Филинов Е.Н. Математические модели являются одним из основных инструментов познания человеком явлений окружающего мира. Под математическими моделями понимают основные закономерности и связи, присущие изучаемому явлению. Это могут быть формулы или уравнения, наборы правил или соглашений, выраженные в математической форме.
Испокон веков в математике, механике, физике и других точных науках естествознания для описания изучаемых ими явлений использовались математические модели. Так, например, законы Ньютона полностью определяют закономерности движения планет вокруг Солнца.
Используя основные законы механики, относительно нетрудно составить уравнения, описывающие движение космического аппарата, например, от Земли к Луне. Однако получить их решение в виде простых формул не представляется возможным. Для расчёта траекторий космических аппаратов потребовалось применять компьютеры.
Практические потребности применения компьютеров для математического моделирования изменили само понятие “решить задачу”. До этого исследователь удовлетворялся написанием математической модели. А если ему ещё удавалось доказать, что решение (алгоритм) в принципе существует, то этого было достаточно, если априори полагать, что модель адекватно описывает изучаемое явление.
Математическое моделирование и вычислительная математика — Александр Шапеев
Поскольку, как правило, не существует простых формул, описывающих поведение модели, а стало быть и объекта, который описывается моделью, то единственный путь – свести дело к вычислениям, применению численных методов решения задач. В таком случае необходим конкретный алгоритм, указывающий последовательность вычислительных и логических операций, которые должны быть произведены для получения численного решения.
С алгоритмами связана вся история математики. Само слово “алгоритм” является производным от имени средневекового узбекского ученого Аль-Хорезми. Ещё древнегреческим учёным был известен алгоритм нахождения числа “Пи” с высокой точностью.
Ньютон предложил эффективный численный метод решения алгебраических уравнений, а Эйлер предложил численный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, модифицированные методы Ньютона и Эйлера до сих пор занимают почётное место в арсенале вычислительной математики.
Её предметом являются выбор расчётной области и расчётных точек, в которых вычисляются характеристики моделируемого объекта, правильная замена исходной математической модели её аналогом, пригодным для расчёта, т. е. некоторой дискретной моделью. Поскольку модели должны представлять изучаемые явления в необходимой полноте, понятно, что они становятся весьма сложными.
В модели входят множество величин, подлежащих определению, а сами эти величины зависят от большого числа переменных и постоянных параметров. Наконец, модели реальных процессов оказываются нелинейными. Аппарат классической математической физики приспособлен для работы с линейными моделями. В этом случае сумма (суперпозиция) частных решений уравнения есть также его решение.
Лекция: Поляков Максим Валентинович «Математическое моделирование — ключ к познанию мира» | NAUKA0+
Найдя частное решение уравнения для линейной модели, с помощью принципа суперпозиции можно получить решение в общем случае. На этом пути в традиционной математической физике были получены замечательные результаты. Однако она становится бессильной, если встречается с нелинейными моделями.
Принцип суперпозиции здесь неприменим, и алгоритмов для построения общего решения не существует. Поэтому для нелинейных моделей законченных теоретических результатов получено немного. Методология математического моделирования в кратком виде выражена знаменитой триадой “модель-алгоритм-программа”, сформулированной академиком А.А.
Самарским, которого считают основоположником отечественного математического моделирования. Эта методология получила свое развитие в виде технологии “вычислительного эксперимента”, разработанной школой А.А.
Самарского как одной из информационных технологий, предназначенной для изучения явлений окружающего мира, когда натурный эксперимент оказывается слишком дорогим и сложным. Во многих важных областях исследований натурный эксперимент невозможен, потому что он либо запрещен (например, при изучении здоровья человека), либо слишком опасен (например, при изучении экологических явлений), либо просто неосуществим (например, при изучении астрофизических явлений).
Вычислительный эксперимент, в отличие от натурных экспериментальных установок, позволяет накапливать результаты, полученные при исследовании какого-либо круга задач, а затем быстро и гибко применять их к решению задач в совершенно других областях. Этим свойством обладают используемые универсальные математические модели.
Например, уравнение нелинейной теплопроводности оказывается пригодным для описания не только тепловых процессов, но и диффузии вещества, движения грунтовых вод, фильтрации газа в пористых средах. Изменяется только физический смысл величин, входящих в это уравнение. Проведение вычислительного эксперимента можно условно разделить на два этапа.
После первого этапа вычислительного эксперимента, если надо, модель уточняется. Причём уточнение модели производится как в направлении её усложнения (учёт дополнительных эффектов и связей в изучаемом явлении), так и упрощения (выяснение, какими закономерностями и связями в изучаемом явлении можно пренебречь).
На последующих этапах цикл вычислительного эксперимента повторяется до тех пор, пока у исследователя не возникает убеждение в том, что модель адекватна тому объекту, для которого она составлена. Информационные технологии, поддерживающие вычислительный эксперимент, включают в себя: методы построения математических моделей силами конечных пользователей информационных систем – специалистов в своей предметной области, а не профессиональных математиков и программистов, информационную поддержку их деятельности для поиска и выбора алгоритмов и программ численного решения задач, методы и средства контроля точности производимых вычислений и правильности работы применяемых программ.
При проведении вычислительного эксперимента исследователь может с помощью пользовательского интерфейса “играть” на модели, ставя интересующие его вопросы и получая ответы. Таким образом, исследователь получает мощный инструмент для анализа и прогноза поведения сложных нелинейных многопараметрических объектов и явлений, изучение которых традиционными методами затруднено или вообще невозможно.
Пора “младенчества” технологии вычислительного эксперимента приходится на 1950-е годы XX века. Дата появления первых серьёзных результатов вычислительного эксперимента в СССР зафиксирована вполне официально – 1968 год, когда Госкомитет СССР по делам открытий и изобретений засвидетельствовал открытие явления, которого на самом деле никто не наблюдал.
Это было открытие, так называемого, эффекта Т-слоя (температурного токового слоя в плазме, которая образуется в МГД-генераторах). Свидетельство на это открытие было выдано академикам А.Н. Тихонову и А.А. Самарскому, члену-корреспонденту АН СССР С.П. Курдюмову, докторам физико-математических наук П.П. Волосевичу, Л.М. Дегтяреву, Л.А. Заклязьминскому, Ю.П. Попову (ныне директор ИПМ им.
М.В. Келдыша РАН), В.С. Соколову и А.П. Фаворскому. В данном случае вычислительный эксперимент предшествовал натурному.
Натурные эксперименты “заказывались” по результатам математического моделирования. Через несколько лет в трёх физических лабораториях на разных экспериментальных установках практически одновременно был надёжно зарегистрирован Т-слой, после чего технологам и инженерам стал окончательно ясен принцип работы МГД-генератора с Т-слоем.
Плазма с её нелинейными свойствами стала одним из важнейших объектов математического моделирования и вычислительного эксперимента. Заманчивая перспектива решения энергетической проблемы связана с управляемым термоядерным синтезом изотопов водорода, дейтерия и трития.
Энергетическая проблема для человечества заключается в том, что нефти и газа при нынешнем темпе их потребления хватит всего на несколько десятков лет. А сжигать столь ценное химическое сырье в топках электростанций и двигателях внутреннего сгорания – это, по образному выражению Д.И. Менделеева, “почти всё равно, что топить печь ассигнациями”.
С запасами угля дело обстоит гораздо лучше, но его добыча с каждым годом становится всё труднее. Выходом может быть лазерный термоядерный управляемый синтез, исследование которого осуществляется с помощью вычислительного эксперимента. В 1974 г. коллектив сотрудников ФИАН и ИПМ АН СССР под руководством академиков Н.Г. Басова, А.Н. Тихонова и А.А.
Самарского предложил принципиально новую концепцию лазерного термоядерного синтеза на основе результатов вычислительного эксперимента. Ещё одна область использования вычислительного эксперимента – это “вычислительная технология” – применение математического моделирования с помощью компьютеров для разработки технологических процессов в промышленности, а не только для решения фундаментальных научных проблем.
Для тех случаев, когда технологические процессы описываются хорошо известными математическими моделями, для расчёта которых существуют эффективные вычислительные алгоритмы, существуют пакеты прикладных программ, технология вычислительного эксперимента позволяет создавать новые программы и совершенствовать средства общения человека с компьютером. У технологов есть потребность в изучении новых промышленных технологий, например, лазерно-плазменной обработки материалов (плазменной термохимии).
Основатель нобелевских премий Альфред Нобель, как известно, исключил математику из числа наук, за достижения в которых присуждается эта высшая научная награда. Вместе с тем, современное математическое моделирование охватывает области исследований, до недавнего времени недоступные математике.
В последние годы ряд Нобелевских премий по химии, медицине, экономике, физике элементарных частиц были присуждены работам, методологическую основу которых составляло математическое моделирование. Например, для дальнейшего исследования нелинейных процессов в микромире оказалось необходимым разрабатывать соответствующие численные методы и даже компьютеры и компьютерные сети (сетевые grid-технологии), ориентированные на решение задач физики элементарных частиц.
Алгоритмы квантово-механических расчетов прогрессируют не менее быстрыми темпами, чем в других областях вычислительной математики. Биология во многом остается экспериментальной и описательной дисциплиной, а история математического моделирования биологических процессов вряд ли насчитывает более 20 лет.
И всё-таки уже можно назвать биологические задачи, для которых вычислительный эксперимент становится определяющей методологией. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент стали ведущей методологией изучения глобальных моделей процессов и явлений на Земле, например, климата Земли.
Проведение работ по глобальному моделированию стимулировалось деятельностью Римского клуба, неправительственной организации. Первую из таких моделей опубликовал в 1971 г. американский специалист по теории управления Д. Форрестер.
Компьютерные игры, проведённые Д. Форрестером с глобальной моделью, показали, что в середине ХХI века человечество ждёт кризис, связанный прежде всего с истощением природных ресурсов, падением численности населения и производства продуктов, ростом загрязнения окружающей среды. Известны результаты глобального моделирования явления “ядерной зимы”, выполненные в ВЦ АН СССР В.В.
Александровым и Г.Л. Стенчиковым под руководством академика Н.Н. Моисеева. Эти результаты дали человечеству, в том числе политикам, неопровержимые аргументы против ядерной войны, даже, так называемой, “ограниченной ядерной войны”.
Для математического моделирования и вычислительного эксперимента использовались, главным образом, универсальные цифровые вычислительные машины, доступные коллективам исследователей. В СССР в 1970-80-х годах это были БЭСМ-6 и модели ЕС ЭВМ, для которых разрабатывались библиотеки и пакеты прикладных программ вычислительной математики.
С появлением персональных компьютеров стало возможно развитие информационной технологии вычислительного эксперимента, которая предусматривает поддержку пользовательского интерфейса и поиска нужных алгоритмов и программ с помощью персональных компьютеров (отечественного производства или импортных), а проведение расчетов на математических моделях – с помощью высокопроизводительных компьютеров БЭСМ-6, ЕС ЭВМ или супер-компьютеров «Эльбрус». Потребности вычислительного эксперимента при изучении явлений в наиболее сложных областях науки, таких, как проблемы физики элементарных частиц, молекулярной биологии (например, геном человека), геофизики (например, физики атмосферы) и др., оказались связанными с необходимостью обеспечить предельно возможные вычислительные мощности.
Выход был найден в коллективном использовании вычислительных мощностей, доступных исследователям через компьютерные сети. В развитии, так называемых, grid-технологий, разрабатываемых мировым сообществом в настоящее время, участвуют и ведущие научные институты России: Объединенный институт ядерных исследований (г.
Дубна), Научно-исследовательский институт ядерной физики МГУ, Институт физики высоких энергий РАН (г. Протвино), Институт биофизики РАН (г. Пущино), Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН и другие. Идея организации распределённых вычислений в гетерогенной сетевой среде, называемая метакомпьютингом, образно выражается метафорой «grid (сеть)».
Подобно тому, как мы подключаем к электросети бытовые приборы, не задумываясь об устройстве этой электросети, сетевые grid-технологии призваны предоставить исследователям требуемые вычислительные мощности как разделяемые ресурсы. В Европе такой сетью должна стать Data Grid, к которой будет подключен и российский сегмент.
Литература
- А.А. Самарский, А.П. Михайлов. Компьютеры и жизнь. М. “Педагогика”, 1987. Серия “Библиотечка Детской энциклопедии”.
Источник: computer-museum.ru
Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
Схема вычислительного эксперимента. Эффективное решение крупных естественно-научных задач сейчас невозможно без применения ЭВМ. В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом.
Пусть, например, требуется исследовать какой-то объект, явление, процесс. Тогда схема вычислительного эксперимента выглядит так, как показано на рис. 1.
Формулируются основные законы, управляющие данным объектом исследования (I) и строится соответствующая математическая модель (II), представляющая обычно запись этих законов в форме системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т.д.).
При выборе физической и, следовательно, математической модели мы пренебрегаем факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. Типичные математические модели, соответствующие физическим явлениям, формулируются в виде уравнений математической физики. Большинство реальных процессов описывается нелинейными уравнениями и лишь в первом приближении (при малых значениях параметров, малых отклонениях от равновесия и др.) эти уравнения можно заменить линейными.
После того, как задача сформулирована в математической форме, необходимо найти ее решение. Но что значит решить математическую задачу? Только в исключительных случаях удается найти решение в явном виде, например, в виде ряда. Иногда утверждение “задача решена” означает, что доказано существование и единственность решения.
Ясно, что этого недостаточно для практических приложений. Необходимо еще изучить качественное поведение и найти те или иные количественные характеристики.
Именно на этом этапе требуется привлечение ЭВМ и, как следствие, развитие численных методов (III).
Под численным методом здесь понимается такая интерпретация математической модели (“дискретная модель”), которая доступна для реализации на ЭВМ. Например, если математическая модель представляет собой дифференциальное уравнение, то численным методом может быть аппроксимирующее его разностное уравнение совместно с алгоритмом, позволяющим отыскать решение этого разностного уравнения. Результатом реализации численного метода на ЭВМ является число или таблица чисел.
Чтобы реализовать численный метод, необходимо составить программу для ЭВМ (IV) или воспользоваться готовой программой.
После отладки программы наступает этап проведения вычислений и анализа результатов (V). Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению и, при необходимости, вносятся исправления в численный метод и уточняется математическая модель.
Такова в общих чертах схема вычислительного эксперимента. Его основу составляет триада:
модель ‑ метод (алгоритм) ‑ программа.
Опыт решения крупных задач показывает, что метод математического моделирования и вычислительный эксперимент соединяют в себе преимущества традиционных теоретических и экспериментальных методов исследования. Можно указать такие крупные области применения вычислительного эксперимента как энергетика, аэрокосмическая техника, гидродинамика, совершенствование технологических процессов.
2. Вычислительный алгоритм. Процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, потому что на каждом этапе вносятся те или иные погрешности. Так, построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных.
Алгоритм называется устойчивым, если в процессе его работы вычислительные погрешности возрастают незначительно, и неустойчивым ‑ в противном случае. При использовании неустойчивых вычислительных алгоритмов накопление погрешностей вычисления приводит в процессе счета к переполнению арифметического устройства компьютера.
Источник: studopedia.su
Методология компьютерного моделирования
В представленной на рис. 1. схеме организации процесса компьютерного моделирования (имитации) основная цепочка (реальный технологический объект (система) – математическая модель –моделирующий алгоритм – программа ЭВМ –вычислительный эксперимент) соответствует традиционной схеме, но во главу угла теперь ставится понятие триады: модель – алгоритм –программа (блоки 4, 5, 6), стратегическое и тактическое планирование вычислительного эксперимента (блок 7), интерпретация и документирование его результатов (блок 8).
На первом этапе построения ММ выбирается (или строится) «эквивалент» технологического объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства – законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его элементам, и т.д.
Математическая модель (или ее фрагменты) исследуется теоретическими методами, что позволяет получить важные предварительные знания об объекте.
На первом этапе построения ММ выбирается (или строится) «эквивалент» технологического объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства – законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его элементам, и т.д.
Математическая модель (или ее фрагменты) исследуется теоретическими методами, что позволяет получить важные предварительные знания об объекте.
Второй этап связан с разработкой метода расчета сформулированной математической задачи, или, как говорят, вычислительного или моделирующего алгоритма.
Фактически он представляет собой совокупности алгебраических формул, по которым ведутся вычисления, и логических условий, позволяющих установить нужную последовательность применения этих формул. Вычислительные алгоритмы должны не искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного технологического объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров.
Как правило, для одной и той же математической задачи можно предложить множество вычислительных алгоритмов. Однако, требуется построение эффективных вычислительных методов, которые позволяют получить решение поставленной задачи с заданной точностью за минимальное количество действий (арифметических, логических), то есть с минимальными затратами машинного времени.
Эти вопросы весьма существенны и составляют предмет теории численных методов.
Вычислительный эксперимент имеет «многовариантный» характер. Действительно, решение любой прикладной задачи зависит от многочисленных входных переменных и параметров.
Например, если рассчитывается химико-технологическая установка, то имеется множество различных режимных переменных и конструктивных параметров, среди которых нужно определить их оптимальный набор, обеспечивающий эффективное функционирование этой установки. Получить решение соответствующей математической задачи в виде формулы, содержащей явную зависимость от режимных переменных и конструктивных параметров, для реальных задач, как говорилось выше, не удается. При проведении вычислительного эксперимента каждый конкретный расчет проводится при фиксированных значениях переменных и параметров. Проектируя оптимальную установку, то есть, определяя в пространстве переменных и параметров точку, соответствующую оптимальному режиму, приходится проводить большое число расчетов однотипных вариантов задачи, отличающихся значениями некоторых переменных или параметров. Поэтому очень важно опираться на эффективные численные методы.
Третий этап – создание программы для реализации разработанного моделирующего алгоритма на ЭВМ (создание компьютерной модели). Применение языков программирования СИ++, Паскаль и других порождает ряд проблем, из которых главными являются трудоемкость и недостаточная гибкость. В процессе исследования реальных систем часто приходится уточнять модели, что влечет за собой перепрограммирование моделирующего алгоритма. Ясно, что процесс моделирования в этом случае не будет эффективным, если не обеспечить его гибкости. Для этой цели можно использовать формальные схемы, описывающие классы математических моделей из определенной предметной области, поскольку программировать тогда нужно функционирование данной схемы, а не описываемые ею частные модели.
Создав триаду «модель – алгоритм – программа», исследователь получает в руки универсальный, гибкий и сравнительно недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в «пробных» вычислительных экспериментах.
После того как адекватность триады исходному технологическому объекту удостоверена, с моделью можно проводить разнообразные «опыты», дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта. Процесс компьютерного моделирования сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады. Обратимся теперь к блоку 7.
Вычислительный эксперимент – это собственно проведение расчетов на ЭВМ и получение информации, представляющей интерес для исследователя. Конечно, точность этой информации определяется достоверностью, прежде всего модели, моделирующего алгоритма и программы ЭВМ.
Именно по этой причине в серьезных прикладных исследованиях нигде не начинают вести полномасштабные расчеты сразу же по только что написанной программе. Им всегда предшествует период проведения тестовых расчетов.
Они необходимы не только для того, чтобы «отладить» программу, то есть отыскать и исправить все ошибки и опечатки, допущенные как при создании алгоритма, так и при его программной реализации. В этих предварительных расчетах тестируется также сама математическая модель, выясняется ее адекватность исследуемому объекту. Для этого проводится расчет некоторых контрольных экспериментов, по которым имеются достаточно надежные измерения. Сопоставление этих данных с результатами расчетов позволяет уточнить математическую модель, обрести уверенность в правильности предсказаний, которые будут получены с ее помощью.
Только после проведения длительной кропотливой работы в вычислительном эксперименте наступает фаза прогноза (имитации) — с помощью компьютерной модели предсказывается поведение исследуемого объекта в условиях, где натурные эксперименты пока не проводились или где они вообще невозможны.
Важное место в вычислительном эксперименте занимает обработка результатов расчетов, их всесторонний анализ и, наконец, выводы.
Эти выводы бывают в основном двух типов: или становится ясна необходимость уточнения модели, или результаты, пройдя проверку, передаются заказчику. При оптимизации или проектировании технологического объекта из-за сложности и высокой размерности математической модели проведение расчетов по описанной выше схеме может оказаться чересчур дорогим.
И здесь идут на упрощение модели, на построение своего рода инженерных методик (формул), но опирающихся на сложные модели и расчеты и дающих возможность получить необходимую информацию значительно более дешевым способом. При этом проводится огромная предварительная работа по анализу сложных моделей, квинтэссенцией которой и являются простые на первый взгляд формулы.
При массовом использовании методов компьютерного моделирования в технических проектах следует добиваться резкого сокращения сроков разработки моделей, обеспечивающих различные этапы проектирования. Решение этой задачи возможно при соответствующем уровне развития технологии компьютерного моделирования.
Технология компьютерного моделирования является основой целенаправленной деятельности, смысл которой состоит в обеспечении возможности фактического эффективного выполнения на ЭВМ исследований функционирования сложных систем. С ее помощью организуются действия исследователя на всех этапах его работы с моделями, начиная от изучения предметной области и выделения моделируемой проблемной ситуации и кончая построением и реализацией компьютерных экспериментов для анализа поведения системы.
Говоря о технологии моделирования, следует отметить два важных аспекта:
1) методологическую составляющую технологии как науки, занимающейся выявлением закономерностей, применение которых на практике позволяет находить наиболее эффективные и экономичные приемы компьютерного моделирования объектов (систем) на ЭВМ;
2) прикладные цели и задачи технологии как искусства, мастерства, умения достигать в ходе компьютерного моделирования сложных объектов практически полезных результатов.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Источник: studopedia.ru