-направленный;
По форме: практикозначимый;
По профилю: межпредметный;
По числу участников: индивидуальный;
По продолжительности: долгосрочный;
На основе материалов: исследовательский, информационный, практико-направленный.
Цель проекта: Создать программу, решающую систему линейных уравнений, использующая метод Гаусса.
Задачи проекта:
Изучение литературы по языку программирования паскаль и линейным уравнениям.
Составление алгоритма решения линейных уравнений методом Гаусса
Написание программы, находящей неизвестные члены в системе уравнений.
Вопрос проекта: Можно ли написать данную программу в программном обеспечении Pascal ABC.
Предполагаемый продукт проекта: программа, реализующая метод Гаусса.
Этапы работы над проектом:
Первый этап (сентябрь) : изучение литературы по теме линейные уравнения, методы решения линейных уравнений, метод Гаусса, программирование на языке Паскаль.
Второй этап (октябрь): составление математической модели решения линейных уравнений методом Гаусса.
Третий этап (ноябрь): составление алгоритма решения линейных уравнений методом Гаусса в виде блок-схем.
Четвертый этап (декабрь): написание программы по составленным блок-схемам на языке программирования Паскаль.
Пятый этап (январь): разбитие проекта на несколько частей, для того, чтобы было удобнее работать с ним.
Шестой этап (февраль): проверка работоспособности программы, составление тестов, тестирование программы, первоначальная отладка полученной программы.
Седьмой этап (март): окончательная доработка и отладка программы.
Актуальность: Применение теоретических знаний при решении задач различной направленности.
Материально-техническое обеспечение: ПК с ОС Windows 10, ABC Паскаль, MS Word.
При изучении предмета информатика в школе, разделу алгоритмизация и программирование отводится достаточно много времени. В заданиях ЕГЭ задачи по программированию встречаются на всех уровня сложности. Проблема, тем не менее, в том, что эта тема очень сложна для понимания учениками.
Актуальность данной работы заключается в том, что на своем примере, я захотел показать, как можно не просто изучить язык программирования , но и применить свои знания при решении математических задач.
Цель проекта: Создать программу, решающую систему линейных уравнений, использующая метод Гаусса.
Изучение литературы по языку программирования паскаль и линейным уравнениям.
Составление алгоритма решения линейных уравнений методом Гаусса
Написание программы, находящей неизвестные члены в системе уравнений.
Линейные уравнения. Что это такое? Линейное уравнение – это алгебраическое уравнение, один или несколько членов которого неизвестны.
Такие уравнения являются обычным явлением в школе.
В школах также часто встречаются системы уравнений. Одной из них является система линейных уравнений. Также решение такой системы (линейных уравнений) используется для дешифрования сообщений. Как же решить эти системы уравнений?
Ответ на этот вопрос я нашел в книгах: Бахвалова Н.С., Жидкова Н.П., Кобелькова Г.Г. Численные методы., Волкова Е.А. Численные методы. Особенности метода Гаусса я изучил в пособии Н. Ш. Кремера, «Метод Гаусса».
А тонкости программирования очень доступно объяснены в книге Рода Стивенса «Алгоритмы. Теория и практическое применение».
Практическая значимость работы заключается в том, что данную программу можно использовать для обучения детей, при углубленном изучении математики и программирования. Также отдельные части проекта можно использовать как подведение итога обучения информатики у учеников старших классов. При желании код программы можно применять студентам математикам для проверки своих математических вычислений при решении системы линейных уравнений. Стоит отметить тот факт, что данная работа может быть реализована на разных языках программирования.
1.Методы решений системы уравнений
Наиболее часто применимым является метод подстановки (в нём обычно мы выражаем одну переменную через другую и уже подставим переменную решаем обычное уравнение с одной неизвестной)
Часто встречается и метод сложения(данный метод обычно применяется в тех способах, если у двух уравнений есть неизвестные с одинаковым показателем, и путём сложения их можно убрать)
Метод введения новых переменных (используется редко и обычно применяется в тех случаях, если нам нужно заменить отношение двух неизвестных на некоторую новую переменную, например, t)
Графический метод решения (используется редко, но употребляется. Обычно такие системы сразу видно, например, уравнение круга на координатной плоскости x^2+y^2=9; или обычное уравнение прямой x+y=-3)
Есть метод подбора (это самый первый способ, который дети изучают в школах, но при этом он почти не используется в дальнейшем)
Также существует метод с определителем(редко используем, но эффективен)
Метод Гаусса (данный метод очень лёгок и понятен, он часто используется в программировании)
Метод Гаусса мы и рассмотрим в данной работе.
2.Возможные случаи решений системы линейных уравнений
У уравнений может быть несколько вариантов решений. Всё это зависит от значений переменных.
Возьмём некоторую систему уравнений:
Истекая из значений коэффициентов(a1,b1,a2,b2) перед неизвестными членами(x,y)
Одним из таких вариантов является случай, когда у выражений вообще нет решений(a1=a2=b1=b2=0 c1≠0 c2≠0)
Также встречаются ситуации, когда у системы целая плоскость является решением(a1=a2=b1=b2=c1=c2=0)
Случай, когда решением системы является прямая – частое явление(a1/a2=b1/b2=c1/c2)
Есть вариант, где нет решения поскольку прямые параллельны (a1/a2=b1/b2≠c1/c2)
И наконец, одно решение(a1*b2-a2*b1≠0)
В пятом случае как раз и применяется метод Гаусса.
Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.[2]
История
Хотя, в настоящее время, данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода — в китайском трактате «Математика в девяти книгах», составленном между I в. до н.э. и II в. н. э.[1]
Описание метода
Первым делом система приводится к ступенчатому виду(каждый последующий член должен быть равен 0. Например, в системе два уравнения, тогда в первом уравнении будет оба неизвестных члена, а во втором – только второй). Затем находится каждый последующий член, начиная с конца.
Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:
Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на и , соответственно:
Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на :
В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.
На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:
Y=3 из второго, подставив полученное
y=3, x=2 из первого, подставив полученные и .
Таким образом исходная система решена.
В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.
Достоинства метода
Менее трудоёмкий по сравнению с другими методами.
Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, если совместна, найти её решение.
Программирование