Пакет Maxima состоит из интерпретатора макроязыка, написанного на Lisp, и нескольких поколений пакетов расширений, написанных на макроязыке пакета или непосредственно на Lisp. Maxima позволяет решать достаточно широкий круг задач, относящихся к различным разделам математики.
2.1.1 Области математики, поддерживаемые в Maxima
- Операции с полиномами (манипуляция рациональными и степенными выражениями, вычисление корней и т.п.)
- Вычисления с элементарными функциями, в том числе с логарифмами, экспоненциальными функциями, тригонометрическими функциями
- Вычисления со специальными функциями, в т.ч. эллиптическими функциями и интегралами
- Вычисление пределов и производных
- Аналитическое вычисление определённых и неопределённых интегралов
- Решение интегральных уравнений
- Решение алгебраических уравнений и их систем
- Операции со степенными рядами и рядами Фурье
- Операции с матрицами и списками, большая библиотека функций для решения задач линейной алгебры
- Операции с тензорами
- Теория чисел, теория групп, абстрактная алгебра
Перечень дополнительных пакетов для Maxima, которые необходимо загружать перед использованием, существенно расширяющих её возможности и круг решаемых задач, приведён в приложении 1.
Изучение Maxima Часть 1
2.2 Достоинства программы
Основными преимуществами программы Maxima являются:
- возможность свободного использования (Maxima относится к классу свободных программ и распространяется на основе лицензии GNU);
- возможность функционирования под управлением различных ОС (в частности Linux и Windows™ );
- размер программы (дистрибутив занимает порядка 23 мегабайт, в установленном виде со всеми расширениями потребуется около 80 мегабайт);
- широкий класс решаемых задач;
- возможность работы как в консольной версии программы, так и с использованием одного из графических интерфейсов (xMaxima, wxMaxima или как плагин (plug-in) к редактору TexMacs);
- расширение wxMaxima (входящее в комплект поставки) предоставляет пользователю удобный и понятный интерфейс, избавляет от необходимости изучать особенности ввода команд для решения типовых задач;
- интерфейс программы на русском языке;
- наличие справки и инструкций по работе с программой (русскоязычной версии справки нет, но в сети Интернет присутствует большое количество статей с примерами использования Maxima);
2.3 Установка и запуск программы
Скачать последнюю версию программы можно с её сайта в сети Интернет: http://maxima.sourceforge.net/. Русская локализация сайта: http://maxima.sourceforge.net/ru/.
Система компьютерной алгебры Maxima присутствует в большинстве дистрибутивов, однако зачастую в списке дополнительных программ, которые можно скачать в Интернете в версии для данного дистрибутива. Примеры и расчёты в данной книге выполнены с использованием дистрибутива Alt Linux 4.1 Desktop 1 Некоторые примеры проверялись в более поздней версии Maxima 5.26.0. .
Жестокая правда от водителя о такси «МаксиМ»
2.4 Интерфейс wxMaxima
Для удобства работы сразу обратимся к графическому интерфейсу wxMaxima, т. к. он является наиболее дружественным для начинающих пользователей системы.
Достоинствами wxMaxima являются:
- возможность графического вывода формул (см. иллюстрации ниже)
- упрощённый ввод наиболее часто используемых функций (через диалоговые окна), а не набор команд, как в классической Maxima.
- разделение окна ввода данных и области вывода результатов (в классической Maxima эти области объединены, и ввод команд происходит в единой рабочей области с полученными результатами).
Рассмотрим рабочее окно программы. Сверху вниз располагаются: текстовое меню программы — доступ к основным функциям и настройкам программы. В текстовом меню wxMaxima находятся функции для решения большого количества типовых математических задач, разделённые по группам: уравнения, алгебра, анализ, упростить, графики, численные вычисления. Ввод команд через диалоговые окна упрощает работу с программой для новичков.
При использовании интерфейса wxMaxima, Вы можете выделить в окне вывода результатов необходимую формулу и вызвав контекстное меню правой кнопкой мыши скопировать любую формулу в текстовом виде, в формате или в виде графического изображения, для последующей вставки в какой-либо документ.
Также в контекстном меню, при выборе результата вычисления, Вам будет предложен ряд операций с выбранным выражением (например, упрощение, раскрытие скобок, интегрирование, дифференцирование и др.).
Источник: intuit.ru
Методичка работы с maxima
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И. А. БУНИНА» ЦЕНТР СВОБОДНОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ Т. Н. Губина, Е. В. Андропова РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СИСТЕМЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAXIMA Учебное пособие
Елец — 2009
| Предисловие . | 4 |
| Глава 1. Основы работы в системе компьютерной математики Maxima | |
| 1.1. О системе Maxima. | 7 |
| 1.2. Установка Maxima на персональный компьютер. | 7 |
| 1.3. Интерфейс основного окна Maxima. | 8 |
| 1.4. Работа с ячейками в Maxima. | 10 |
| 1.5. Работа со справочной системой Maxima. | 14 |
| 1.6. Функции и команды системы Maxima. | 16 |
| 1.7. Управление процессом вычислений в Maxima. | 22 |
| 1.8. Простейшие преобразования выражений. | 25 |
| 1.9. Решение алгебраических уравнений и их систем. | 28 |
| 1.10. Графические возможности. | 31 |
| Глава 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений | |
| 2.1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях. | 45 |
| 2.2. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференци- | |
| ального уравнения первого порядка. | 49 |
| 2.2.1. Метод Эйлера. | 50 |
| 2.2.2. Метод Эйлера-Коши. | 52 |
| 2.2.3. Метод Рунге-Кутта 4 порядка точности. | 53 |
| 2.3. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений | |
| методом конечных разностей. | 54 |
| 2.4. Метод сеток для решения дифференциальных уравнений в частных произ- | |
| водных. | 57 |
| Глава 3. Нахождение решений дифференциальных уравнений в системе Maxima | |
| 3.1. Встроенные функции для нахождения решений дифференциальных уравне- | |
| ний. | 63 |
| 3.2. Решение дифференциальных уравнений и их систем в символьном | |
| виде. | 66 |
| 3.3. Построение траекторий и поля направлений дифференциальных уравне- | |
| ний. | 75 |
| 3.4. Реализация численных методов решения задачи Коши для обыкновенных | |
| дифференциальных уравнений. | 85 |
| 3.4.1. Метод Эйлера. | 85 |
| 3.4.2. Метод Эйлера-Коши. | 88 |
| 3.4.3. Метод Рунге-Кутта. | 89 |
| 3.5. Реализация конечно-разностного метода решения краевой задачи для обык- | |
| новенных дифференциальных уравнений. | 91 |
| 3.6. Реализация метода сеток для дифференциальных уравнений в частных | |
| производных. | 93 |
| Задания для самостоятельного решения . | 95 |
| Литература . | 98 |
Предисловие Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Одной из основных особенностей дифференциальных уравнений является непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями.
Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или математическую модель, записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений.
Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др. Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее [1].
Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать качественные оценки измерений, происходящих в нем с течением времени.
На основе анализа дифференциальных уравнений были открыты электромагнитные волны. Можно сказать, что необходимость решать дифференциальные уравнения для нужд механики, то есть находить траектории движений, в свою очередь, явилась толчком для создания Ньютоном нового исчисления.
Через обыкновенные дифференциальные уравнения шли приложения нового исчисления к задачам геометрии и механики. Учитывая современной развитие компьютерной техники и интенсивное развитие нового направления — компьютерной математики — получили широкое распространение и спрос комплексы программ, называемые системами компьютерной математики. Компьютерная математика — новое направление в науке и образовании, возникшее на стыке фундаментальной математики, информационных и компьютерных технологий. Система компьютерной математики (СКМ) — это комплекс программ, который обеспечивает автоматизированную, технологически единую и замкнутую обработку задач математической направленности при задании условия на специально предусмотренном языке. Современные системы компьютерной математики представляют собой программы с многооконным графическим интерфейсом, развитой системой помощи, что облегчает их освоение и использование. Основными тенденциями развития СКМ являются рост математических возможностей, особенно в сфере аналитических и символьных вычислений, существенное расширение средств визуализации всех этапов вычислений, широкое применение 2D- и 3D-графики, интеграция различных систем друг с другом
и другими программными средствами, широкий доступ в Internet, организация совместной работы над образовательными и научными проектами в Internet, использование средств анимации и обработки изображений, средств мультимедиа и др. Существенным обстоятельством, которое до недавнего времени препятствовало широкому использованию СКМ в образовании, является дороговизна профессионального научного математического обеспечения.
Однако в последнее время многие фирмы, разрабатывающие и распространяющие такие программы, представляют (через Internet — http://www.softline.ru) для свободного использования предыдущие версии своих программ, широко используют систему скидок для учебных заведений, бесплатно распространяют демонстрационные или пробные версии программ [5]. Кроме того, появляются бесплатные аналоги систем компьютерной математики, например, Maxima, Scilab, Octave и др.
В настоящем учебном пособии рассматриваются возможности системы компьютерной математики Maxima для нахождения решений дифференциальных уравнений. Почему именно Maxima? Во-первых, система Maxima — это некоммерческий проект с открытым кодом. Maxima относится к классу программных продуктов, которые распространяются на основе лицензии GNU GPL (General Public License).
Во-вторых, Maxima — программа для решения математических задач как в численном, так и в символьном виде. Спектр ее возможностей очень широк: действия по преобразованию выражений, работа с частями выражений, решение задач линейной алгебры, математического анализа, комбинаторики, теории чисел, тензорного анализа, статистических задач, построение графиков функций на плоскости и в пространстве в различных системах координат и т.д.
В-третьих, в настоящее время у системы Maxima есть мощный, эффективный и «дружественный» кроссплатформенный графический интерфейс, который называется WxMaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net). Авторами книги уже на протяжении десяти лет изучаются системы компьютерной математики такие как Mathematica, Maple, MathCad.
Поэтому, зная возможности этих программных продуктов, в частности для нахождения решений дифференциальных уравнений, хотелось изучить вопрос, связанный с организацией вычислений в символьном виде в системах компьютерной математики, распространяемых свободно. Настоящее пособие рассказывает о возможностях организации процесса поиска решений дифференциальных уравнений на базе системы Maxima, содержит в себе общие сведения по организации работы в системе.
Пособие состоит из 3 глав. Первая глава знакомит читателей с графическим интерфейсом wxMaxima системы Maxima, особенностями работы в ней, синтаксисом языка системы. Начинается рассмотрение системы с того, где можно найти дистрибутив системы и как его установить. Во второй главе рассматриваются общие вопросы теории дифференциальных уравнений, численные методы их решения. Третья глава посвящена встроенным функциям системы
компьютерной математики Maxima для нахождения решений обыкновенных дифференциальных уравнений 1 и 2 порядка в символьном виде. Также в третьей главе показана реализация в системе Maxima численных методов решения дифференциальных уравнений. В конце пособия приведены задания для самостоятельного решения.
Мы надеемся, что пособием заинтересуется широкий круг пользователей и оно станет их помощником в освоении нового инструмента для решения математических задач. Т.Н. Губина, Е.В. Андропова Елец, июль 2009
Глава 1 ОСНОВЫ РАБОТЫ В СИСТЕМЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAXIMA
1.1. О системе Maxima В рамках проекта создания искусственного интеллекта в 1967 году в Массачусетском технологическом институте была инициирована разработка первой системы компьютерной алгебры Macsyma. Программа в течение многих лет использовалась и развивалась в университетах Северной Америки, где появилось множество вариантов системы.
Maxima является одним из таких вариантов, созданным профессором Вильямом Шелтером (William Schelter) в 1982 году. В 1998 году он получил официальное разрешение Министерства энергетики США на выпуск Maxima под лицензией GPL. А начиная с 2001 года Maxima развивается как свободный международный проект, базирующийся на SourceForge [2].
В настоящее время Maxima — это система компьютерной математики, которая предназначена для выполнения математических расчетов (как в символьном, так и в численном виде) таких как: – упрощение выражений; – графическая визуализация вычислений; – решение уравнений и их систем; – решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем; – решение задач линейной алгебры; – решение задач дифференциального и интегрального исчисления; – решение задач теории чисел и комбинаторных уравнений и др. В системе имеется большое количество встроенных команд и функций, а также возможность создавать новые функции пользователя.
Система имеет свой собственный язык. Она также имеет встроенный язык программирования высокого уровня, что говорит о возможности решения новых задач и возможности создания отдельных модулей и подключения их к системе для решения определенного круга задач. 1.2.
Установка Maxima на персональный компьютер Свободно распространяемую версию дистрибутива Maxima, документацию на английском языке, типы и виды интерфейсов системы можно посмотреть и скачать с сайта программы http://maxima.sourceforge.net . На период написания пособия последняя версия дистрибутива — Maxima 5.18.1. Сама по себе Maxima — консольная программа и все математические формулы «отрисовывает» обычными текстовыми символами. Система является многоплатформенной, имеет небольшой размер дистрибутива ( ≈ 21,5 Мб), легко устанавливается, имеет несколько графических русифицированных интерфейсов: xMaxima, wxMaxima, TexMacs. Наиболее дружественным, простым и удобным в работе графическим интерфейсом в настоящее время является интерфейс wxMaximа. Поэтому в дальнейшем будем использовать именно этот интерфейс.
Т.Н. Губина, Е.В. Андропова
Установка Maxima под управлением Windows
Полученный после скачивания файл, например maxima-5.18.1.exe (размер файла около 21,5 мегабайт), является исполняемым. Для начала установки программы достаточно нажать на него два раза левой кнопкой мыши. Сразу появится окно выбора локализации (выбираем русский язык).
В следующем окне выбираем «Далее», внимательно читаем лицензионное соглашение, выбираем «я принимаю условия соглашения» и снова выбираем «Далее» (два раза). В появившемся окне выбираем путь установки программы (можно оставить его без изменения). Переходим к выбору устанавливаемых компонент. Из всего перечисленного для нас «лишними» являются Пакеты поддержки языков Maxima.
При установке желательно установить и графический интерфейс xMaxima, поскольку на нем базируется интерфейс wxMaxima и при решении некоторых задач он необходим, например, при выполнении графических построений. В следующих окнах предлагается выбрать место размещения ярлыка для запуска программы (в меню «Пуск», на рабочий стол и т.д.). Завершающим этапом будет окно с предложением начать установку. По окончании установки выбираем «Далее» и «Завершить». Таким образом, установка программы закончена.
Установка Maxima под управлением Linux
Maxima входит в состав многих дистрибутивов Linux, например, таких как AltLinux, Mandriva, Ubuntu, Fedora и др. В некоторых случаях может понадобиться доустановка с репозитория дистрибутива с помощью систем yum или synaptic. Для установки в других дистрибутивах Linux необходимо использовать подходящий пакет системы Maxima, который можно скачать с сайта http://maxima.sourceforge.net.
Теперь можно приступать к работе с системой. Учебное пособие ориентировано на работу с системой Maxima, установленную под управлением Linux. Заметим, что все рассматриваемые команды активны и в системе, установленной под управлением Windows. Для начала познакомимся с интерфейсом основного окна программы. 1.3.
Интерфейс основного окна Maxima После запуска системы Maxima 5.18.1 с графическим интерфейсом wxMaximа появляется рабочее окно программы (Рис. 1).
Глава 1 Основы работы в системе компьютерной математики Maxima Рис. 1. Вид рабочего окна системы Maxima Структура окна, как видно из рисунка, имеет стандартный вид: – строка заголовка, в которой располагается название программы и информация о том, сохранен ли рабочий документ (если документ сохранен, то прописывается его имя); – панель меню программы – доступ к основным функциям и настройкам программы. В ней находятся функции для решения большого количества типовых математических задач, разделенные по группам: уравнения, алгебра, анализ, упростить, графики, численные вычисле- ния. Заметим, что ввод команд через диалоговые окна упрощает работу с программой для начинающих пользователей; – панель инструментов — на ней находятся кнопки для создания нового документа, быстрого сохранения документа, вызова окна справки, создания ячеек ввода, прерывания вычислений, кнопки для работы с буфером обмена и др.; – рабочая область — непосредственно сам документ, в котором формируются ячейки ввода и выводятся результаты выполненных команд; – полосы прокрутки; – панель с кнопками — набор кнопок для быстрого вызова некоторых команд: упростить, решить уравнение или систему, построить график и др.; – строка состояния.
Т.Н. Губина, Е.В. Андропова В системе Maxima команда — это любая комбинация математических выражений и встроенных функций. Каждая команда завершается символом «;», причем в случае его отсутствия система сама добавит этот символ. 1.4.
Работа с ячейками в Maxima После того, как система загрузилась, можно приступать к вычислениям. Для этого следует добавить так называемую ячейку ввода, в которую вводится команда системе выполнить какое-либо действие. Систему можно использовать в качестве мощного калькулятора для нахождения значений числовых выражений.
Например, для того, чтобы найти значение произведения 120 и 1243, надо: – на панели инструментов нажать кнопку Insert input cell (или нажать на клавиатуре клавишу Enter). В результате в рабочей области будет сформирована ячейка ввода (Рис.2). Рис.2. Формирование новой ячейки ввода – далее с клавиатуры вводим команду: 120*1243 и нажимаем комбинацию клавиш Ctrl+Enter (Рис.3). Рис.3.
Выполнение вычислений в системе Maxima Таким образом, в документе были сформированы две строки: (%i1) — ячейка ввода и для нее (%о1) — ячейка вывода. Каждая ячейка имеет свою метку — заключенное в скобки имя ячейки. Ячейки, в которых размещаются входные данные (формулы, команды, выражения) называют ячейками ввода . Они обозначаются %iChislo, где Chislo — номер ячейки ввода (i — сокращенно от английского слова input — ввод). Ячейки, в которых размеща-
Источник: studfile.net
Maxima — руководство на русском языке
Вольный перевод (не оконч.): Сологаев Валерий Иванович, 26 апреля 2009 г.
http://sologaev2010.narod.ru (на примере maxima и w xmaxima)
Maxima — система компьютерной алгебры, осуществленная на языке Lisp.
Maxima происходит из системы M acsyma, развивавшейся в MIT в 1968 — 1982 годах
как часть Проект а МАКИНТОША. MIT передал коп ию исходного текста Macsyma
Министерству энергетики в 1982; та версия теперь известна как DOE Macsyma. Копия DOE
Macsyma поддерживалась Уильямом Ф. Шелтером, профессором Университета Техаса с
1982 года до его смерти в 2001. В 1998 Шелтер пол учил разрешение от Министерства
энергетики, чтобы открыть исходные тексты DOE Macs yma согласно Лицензии GNU и в
2000 о н начал проект свободной Maxima в Sou rceForge, чтобы поддержать и раз вить DOE
Macsyma, теперь названный Maxima.
1. Введение в Maxima
Стартуют Maxima командами » maxima » (в консоли) или » wxmaxima » (графическа я
оболочка с виджетами). В начале Maxima п оказывает ин формацию о версии и приглашение
командной строки. В конце каждой команды Maxima надо ставить точку с запятой » ; «.
Завершают сессию Ma xima командой » quit(); «. Пример работы Maxima показан в
графической среде wxMaxima операционной системы (ОС) Linux Debian 5.0:
Источник: www.studmed.ru