Честно сказать, до жути надоело считать производные вручную, при том, что увы но при вычислении оных можно столько раз ошибиться, а для написания отчетов требуется именно вся запись в символьном виде. Конкретно от пакета Maxima лично меня интересуют производные, но не будем спешить рассмотрим все постепенно:
Установка
Для установки maxima, так как я пользователь Fedora 18 используем:
sudo yum install maxima
ну а под ubuntu и ей подобные:
sudo apt-get install maxima
Maxima, как калькулятор
Кто-то считает, с графическим интерфейсом лучше, лично я поставил wxmaxima так и не понял, как ей пользоваться, поэтому в дальнейшем используем консоль. Сразу скажу из недостатков консольного режима является, то что вводить нужно без ошибок, иначе удаляешь все и печатаешь по новой!
Теперь приступим к первому знакомству. Когда вы запустите Maxima вы увидите приглашение:
i — означает, что это приглашение на ввод, а цифра означает номер вычисления.
Обучающее видео о приложении Maxima
Maxima можно использовать, как калькулятор, правда со странностями специфичный калькулятор:
(%i1) 1/4+2/3;
После того как закончили запись не забываем про символ ‘;’, иначе вычисления так и не произойдут, пока вы не поставите, этот символ.
В результате получим:
11 (%o1) — 12
Как видим Maxima выдает результат после череды символов (%o1).
Maxima не любит иррациональности:
(%i2) (1 + sqrt(2))^5; 5 (%o2) (sqrt(2) + 1)
Для того, чтобы она это прорешала, используем функцию expand, а чтобы не повторять последний ввод, просто поставим символ ‘%’:
(%i3) expand(%); (%o3) 29 sqrt(2) + 41
Сразу предупрежу, вывод может отличаться, и это зависит от версии Maxima, главное, чтобы вывод при следующем шаге совпадал.
Следующим шагом будет вычисление численного значения:
(%i4) %,numer; (%o4) 82.01219330881976
Согласен, это несколько неудобно. Что для вычислений требуется еще что-то писать, поэтому я и написал, что это весьма специфичный калькулятор.
Число можно вывести в научном формате:
(%i5) bfloat(%o4); (%o5) 8.201219330881976b1
В данном примере мы выводим в научном формате значение полученное в четвертом вычислении на выходе %o4.
Точность выводимого значения можно менять с помощью функции. Например сделаем вывод в 5 знаков:
(%i6) fpprec:5; (%o6) 5
Теперь снова выведем значение в научном формате:
(%i7) »%i5; (%o7) 8.2012b1
В данном случае, чтобы повторить ввод, перед %i5 ставим два апострофа подряд.
Теперь побалуем с алгебраическими выражениями:
(%i1) (a+b)^2; 2 (%o1) (b + a)
Как видим ничего не произошло и опять требуется expand(), для того, чтобы добиться от Maxima, того чего желаем:
(%i2) expand(%); 2 2 (%o2) b + 2 a b + a
Мы можем подставить значение в уже записанное ранее выражение:
(%i3) %o2, a = 3/d; 6 b 9 2 (%o3) — + — + b d 2 d
Что на мой взгляд является весьма удобной возможностью, учитывая остальные неудобности Maxima. Как видим сама по себе к общему знаменателю, она приводить не хочет, для этой цели воспользуемся функцией ratsimp:
Изучение Maxima Часть 1
(%i4) ratsimp(%); 2 2 b d + 6 b d + 9 (%o4) —————— 2 d
Теперь воспользуемся функцией, factor, которая умеет выносить общие множители за скобки, а также распознавать многочлены в n-й степени:
(%i5) factor(%); 2 (b d + 3) (%o5) ———- 2 d
Нелинейные алгебраические уравнения
Также Maxima умеет решать нелинейные алгебраические уравнения. Для примера взял уравнения которые выдал гугль по запросу нелинейные алгебраические уравнения:
Решим данную систему в Maxima:
(%i6) x^2-x*y^2-y^2=19; 2 2 2 (%o6) — x y — y + x = 19 (%i7) x-y=7; (%o7) x — y = 7 (%i8) solve([%o6,%o7],[x,y]); (%o8) [[x = — 1.255641025641026, y = — 8.255641025641026], [x = 5.620823620823621, y = — 1.379176755447942], [x = 9.634816753926701, y = 2.634817813765182]]
Тригонометрия
Теперь побалуем с тригонометрией, первый пример я рассмотрю из мануала, потом парочку своих:
(%i9) sin(u+v)*cos(u)^3; 3 (%o9) cos (u) sin(v + u)
Воспользуемся функцией trigexpand, чтобы избавиться синуса суммы:
(%i10) trigexpand(%); 3 (%o10) cos (u) (cos(u) sin(v) + sin(u) cos(v))
Также Maxima может преобразовать наше выражение в многочлен, в котором, не будет синусов и косинусов в степенях, а все они будут стоять одни одинешеньки. Лучше продемонстрирую на примере:
(%i11) trigreduce(%); sin(v + 4 u) + sin(v — 2 u) 3 sin(v + 2 u) + 3 sin(v) (%o11) ————————— + ————————- 8 8
Теперь я побалую, а конкретно меня интересует, знает ли Maxima основное тригонометрическое тождество, для этого я воспользуюсь функцией trigsimp, которая упрощает выражения:
(%i12) sin(x)^2+cos(x)^2; 2 2 (%o12) sin (x) + cos (x) (%i13) trigsimp(%); (%o13) 1
А теперь продемонстрирую пример, где конкретно очень необходима функция trigexpand:
(%i14) cos(u+v)*cos(u)+sin(u+v)*sin(u); (%o14) sin(u) sin(v + u) + cos(u) cos(v + u) (%i15) trigexpand(%); (%o15) cos(u) (cos(u) cos(v) — sin(u) sin(v)) + sin(u) (cos(u) sin(v) + sin(u) cos(v)) (%i16) expand(%); 2 2 (%o16) sin (u) cos(v) + cos (u) cos(v) (%i17) trigsimp(%); (%o17) cos(v)
Вот так красиво, можно упростить большую замуту :).
Комплексные числа
Теперь поработаем с комплексными числами, мнимая единица в Maxima обозначается как %i:
(%i1) w:6+%i*k; (%o1) %i k + 6
Найдем вещественную и мнимую части комплексного числа:
(%i2) realpart(%o1); (%o2) 6 (%i3) imagpart(w); (%o3) k
Запишем комплексное число в показательной форме:
(%i4) polarform(w); 2 %i atan(k/6) (%o4) sqrt(k + 36) %e
Найдем значение модуля и аргумента комплексного числа:
(%i5) cabs(w); 2 (%o5) sqrt(k + 36) (%i6) carg(w); k (%o6) atan(-) 6
Дифференцирование и интегрирование
Наконец-то настал черед производных!
Сначала простой пример, который меня очень взволновал, так как именно это я и искал, и нашел в Maxima:
(%i1) diff(phi(t),t); d (%o1) — (phi(t)) dt
Мне очень часто приходится сталкиваться с тем, что значение числа неизвестно, а записать производную от этого числа нужно, а известно лишь, то что оно зависит от переменной t и Maxima позволяет такие переменные дифференцировать!
Теперь продифференцируем сложную функцию:
(%i2) S:1/cos(phi(t))^2; 1 (%o2) ———— 2 cos (phi(t)) (%i3) diff(S,t); d 2 sin(phi(t)) (— (phi(t))) dt (%o3) ————————— 3 cos (phi(t))
Теперь проинтегрируем полученное выражение.
(%i4) integrate(%,t); 1 (%o4) ———— 2 cos (phi(t))
Как мы видим, Maxima не записывает константы интегрирования, она сразу приравнивает их нулю :(.
Дополнительно продемонстрирую интегрирование парочки табличных интегралов:
(%i5) k:sin(t); (%o5) sin(t) (%i6) integrate(k,t); (%o6) — cos(t) (%i7) k:1/cos(t)^2; 1 (%o7) ——- 2 cos (t) (%i8) integrate(k,t); (%o8) tan(t)
Разложение в ряд Тейлора
Очень часто, для упрощения расчетов, тригонометрические формулы разлаживают в ряд Тейлора. Разложим в ряд Тейлора функцию косинуса:
(%i1) k:sin(t); (%o1) sin(t) (%i2) taylor(k,t,0,5); 3 5 t t (%o2)/T/ t — — + — + . . . 6 120
Функция taylor имеет четыре параметры, первый указывает, функцию, которую хотим разложить в ряд Тейлора, второй параметр переменная по степеням которой выполняем разлаживание функции в ряд Тейлора, а следующие два параметра отвечают за диапазон выводимых значений по степеням в нашем случае от степени 0 по 5-ю степень t.
Пределы
Также Maxima умеет вычислять пределы с помощью функции limit(<имя функции>,<имя переменной>,):
(%i3) limit(k,t,0); (%o3) 0 (%i4) limit(k,t,inf); (%o4) ind
Решение дифференциальных уравнений
Чтобы записать дифференциальное уравнение перед функцией diff пишется символ апострофа. Запишем дифференциальное уравнение для пружины с грузом и решим его:
(%i1) m*diff(x(t),t,2)=c*x(t); 2 d (%o1) m (— (x(t))) = c x(t) 2 dt (%i2) ode2(%o1,x(t),t); Is c m positive, negative, or zero? positive; sqrt(c) t sqrt(c) t ——— — ——— sqrt(m) sqrt(m) (%o2) x(t) = %k1 %e + %k2 %e
Линейная алгебра
Теперь продемонстрирую простейшие операции с матрицами. Начнем с того, что введем матрицу:
(%i1) m: entermatrix (3, 3); Is the matrix 1. Diagonal 2. Symmetric 3. Antisymmetric 4. General Answer 1, 2, 3 or 4 : 4; Row 1 Column 1: a; Row 1 Column 2: b; Row 1 Column 3: c; Row 2 Column 1: d; Row 2 Column 2: e; Row 2 Column 3: f; Row 3 Column 1: g; Row 3 Column 2: h; Row 3 Column 3: k; Matrix entered. [ a b c ] [ ] (%o1) [ d e f ] [ ] [ g h k ]
Транспонируем ее:
(%i2) transpose(m); [ a d g ] [ ] (%o2) [ b e h ] [ ] [ c f k ]
Вычислим обратную матрицу и проверим, действительно ли матрица является обратной:
(%i13) m1:invert(m),detout; [ e k — f h c h — b k b f — c e ] [ ] [ f g — d k a k — c g c d — a f ] [ ] [ d h — e g b g — a h a e — b d ] (%o13) ——————————————— a (e k — f h) + b (f g — d k) + c (d h — e g)
Здесь invert — функция инвертирования, а с помощью записи detout мы выносим за пределы определитель матрицы, чтобы запись была покороче. Вообще определитель матрицы находится с помощью функции determinant.
Теперь перемножим матрицу с обратной, для проверки:
(%i14) m.m1; [ e k — f h c h — b k b f — c e ] [ ] [ f g — d k a k — c g c d — a f ] [ a b c ] [ ] [ ] [ d h — e g b g — a h a e — b d ] (%o14) [ d e f ] . (———————————————) [ ] a (e k — f h) + b (f g — d k) + c (d h — e g) [ g h k ] (%i15) expand(%); a e k (%o15) matrix([——————————————— a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g b d k — ——————————————— a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g a f h — ——————————————— a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g c d h + ——————————————— a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g b f g + ——————————————— a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g c e g — ———————————————, 0, 0], a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g a e k [0, ——————————————— a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g b d k — ——————————————— a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g a f h — ——————————————— a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g c d h + ——————————————— a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g b f g + ——————————————— a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g c e g — ———————————————, 0], a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g a e k [0, 0, ——————————————— a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g b d k — ——————————————— a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g a f h — ——————————————— a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g c d h + ——————————————— a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g b f g + ——————————————— a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g c e g — ———————————————]) a e k — b d k — a f h + c d h + b f g — c e g (%i16) factor(%); [ 1 0 0 ] [ ] (%o16) [ 0 1 0 ] [ ] [ 0 0 1 ]
Для матриц операция умножения выполняется с помощью оператора «.», при этом стоит помнить, что умножение a.b и b.a даст разные результаты! Это можно посмотреть в любом учебнике по линейной алгебре.
Найдем определитель матрицы и ранг матрицы:
(%i17) determinant(m); (%o17) a (e k — f h) — b (d k — f g) + c (d h — e g) (%i18) rank(m); (%o18) 3
Чтобы найти собственные значения используется функция eigenvectors, при попытке вычислить оные от моей матрицы, передо мной появился дебагер ldb, видать буковки не особо нравятся функции eigenvectors :).
Поэтому продемонстрирую данную функцию на числовой матрице:
[ 1 2 3 ] [ ] (%o1) [ 4 5 6 ] [ ] [ 7 8 9 ] (%i2) m:%; [ 1 2 3 ] [ ] (%o2) [ 4 5 6 ] [ ] [ 7 8 9 ] (%i3) eigenvectors(m); 3 sqrt(33) — 15 3 sqrt(33) + 15 (%o3) [[[- —————, —————, 0], [1, 1, 1]], 2 2 3/2 3 sqrt(33) — 19 3 sqrt(11) — 11 [[[1, — —————, — ——————]], 16 8 3/2 3 sqrt(33) + 19 3 sqrt(11) + 11 [[1, —————, ——————]], [[1, — 2, 1]]]] 16 8
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Ну и напоследок, решим систему линейных алгебраических уравнений!
Опять нагуглил системку (так как лень готовить картинки, меня больше изучение Maxima колышет).
(%i14) A:matrix([100,6,-2],[6,200,-10],[1,2,100]); [ 100 6 — 2 ] [ ] (%o14) [ 6 200 — 10 ] [ ] [ 1 2 100 ] (%i15) B:matrix([200],[600],[500]); [ 200 ] [ ] (%o15) [ 600 ] [ ] [ 500 ] (%i16) X:invert(A).B; [ 952900 ] [ —— ] [ 499679 ] [ ] [ 1593300 ] (%o16) [ ——- ] [ 499679 ] [ ] [ 2457000 ] [ ——- ] [ 499679 ]
Запишем полученное значение в более приглядном человеческому глазу виде:
(%i17) X,numer; [ 1.907024309606768 ] [ ] (%o17) [ 3.188647111445548 ] [ ] [ 4.917156814675021 ]
Второй способ решения данной СЛАУ, с помощью функции solve:
(%i41) D:[100*x+6*y-2*z=200,6*x+200*y-10*z=600,x+2*y+100*z=500]; (%o41) [- 2 z + 6 y + 100 x = 200, — 10 z + 200 y + 6 x = 600, 100 z + 2 y + x = 500] (%i42) solve(D,[x,y,z]); 952900 1593300 2457000 (%o42) [[x = ——, y = ——-, z = ——-]] 499679 499679 499679 (%i43) %,numer; (%o43) [[x = 1.907024309606768, y = 3.188647111445548, z = 4.917156814675021]]
Источник: ewigestudent.blogspot.com
Name already in use
A tag already exists with the provided branch name. Many Git commands accept both tag and branch names, so creating this branch may cause unexpected behavior. Are you sure you want to create this branch?
Cancel Create
LecturesKT / maxima.md
- Go to file T
- Go to line L
- Copy path
- Copy permalink
This commit does not belong to any branch on this repository, and may belong to a fork outside of the repository.
Cannot retrieve contributors at this time
158 lines (126 sloc) 5.36 KB
- Open with Desktop
- View raw
- Copy raw contents Copy raw contents Copy raw contents
Copy raw contents
Maxima -программа для выполнения различных математических операций, также строит графики с помощью прораммы gnuplot. Ее базовый интерфейс — это командная строка.
wxMaxima — пользовательский интерфейс основной программы maxima (имеются встроенные меню для выполнения стандартных математических операций).
Символьные вычисления в Maxima
Среда maxima и wxmaxima. Режим калькулятора
Набрать выражение, закончить строку «;» и SHIFT-ENTER для выполнения.
(%i1) — метка для первой строки ввода;
(%o1) — метка для первой строки вывода (результат вычислений).
(%i1) 2*2^-2; (%o1) 1/2 (%i1) 1/2+1/4; (%o1) 3/4
float(%); — эта команда, выведет строку, которую мы укажем (float(%i1);).
Функции и команды системы Maxima.
В системе Maxima имеется множество встроенных функций. Для каждой встроенной функции можно получить описание в документации, содержащейся в справочной системе. Вызвать справку можно с помощью функциональной клавиши F1. Также в Maxima есть специальная функция, которая выдает информацию из документации по конкретным словам. Сокращенная версия вызова этой функции. name (Рис.12).
Здесь?? — это имя оператора, и аргумент нужно отделять от него пробелом. Оператор?? выдает список тех разделов помощи и имен функций, которые содержат заданный текст, после чего предлагают ввести номер того раздела или описания той функции, которые требуется посмотреть:
Рис.12. Вызов справки по интересующей команде системы Maxima
Заметим, что в системе Maxima нет четкого разграничения между операторами и функциями. Более того, каждый оператор — это на самом деле функция.
Все функции и операторы Maxima работают не только с действительными, но и комплексными числами. Сами комплексные числа записываются в алгебраической форме, с мнимой единицей, обозначенной через %i; то есть в виде a+b*%i, где а и b — соответственно действительная и мнимая части числа.
Рассмотрим синтаксис базовых функций системы Maxima.
1. Арифметические операторы: +, -, *, /, —>. Пример:
3. Логические операторы: and, or, not. Пример:
4. Функция нахождения факториала числа:!
Факториал задан в наиболее общем виде и представляет собой, по сути, гамма-функцию (точнее, x! = gamma(x+1)), то есть определен на множестве всех комплексных чисел, кроме отрицательных целых. Факториал от натурального числа (и нуля) автоматически упрощается до натурального же числа.
5. Функция нахождения полуфакториала чила. (произведение всех четных (для четного операнда) или нечетных чисел, меньших либо равных данному).
6. Функция отрицания синтаксического равенства: # Запись a#b эквивалентна not a=b.Пример:
7. Функция нахождения модуля числа х: abs(x) Модуль определен для всех комплексных чисел. Пример:
8. Функция, возвращающая знак числа х: signum(x)
9. Функции, возвращающие наибольшее и наименьшее значения из заданных действительных чисел: max(x1. xn) и min(x1. xn).
10. Некоторые встроенные математические функции:
| sqrt (x) | Квадратный корень из x |
| acos (x) | Арккосинус аргумента х |
| acosh (x) | Гиперболический арккосинус аргумента х |
| acot (x) | Арккотангенс аргумента х |
| acoth (x) | Гиперболический арккотангенс аргумента х |
| acsc (x) | Арккосеканс аргумента х |
| acsch (x) | Гиперболический арккосеканс аргумента х |
| asec (x) | Арксеканс аргумента х |
| asech (x) | Гиперболический арксеканс аргумента х |
| asin (x) | Арксинус аргумента х |
| asinh (x) | Гиперболический арксинус аргумента х |
| atan (x) | Арктангенс аргумента х |
| atanh (x) | Гиперболический арктангенс аргумента х |
| cosh (x) | Гиперболический косинус аргумента х |
| coth (x) | Гиперболический котангенс аргумента х |
| csc (x) | Косеканс аргумента х |
| csch (x) | Гиперболический косеканс аргумента х |
| sec (x) | Секанс аргумента х |
| sech (x) | Гиперболический секанс аргумента х |
| sin (x) | Синус аргумента х |
| sinh (x) | Гиперболический синус аргумента х |
| tan (x) | Тангенс аргумента х |
| tanh (x) | Гиперболический тангенс аргумента х |
| log (x) | Натуральный логарифм х |
| exp (x) | Экспонента х |
11. Функции для работы с матрицами:
determinant – нахождение определителя матрицы:
eigenvalues – нахождение собственных значений матрицы:
invert – получение обратной матрицы:
minor – определяет минор матрицы. Первый аргумент – матрица, второй и
третий – индексы строки и столбца соответственно:
rank – ранг матрицы:
submatrix – возвращает матрицу, полученную из исходной удалением
соответствующих строк и (или) столбцов. В качестве параметров следуют
номера удаляемых строк, исходная матрица, номера удаляемых столбцов.
transpose – транспонирование матрицы:
В языке системы Maxima заложены основные исполнимые операторы, которые есть в любом языке программирования. Рассмотрим их.
Операторы присваивания значений (именования выражений).
1. Оператор «:» (оператор задания значения переменной).
2.Оператор «:=» (оператор задания функции пользователя).
3.Расширенные варианты операторов присваивания и задания функции, обозначаемые соответственно через:: и::=.
Использование оператора задания функции пользователя значительно облегчает работу с ней, поскольку к ней можно обращаться по имени и легко и удобно вычислять значения функции в заданных точках.
Пример: найдем значение функции f (x,y)=cosx + sin y в точке
Оператор цикла. Оператор цикла может задаваться несколькими способами. Способ задания зависит от того, известно ли заранее сколько раз необходимо выполнить тело цикла.
Пример: задание цикла для вывода значений переменной а в диапазоне от -3 до 10 с шагом 5:
Следующей важной возможностью системы Maxima является работа со списками и массивами.
Для формирования списков используется команда makelist. Например, с помощью команды
