Проблема обоснования математического знания сводится к решению двух вопросов: к обоснованию строгости (законченности) математических доказательств и к обоснованию непротиворечивости математических теорий, составляющих фундамент математической науки. На вопрос о том, являются ли математические доказательства строгими, должен быть дан отрицательный ответ, если мы имеем в виду теории на стадии их становления, т.е. на стадии формирования понятий и логики рассуждения.
Этот вопрос, однако, становится более трудным, если мы имеем в виду хорошо развитые математические теории, в которых есть система необходимых посылок и нет сомнений в характере используемых логических средств. Трудность положительного ответа заключается в том, что рассуждение, доказывающее строгость какого-либо доказательства, само должно быть обосновано в своей строгости. Это значит, что мы должны получить заключение о строгости доказательства не на основе математического доказательства, а из некоторых содержательных соображений, обладающих полной надежностью. Но могут ли существовать содержательные и одновременно безусловно строгие рассуждения? Подавляющее число логиков и философов сомневаются в совместимости этих требований.
Л.Д. Беклемишев. Лекция 1. Программа Гильберта и основания математики. Элементарные по Кальмару…
Длительная неопределенность в положительном решении вопроса побудила многих философов настаивать на принципиальной нестрогости любого математического доказательства. Именно в этом плане И. Лакатос защищал положение, согласно которому идеально строгих доказательств не существует. Лакатос исходит из эмпирического взгляда на формирование математических понятий.
Никакое понятие, по его мнению, не свободно от интуиции и опыта, которые несовершенны и могут проявить себя в виде скрытых лемм или парадоксов на некотором этапе развития математической теории. Исходные понятия математики, данные в аподиктической очевидности, не могут содержать дефектов, и математическое доказательство, сведенное к системе очевидных шагов, должно быть признано в качестве абсолютно надежного. Необходимо сделать выбор между этими двумя подходами. Это значит, что проблема строгости математических доказательств может быть решена только при прояснении природы элементарных очевидностей, лежащих в его основе. Она сводится, таким образом, к необходимости выбора между эмпиризмом и априоризмом как общими философскими воззрениями на природу математических понятий.
Эта проблема была поставлена под влиянием парадоксов, обнаружившихся в теории множеств и математической логике в начале XX в. Парадоксы поставили перед математиками две задачи. Первая из них состояла в том, чтобы найти общие причины этого явления и указать минимальные ограничения для логики математических рассуждений, которые были бы достаточными для устранения парадоксов. Вторая, более широкая задача состояла в том, чтобы сформулировать общие требования к математической теории, гарантирующие ее непротиворечивость.
Первую задачу можно считать решенной. Уже в самом начале обсуждения проблемы Б.Рассел и Э. Цермело указали необходимые ограничения для аксиом логики и теории множеств, устраняющие все известные парадоксы. Метод, предложенный Расселом, состоял в разделении математических объектов по уровням абстрактности и в соответствующем ограничении области определения логических функций. Но являются ли эти ограничения достаточными для устранения любых парадоксов, в том числе и тех, которые могут появиться в будущем? Проведенные исследования пока не позволяют утвердительно ответить на этот вопрос, и есть основания считать, что при такой общей постановке проблема является неразрешимой.
Теория множеств: логика, формализм и кризис
В начале XX в. были намечены три программы обоснования математики: логицизм, интуиционизм и формализм. Программа логицизма была сформулирована немецким математиком и философом Г. Фреге еще до появления парадоксов. Ее суть состояла в том, чтобы свести понятия математики к понятиям логики и представить принципы математических теорий в качестве общезначимых логических истин.
Поскольку классическая логика базируется на простой и предельно ясной системе понятий, то, согласно Фреге, мы имеем основания предполагать ее абсолютную непротиворечивость. А. Уайтхед и Б. Рассел в своем фундаментальном труде «Principia Mathematica» (Vol. 1—3. 1910—1913) предприняли попытку систематического анализа основных математических теорий в плане их сведения к логике. Общий вывод состоял в том, что при условии истинности аксиомы выбора и аксиомы бесконечности такое сведение может быть осуществлено для всех основных математических теорий.
Однако К. Гедель в своей знаменитой статье «О неразрешимых предложениях «Principia Mathematica» и родственных систем» (1931) показал, что почти все математические теории, включая арифметику, если допустить их непротиворечивость, не являются полными. Неполнота математической теории означает, что она содержит в себе положения, истинные при некоторой интерпретации, но вместе с тем логически недоказуемые в теории. Отсюда следует, что использованные Уайтхедом и Расселом элементарные логические исчисления в принципе недостаточны для адекватного представления арифметики и более сложных математических теорий.
Программа интуиционизма, родоначальником которой является Л. Брауэр, ставила задачу сведения математики к исходным представлениям арифметики. При этом Брауэр существенно ограничил обычную логику математического рассуждения, изъяв из нее закон исключенного третьего и ряд других употребимых схем вывода.
В качестве правильных и безусловно строгих принимались только конструктивные рассуждения. Понятие актуального бесконечного множества полностью исключалось из математики как противоречивое по своей сущности. Все допустимые математические объекты должны быть построены на основе натуральных чисел и интуитивно ясных операций с ними.
В пределах возможностей такого рода конструктивной перестройки математики она является абсолютно гарантированной от противоречий. Многие математики были согласны с Брауэром в том, что конструктивная математика сама по себе не может содержать противоречий и что если бы удалось свести к арифметике достаточно широкую область математики, то вопрос о ее обосновании был бы решен положительно. Однако сам Брауэр вскоре увидел, что основные понятия математического анализа и даже некоторые принципы алгебры не поддаются такого рода конструктивному представлению.
Наиболее обоснованной теоретически была формалистская программа, предложенная Д. Гильбертом. Мы можем понять сущность программы Гильберта из его отношения к исследованиям Рассела и Брауэра.
Гильберт считал, что обоснование математики, предложенное Расселом, не является строгим, поскольку оно опирается на утверждения типа аксиомы сводимости и аксиомы бесконечности, которые могут быть поняты только как некоторого рода гипотезы. Он был категорически не согласен с подходом Брауэра, который, по его мнению, является разрушительным для математики.
Вместе с тем он соглашался с Фреге и Расселом в том, что строгость математики может быть достигнута только через уточнение ее языка и через прояснение логической структуры теории. Гильберт взял у логицистов понятие строгой аксиоматизации и формализации математической теории. Отрицая интуиционизм как способ обоснования математики, он соглашался с Брауэром в том, что закон исключенного третьего неприменим к математическим утверждениям, связанным с бесконечностью. Как и Брауэр, он считал, что истинность математического суждения относительно бесконечного множества предметов не может быть проверена и вследствие этого строгая альтернатива, выражаемая законом исключенного третьего, не может быть применена к нему в качестве безусловной истины. Исходя из этого положения, Гильберт сформулирует принципфинитизма, согласно которому оперирование с бесконечным может быть сделано надежным только через конечное.
Финитизм Гильберта был не столь радикален, как финитизм Брауэра: если Брауэр хотел устранить актуальную бесконечность из математики вообще как понятие, не имеющее смысла, то Гильберт считал возможным сохранить его в тех пределах, в которых оно допускает финитное обоснование. Процедура обоснования математики, таким образом, предполагает полную формализацию теории, заключающуюся в представлении ее аксиом в виде не имеющих содержания строчек символов.
Формализованная теория предполагает содержательную метатеорию, которая включает в себя описание структуры формализма, общие принципы логики и специальные правила преобразования. Метатеория должна быть безусловно истинной и достаточной для строгого обоснования непротиворечивости формализма, которое должно состоять в доказательстве того факта, что в его рамках в соответствии с правилами логики и правилами введения производных объектов не может быть получено выражение, имеющее вид «О = 1». Целью формалистского анализа являются реальные математические теории, различающиеся по своему содержанию и методу. Специфика формалистского подхода состоит в том, что заключение о непротиворечивости математической теории предполагается вывести из непротиворечивости ее формализованного аналога. Гильберт формулирует ряд требований к метатеории, которые известны как принципы гильбертовского финитизма, согласно которым метатеория является:
1) синтаксической в том смысле, что она имеет дело только со знаковой структурой теории и с преобразованиями, допустимыми в этой структуре.
2) содержательной, поскольку она относится к конкретному формализму как к своему единственному предмету и в своих внелогических предпосылках не выходит за пределы описания его самоочевидных свойств;
3) финитной, ибо она не имеет дела с операциями с бесконечными множествами и с математическими принципами, связанными с допущением актуальной бесконечности;
4) конструктивной в том смысле, что всякое утверждение о существовании объекта в ее рамках должно быть подтверждено процедурой его построения.
Все эти требования являются необходимыми для метатеории с точки зрения понятия строгости, сформировавшегося в начале века под влиянием логицистского и интуиционистского анализа проблемы. Методологический замысел Гильберта состоит в том, чтобы ограничить метатеоретическое рассуждение таким образом, чтобы оно гарантировало его абсолютную достоверность. Метатеория должна быть способной доказывать непротиворечивость формализованных теорий и непротиворечивость соответствующих им содержательных теорий, независимо от их содержания. Гильберт считал, что метатеория должна включать в себя только математически определенные понятия. Принимая факт априорности элементарной математики, он отождествляет априорность с финитностью и формулирует требование финитности в качестве основного критерия для метатеории.
Программа Гильберта была поставлена под сомнение теоремой Гёделя о непротиворечивости. Согласно которой, если некоторая теория непротиворечива и неполна, то доказательство ее непротиворечивости не может быть получено средствами, формализованными в этой теории.
Мы не можем доказать непротиворечивость арифметики, не прибегая к некоторым средствам, выходящим за пределы арифметики. Ясно, что это противоречит исходному замыслу Гильберта, который надеялся обосновать сложные математические теории некоторыми достаточно простыми средствами. Провал программ обоснования математики привел к устойчивому скептицизму относительно возможностей разрешения этой проблемы вообще. Многие современные математики и философы склонны считать, что убеждение в непротиворечивости математических теорий базируется исключительно на практике их использования, которая подтверждает их достаточную надежность в различных областях науки и техники. В этом случае нужно признать, что математика, как и другие науки, обосновывается в конечном итоге только из опыта и не имеет никаких оснований для утверждения своей полной надежности. ограничена определенной системой требований.
Логические исследования, проведенные в течение последнего столетия, свидетельствуют о полной надежности классической логики. Здесь достаточно напомнить об исследованиях А. Н. Колмогорова, которые показывают, что теории, использующие закон исключенного третьего, могут быть переведены в систему рассуждений, не опирающуюся на этот закон.
Об этом же говорит и теорема Гёделя, согласно которой классическая арифметика является столь же непротиворечивой, как и арифметика интуиционистская. С точки зрения этих и многих других результатов представляется правомерным вывод о полной надежности классической логики и о неправомерности брауэровскрой критики закона исключенного третьего.
Но если верно, что закон исключенного третьего не имеет тех дефектов, которые приписывает ему интуиционистская критика, то мы можем отказаться от требования конструктивности метатеоретических рассуждений. Можно настаивать лишь на требованиях содержательности и конкретности метаязыка, которые являются действительно существенными. Анализ показывает, что это привело бы к строгому обоснованию арифметики, математического анализа и существенной части теории множеств. Аналогичная критика представляется справедливой и в отношении некоторых других требований к метатеории. Современный анализ логики математического мышления позволяет утверждать, что семантические средства должны быть признаны в качестве законного элемента обосновательных рассуждений, несмотря на то, что они не могут быть включены в метатеорию в ее гильбертовском понимании.
В настоящее время уже имеются убедительные с математической точки зрения доказательства непротиворечивости математических теорий с использованием семантических соображений. Здесь можно указать на доказательство непротиворечивости арифметики, данное Н.М. Нагорным, которое исходит из понятия реализуемости.
Гносеологический анализ показывает, что слишком сильным и не вполне оправданным является также общее требование Гильберта к структуре метатеории, предусматривающее полное исключение из нее определений, не относящихся к математике. Несомненно, что метатеоретическое рассуждение может прибегать к очевидным представлениям, не имеющим строгого математического определения. Современный логический и гносеологический анализ свидетельствует, что мы можем отказаться не только от ограничений на логику метатеории, но в определенной мере и от требования финитности.
Из сказанного можно сделать следующий вывод: проблема обоснования математики в настоящее время пока не может считаться решенной ни в положительном, ни в отрицательном смысле и есть все основания полагать, что возможности ее положительного решения не так ограничены, как это представляют себе скептики, опирающиеся исключительно на факт провала традиционных программ обоснования. У нас нет абсолютных запретов на появление других более успешных программ, которые будут исходить из более адекватных представлений о природе математического мышления и об условиях его строгости. Мы должны хорошо осознавать то обстоятельство, что наше продвижение к строгому обоснованию математики зависит от нашего понимания природы математического мышления, которое находится в процессе постоянного совершенствования.
Глоссарий
Аподиктический — безусловнодостоверный, основанный на необходимости, неопровержимый.
Априоризм — философское учение, согласно которому существует знание, полученное человеком до опыта и
независимо от него.
Финитизм — философское учение, отрицающее понятие бесконечного и утверждающее, что бесконечность не имеет места ни во вселенной, ни в микромире, ни в человеческом мышлении.
Метатеория — теория, изучающая язык, структуру и свойства некоторой др. теории.
Гносеология – теория познания.
Источник: poisk-ru.ru
Программа Гильберта.
Основная задача Гильберта, как он её формулирует: «Восстановить прежнюю добрую славу непоколебимой строгости математики, как будто потерянную ею под ударами парадоксов теории множеств». Надо сказать, что Гильберт не был против самой теории Кантора и тем более не отрицал её значения и вклада в историю математики, тем не менее, он прекрасно понимал, что математика не может остаться прежней, в связи с теми противоречиями, что показала теория множеств. Следовательно, единственный путь сохранить математику как строгую науку, не терпящую сослагательного наклонения, преобразовать её. Орудием его является знакомый математикам с давних времен Аксиоматический метод 1 . Его идея впервые была высказана в связи с построением геометрии в Древней Греции (Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид), откуда её и взял Гильберт. Он преобразовал метод построения геометрии по примеру Евклида, и создал концепцию формального аксиоматического метода, которая ставит задачу точного описания логического средств вывода теорем из аксиом.
Как это описывает сам Гильберт, в своей работе «Основания геометрии»: есть два метода, один генетический и другой аксиоматический, первый отличается тем, что «общее понятие действительного числа развивается в нем из простого понятия о числе путем последовательных обобщений» 2 . Но этот метод является единственно подходящим лишь для изучения понятия числа, а «для окончательного оформления и полного логического обоснования содержания нашего познания предпочтительнее аксиоматический метод» 3 . Это такой способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения — аксиомы, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путём, посредством доказательств. Построение теории таким способом называется дедуктивным 4 .
Такие доказательства применяются во многих науках, но основной областью применения являются математика и логика. Таким образом, основная идея Гильберта — полная формализация языка науки, при которой её суждения рассматриваются как последовательности знаков (формулы), приобретающие смысл лишь в решении конкретной задачи и зависящие от интерпретации. Кроме этого, чтобы вывести из этих аксиом теоремы требуется особый метод вывода, правила которого Гильберт также сформулировал.
Доказательство в такой теории — это некоторая последовательность формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности, следуя одному из правил вывода. Главным требованием Гильберта, предъявляемым к системам, сконструированным таким способом — непротиворечивость аксиом. Как говорит об этом В.А.Светлов: «Такая математика подобна шахматной игре, в которой фигуры — ограниченный запас символов, а расположенные фигур на доске — объединение символов в формулу» 5 .
Философские принципы математики Гилберта
Важнейшими философскими принципами математики Гильберта являются, во-первых, его аксиоматический метод, который берет свое начало от Пифагора, первого назвавшего себя философом. Этот метод был также разработан позднее Аристотелем, а впоследствии развит Декартом и Лейбницем в их философских концепциях.
Последний был защитником концепции самоочевидности и говорил, что «все математические истины суть тождественные сами по себе, следовательно, истинные сами по себе утверждения» 6 . Во-вторых, его разработки вопроса сущности бесконечного, разрабатываемого до этого также Кантом и, являющийся основанием теории множеств Кантора. Гильберт принял основное направление обоснования математики Канта. Математика не может быть, по его представлению, основана исключительно на логике. Для логических выводов в нашем созерцании должны присутствовать конкретные внелогические объекты и, чтобы эти выводы были как можно более надежными, необходимо, что было достаточное количество этих объектов. Их существование, различие и порядок должны быть очевидны, то есть быть настолько простыми и неразличимыми в себе насколько это возможно 7 .
Для Гильберта имела большое значение философия Канта, некоторые основоположения первого базируются именно на кантианстве. По мнению Гильберта, всякое математическое рассуждение конечно и доступно прямому чувственному созерцанию и именно в этом вопросе он солидарен с Кантом. Более того, программа Гильберта может быть рассмотрена как выступление в защиту кантианства.
Он, также как и Кант, понимает, что если математика будет ограничена логическими связями, то в ней не найдется места для парадоксов. Кроме того, его аксиоматизация основных дисциплин математики означала особое понимание статуса математических объектов в реальном мире. Гильберт считал их символами или комбинациями символов, не имеющих значений и определений. Их место в формуле дает им определение.
Второй пункт гильбертовской программы — доказательство непротиворечивости аксиом. По его мнению, математическое рассуждение может трактоваться так же, как объект теории. Доказательство математической теоремы является объектом, собранным по определённым правилам. Гарантией непротиворечивости таких объектов является их конечность и регулярность.
Таким образом, главной отличительной особенностью концепции формализма Гильберта можно считать сочетание конечного и бесконечного, финитного и трансфинитного, то есть включение трансфинитной концепции Кантора в финитные определения математики Гильберта.
Источник: studfile.net
Философия математики
Филосо́фия матема́тики, раздел онтологии и философии науки , который посвящён двум проблемам: основаниям математики и онтологии математики, т. е. природе математических объектов.
Основания математики
Исторически проблема оснований математики не была специальной отраслью философии математики вплоть до конца 19 – начала 20 вв. Она была в явном виде поставлена в связи с т. н. кризисом оснований математики, который возник после обнаружения парадоксов теории множеств . Поскольку теория множеств достаточно быстро получила всеобщее признание в качестве основополагающей теории, парадоксы в ней поставили под вопрос непротиворечивость математики в целом. Три наиболее известные программы обоснований математики – это логицизм, интуиционизм и формализм.
Логицизм. Проект логицизма состоит в попытке свести математику к логике. Идея о том, что математика – это замаскированная логика, восходит к Г. В. Лейбницу . Но серьёзная попытка детально реализовать логицистскую программу могла быть сделана только тогда, когда в 19 в. были сформулированы основные принципы центральных математических теорий ( Р. Дедекиндом и Дж.
Пеано ) и были раскрыты принципы логики ( Г. Фреге ) ( Horsten. 2007 ). Именно логицистская программа Фреге привела к тому, что были обнаружены парадоксы теории множеств. Б. Рассел и А. Н. Уайтхед предложили развёрнутую программу сведения математики к логике. Она включала в себя теорию типов, благодаря которой можно было избежать парадоксов теории множеств.
Эта типизированная структура свойств определяет многоуровневую совокупность математических объектов, начиная с основных объектов, переходя к классам основных объектов. Однако принципы этой логической программы оказались недостаточны для сведения к ней всей математики.
Интуиционизм. Интуиционизм берёт своё начало в работах математика Л. Э. Я. Брауэра , он вдохновлён кантианскими взглядами на то, что такое объекты ( Van Atten. 2004 ). Согласно интуиционизму, математика – это, по сути, конструктивная деятельность, и все математические объекты являются конструкциями математического ума. Отсюда следует отрицание актуальной бесконечности.
Интуиционисты считают неприемлемыми неконструктивные доказательства существования, в связи с чем отвергают принцип исключённого третьего и эквивалентный ему принцип двойного отрицания. Классическую теорию арифметики Пеано они заменяют интуиционистской теорией А. Гейтинга . Им удалось построить заново некоторые разделы математики, однако оказалось, что их теории требуют значительного усложнения выводов по сравнению с классическими теориями.
Формализм. Автор этой программы – Д. Гильберт . Программа Гильберта состояла из трёх взаимосвязанных пунктов: 1. Признать, что математические абстрактные объекты – это идеальные конструкции, не имеющие интерпретации. 2. Точно и до конца формализовать методы работы с идеальными конструкциями, полностью исключив обращение к интуиции и апелляции к содержательному смыслу.
3. Создать метаматематику, которая должна иметь дело с частным случаем реальных объектов – математическими формализмами, и строго обосновать при помощи как можно более простых, интуитивно ясных и не вызывающих сомнения методов (финитных методов) принципиальную возможность устранения идеальных объектов и высказываний из доказательств реальных утверждений ( Непейвода. 2010. С. 268).
Результаты К. Гёделя (первая и вторая теорема о неполноте) выявили то, что существуют арифметические утверждения, неразрешимые в арифметике Пеано, и что непротиворечивость арифметики Пеано не может быть доказана её собственными средствами. Это положило конец гильбертовской программе формализма и также во многом подорвало логицизм.
Постепенно интерес математиков к проблеме обоснований угасал, поскольку новых парадоксов выявлено не было. Ныне существует программа неологицизма, а из интуиционизма вырос конструктивизм. Формализм не является действующей программой, однако идея, что математика является наукой о формальных системах, широко признана.
Онтология математики
Онтология математики – это учение о природе математических объектов и их отношении к реальности, а также о характере математической деятельности. Иногда её называют просто философией математики, не включая в последнюю вышеизложенную проблему обоснования математики. В данном разделе будет принято это обозначение.
В философии математики обычно выделяют классический и современный периоды ( Шапошников. 2015 ). Первый начинают с пифагорейцев и Платона , наиболее влиятельные концепции связывают также с именами Аристотеля , Г. В. Лейбница, И. Канта . Главная особенность этого периода – философия математики не существует как обособленная область исследований, философские рассуждения о математике встроены в более широкий философский контекст. Современный период начинается в начале 20 в. и характеризуется тем, что появляется собственно философия математики.
Онтологические учения о природе математики можно разделить также на реалистические и номиналистические или, иначе, фундаменталистские и нефундаменталистские. К реалистическим относятся пифагореизм, платонизм и рабочий реализм. Несмотря на древность их появления, они существуют и поныне. К номиналистическим или нефундаменталистским учениям относятся фикционализм, натурализм, конструктивизм, а также исследования отдельных философов, например, Л. Витгенштейна .
Пифагореизм. Как следует из названия, он возводится к учению Пифагора . Согласно пифагореизму, математика встроена в структуру Вселенной. Пифагор назвал Вселенную «космосом», что по-гречески означает «порядок».
Этот порядок имеет именно математический характер, причём для Пифагора была равно важна и арифметика, и геометрия: пифагорейцы не разделяли их, например, числа у них имели геометрическую форму. Пифагорейская философия была акцептирована и популяризирована Платоном (диалог «Тимей» ). От античных пифагорейцев эти взгляды перешли к учёным Нового времени.
Ярким примером являются Г. Галилей и И. Кеплер , который писал о том, что геометрия «совечна божественному уму», что она перешла к человеку вместе с образом Бога ( Kepler. 1997. P. 97). Современные пифагорейцы могут не ссылаться на Бога, однако пифагореизм по-прежнему имеет сторонников.
Типичный современный пифагореец – физик М. Тегмарк, который утверждает, что математика не описывает реальность, а она и есть собственно реальность ( Tegmark. 2008 ). Многие современные физики придерживаются аналогичных воззрений ( Burov. 2016 ).
Платонизм. Платонизм распространён более широко, чем пифагореизм. Он отличается от пифагореизма тем, что постулирует отдельный мир математических объектов. В сильном варианте самого Платона математическая реальность есть даже нечто более реальное, чем физический мир, и этот последний мыслится как вторичный и зависимый от неё.
Основную мысль математического платонизма Платон чётко выразил в диалоге «Государство» : «Геометрия – это познание вечного бытия». Нечто подобное он говорит там же и про другие разделы математики ( Платон. 1994. С. 308–310). Современные философы определяют платонизм через три основных положения: 1. Математические объекты существуют. 2. Математические объекты являются абстрактными.
3. Математические объекты не зависят от интеллектуальных агентов и их языка, мышления и практики. К современному неоплатонизму в философии математики можно отнести работу А. Ф. Лосева «Диалектические основы математики», написанную в 1930-х гг.
В современной аналитической философии платонизм активно обсуждается и подвергается критике ( Linnebo. 2009 ). Главный аргумент против платонизма – когнитивная недоступность предположительного математического мира или отсутствие эпистемологического доступа к нему.
Постулируется, что люди являются физическими сущностями, мозг также является физической сущностью, в то время как математические объекты физическими сущностями не являются. Поэтому, согласно противникам платонизма (П. Бенасерраф, Х. Филд, Н. Гудмен), к математическим объектам не может быть доступа. В этом заключается известный аргумент, приписываемый прежде всего Бенасеррафу.
Одним из аргументов в защиту платонизма считается аргумент Куайна – Патнэма или «аргумент незаменимости»: математика незаменима в наших лучших научных (т. е. физических) теориях, следовательно, мы должны иметь к ней «онтологическую приверженность», другими словами, считать математические объекты существующими. Это не метафизический, а скорее прагматический аргумент.
К математическому платонизму также примыкает т. н. рабочий реализм. Под ним понимается общераспространённое среди работающих математиков представление, что математическое царство существует и автономно от познающих субъектов.
В. А. Шапошников писал: «. главное для математиков – это переживание встречи с некой реальностью, которую они, занимаясь математикой, стремятся познать, и которая оказывает отчётливое сопротивление их усилиям, а также лишает их интеллектуальные построения произвольности. Они – стихийные математические реалисты» ( Шапошников. 2015. С. 414).
Номиналистические, или нефундаменталистские течения в философии математики появились в 20 и 21 вв.
С точки зрения фикционализма, таких вещей, как абстрактные математические объекты, не существует ( Balaguer. 2018) . «Fiction» – по-английски «фикция» или «художественный вымысел».
Яркий представитель фикционализма, Х. Филд, буквально утверждает, что математические предложения ложны в том же смысле, как ложны предложения художественной литературы: они повествуют о несуществующих объектах. Фикционалисты считают существующими только физические объекты, которые оказывают непосредственное каузальное воздействие на мозг (как и П. Бенасерраф, упомянутый выше). Математические объекты, согласно фикционализму, существуют внутри дискурса математиков, внутри истории математики. Видом фикционализма является «если-то-изм» (if-then-ism): «Если бы существовали числа и простые числа, то число 3 было бы простым». Аргументом против фикционализма служит упомянутый выше аргумент Куайна – Патнэма о незаменимости математики.
Близок к фикционализму социальный конструктивизм Д. Блура. В главе «Возможна ли альтернативная математика?» своей книги «Knowledge and Social Imagery» ( Bloor. 1998 ) он развивает идеи о том, что математика является конструктом, который может быть разным в разные эпохи и в разных культурах.
Например, он писал, что в древнегреческой математике единица не считалась числом, т. к. представлялась «генератором всех чисел» ( Bloor. 1991. P. 110) (однако остаётся неясным, идёт ли речь о греческой математике или о греческой философии математики. В практической арифметике греков единица, естественно, функционировала как обычное число).
Также он обсуждает отсутствие в древнегреческой математике понятия функции на примере работ Диофанта . Здесь его идеи смыкаются с идеями О. Шпенглера в его произведении «Закат Европы». Согласно социальному конструктивизму, любая наука, в том числе математика, складывается в социуме и культуре, поэтому в различных социумах и культурах эти науки могут иметь разный стиль мышления и даже приходить к разным выводам. Появилось такое направление философии математики, как этноматематика – исследование математических теорий в различных культурах, на основе отрицания европоцентризма.
Понятие натурализма в философии математики (как и вообще в философии) употребляется по-разному. В. А. Шапошников противопоставляет его «супранатурализму», т. е. апелляции к религиозным и метафизическим посылкам (Шапошников. 2015. С. 436). Натурализм апеллирует к естественным наукам или к биологическим основам мышления.
Характерным примером натурализма может служить статья У. В. О. Куайна «Натурализованная эпистемология» (1969) ( Куайн. 2000. С. 368–385), в которой он рассматривает любую эпистемологию как раздел психологии, а науку как часть культуры. Математику он рассматривает с точки зрения её работы в естественных науках.
В философии Куайна естественные науки – высшие судьи относительно математического существования и математической истины, и достоинство математики определяется её важностью для математизированного естествознания. Это вызывает возражения, поскольку не учитывает автономность математики – например, то, что открытия в математике часто делаются независимо от естественных наук и используются в них уже постфактум.
Среди неклассических подходов к философии математики отдельно нужно упомянуть философию математики Л. Витгенштейна, которая предвосхитила современные исследования математики как практики. Для Витгенштейна математика – это именно практика. Однако при этом он рассматривал и характер математических предложений.
Говоря о возможности их верификации или фальсификации, он указывал, что они являются правилами, т. е. сами по себе не несут информации о какой-то математической реальности ( Сокулер. 1994. С. 75–77). Философия математики Витгенштейна тесно связана с его философией языка и с центральной для него идеей « языковых игр ». Сущности математики – это парадигмы языка ( Витгенштейн. 1994. С. 10, 15).
Значение слова, по Витгенштейну, заключается в его употреблении, и это же касается всех математических сущностей: они употребляются в качестве правил для расчётов, для действий. Витгенштейн – антиплатоник, для которого никакой математической реальности нет, математика для него – чисто антропологический феномен.
Особняком в философии математики стоит структурализм . Он существует в двух вариантах: в аналитической и в континентальной философии. Среди аналитических философов структуралистский подход в философии математики характерен для П. Бенасеррафа, Х. Патнэма, М. Резника, С. Шапиро.
Два лозунга структурализма в философии математики заключаются в том, что «математика – это общее изучение структур» и что, продолжая такое исследование, мы можем «абстрагироваться от природы объектов, воплощающих эти структуры». Центральной в этой связи была книга Пола Бенасеррафа «Чем не могут быть числа» ( Benacerraf.
1983 ). В этой статье он показывает, что натуральные числа не следует отождествлять с какими-либо теоретико-множественными объектами; фактически, их вообще не следует воспринимать как объекты. Вместо этого числа следует рассматривать как «позиции в структурах», например, в «структуре натуральных чисел», «структуре действительных чисел» и т. д. Всё, что имеет значение в таких позициях, – это их структурные свойства, т. е. те свойства, которыми они связаны друг с другом в силу того, что они расположены в порядке прогрессии. У чисел, согласно структурализму, нет никаких «внутренних свойств», все их свойства – внешние, определены их позицией в структуре последовательности. Внутренними свойствами здесь называются те свойства, которые элементы структуры имеют сами по себе, а внешними – те свойства, которые вытекают из их положения в структурах. Структурализм делится на элиминативный и реалистический, в зависимости от того, признаются ли структуры чем-то, существующим реально ( Horsten. 2007 ).
В континентальном реализме выделяется группа Бурбаки. Эта группа увязывала вопрос о математических структурах с проблемой единства математической науки. Им принадлежит фраза: «Единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры» ( Бурбаки Н. Очерки по истории математики. Москва, 1963. С. 251. Примеч. 1).
По мнению участников группы, выделение структуры требует абстрагироваться от природы её элементов. Строится аксиоматическая теория для структур, в рамках которой структуры находятся в иерархии. В центре математического мира располагаются самые простые и самые универсальные порождающие структуры.
Бурбаки выделяют три типа: алгебраические структуры, структуры порядка и топологические структуры. Делается это посредством базового отношения в данной структуре: в случае алгебраических структур это бинарное отношение (типа сложения и умножения), в случае структур порядка – отношение типа больше-меньше, в случае топологических структур – формализация непрерывности перехода от одного множества к другому ( Философия науки. 2015. С. 431).
В. А. Шапошников (2015) выделил современный этап в философии математики, который характеризуется анализом математической практики, способов существования математического сообщества, отказ от абсолютизма и фундаментализма. Эту тенденцию принято называть «maverick tradition», т. е. неортодоксальное, независимое направление. Нефундаменталистская философия математики смыкается, в том числе, с социальным конструктивизмом.
После выхода книги Т. Куна «Структура научных революций» разгорелась дискуссия о возможности научных революций в математике. Согласно Куну, для научной революции характерна смена парадигмы , что означает, что некоторые данные, полученные в прошлой парадигме, становятся недоступными, отбрасываются.
В математике же, и это признают большинство историков, отбрасывания результатов не происходит. Смену парадигм наблюдать можно (например, классическая пифагорейская парадигма сейчас не применяется), однако результаты остаются доступными, доказательства – валидными.
Поэтому обычно говорят о том, что, несмотря на смену парадигм, результаты в математике накапливаются кумулятивным образом. З. А. Сокулер ( Сокулер. 1995. С. 45) указывала, что революции происходят не столько в самой математике, сколько в сознании людей.
Так, неевклидовы геометрии показали, что математика не является описанием реальности, критерием истины в ней является непротиворечивость. Это не новая математика, а новый взгляд на математику, который является революционным в смысле смены парадигмы, но не в смысле отбрасывания старых результатов евклидовой геометрии.
Существенную роль в философии математики играет вопрос о математическом мышлении, понимании и в особенности интуиции . Для платонизма данный вопрос является одним из самых острых: как мы получаем эпистемический доступ к миру математики? Однако он важен и для других течений в философии математики. Согласно Канту, в математике работает созерцание (интуиция) ( Кант. 1964. С. 109).
Однако Кант увязывал её с априорными формами чувственности – пространством и временем, откуда следовало, в частности, то, что неевклидова геометрия невозможна. В этом Кант ошибся, и его концепция интуиции ныне не принимается. А. Пуанкаре в своей статье «Интуиция и логика в математике» ( Пуанкаре. 1990.
С. 159) обсуждает другую концепцию интуиции, проводя связь между ней и мышлением геометрическими образами; он поделил математические умы на интуитивные и логические. Ещё одна концепция интуиции есть у Э. Гуссерля . Он ввёл понятие логического переживания ( Гуссерль. 2011. С. 11), которое базируется на созерцании.
Согласно Гуссерлю, возможны и логическая интуиция, и логическое созерцание. Таким образом, понятие интуиции Гуссерля отличается и от кантовского, и от понимания Пуанкаре. Многие авторы указывают, что современная математика уходит от опоры на интуицию и созерцание. Об этом писал, например, Х. Хан ( Хан. 1972 ). Также эта проблема обсуждается в книге Дж. Грея ( Грей.
2021 ). Философию математики Л. Витгенштейна также можно трактовать как отрицающую созерцание.
Источник: bigenc.ru