Hask что это за программа

Содержание

В предыдущей статье я рассказал о понятиях категории и функтора в контексте категории Hask, состоящей из типов данных и функций языка Haskell. Теперь я хочу рассказать о другом примере категории, построенном из уже известных нам понятий, а так же о весьма важном понятии моноида.

Обозначения

Объекты: α, β, γ, δ ∷ ∗
Функторы: θ, φ, ψ, ω ∷ ∗ → ∗
Морфизмы: f, g, h ∷ α → β

Ещё одно замечание, касательно терминологии: как вы уже заметили, то, что я в прошлый раз называл словом “кайнд” (kind), я теперь называю словом “сорт” – это считается общепринятым переводом.

Категория с объектом Hask

Давайте рассмотрим категорию, в которой будет только один объект – сама категория Hask. Что же будет морфизмами в такой категории? Это должны быть какие-то отображения Hask → Hask, и мы уже знаем такой тип отображений – это эндофункторы категории Hask, то есть типы сорта ∗ → ∗ , воплощения класса Functor . Теперь нужно продумать как устроены единичный морфизм и композиция в этой категории, так чтобы они удовлетворяли аксиомам.

HASK Hair Tip: How To Use HASK Hair Oils

Тождественный функтор

В качестве единичного морфизма естественно выбрать тождественный функтор, то есть такой функтор, который ничего не меняет. В Haskell для него нет специального обозначения – раз он ничего не делает, зачем его как-то обозначать? Я введу “фиктивный” конструктор типа, с помощью которого можно будет “визуализировать” действие этого функтора на объектах категории Hask:

type Id α = α

В Haskell нельзя объявлять воплощения для синонимов типов, поэтому Id нельзя ввести полностью аналогично другим функторам, но если бы можно было, мы бы написали так:

— warning: псевдо-код instance Functor Id where fmap ∷ (α → β) → (Id α → Id β) fmap f = f

То есть поведение этого функтора на морфизмах определяется тривиально: fmap ≡ id ∷ (α → β) → (α → β) – тут конструктора Id нет, но это та же сигнатура. Итак, два отображения функтора выглядят так:

α ∷ ∗ ↦ Id α = α ∷ ∗ f ∷ α → β ↦ id f = f ∷ α → β

Хотя этот функтор и кажется бесполезным, он нам необходим для полноты определения категории. Кроме того, он даёт возможность воспринимать любой тип α ∷ ∗ как Id α ∷ ∗ , то есть под действием тождественного функтора – это ещё пригодится, когда мы встретимся с монадами.

Композиция функторов

В рассматриваемой нами категории теперь не хватает только композиции морфизмов (эндофункторов). Поскольку мы рассматриваем морфизмы на одном объекте, они все имеют одинаковую область и кообласть, так что мы априори знаем, что композиция применима к любым двум морфизмам.

Начнём с примера. Рассмотрим два известных нам функтора: Maybe и [] . Вот как они действуют на объектах:

α ∷ ∗ ↦ Maybe α ∷ ∗ β ∷ ∗ ↦ [β] ∷ ∗

Композиция означает, что мы сначала применяем одно отображение, а к тому что получилось – второе:
α ↦ Maybe α ↦ [Maybe α]
Или в другом порядке:
α ↦ [α] ↦ Maybe [α]

Читайте также:

Getscreen что за программа

Для того, чтобы применять композицию к конструкторам типов, ничего особенного не нужно – просто пишем сначала один, потом другой. Введём для этой операции обозначение, похожее на обычную композицию (конструктор типа в виде оператора должен начинаться с двоеточия, а второе я ставлю просто для симметрии):

РАЗОБЛАЧЕНИЕ МАСЕЛ ДЛЯ КОНЧИКОВ ВОЛОС / MAROCCAN OIL | MARRAKESH OIL | HASK

type (φ . ψ) α = φ (ψ α)

Теперь посмотрим, что с отображением морфизмов. Поскольку у любого функтора это отображение имеет имя fmap , можно сказать в общем, что нужно применить к морфизму сначала один fmap , а потом второй, то есть отображение композиции функторов будет таким: λf → fmap (fmap f) или просто fmap . fmap . Нужно понимать, что эти два fmap – разные ипостаси одной полиморфной функции – у каждой свой тип и соответствующее ему определение. Продемонстрируем это наглядно:

instance Functor Maybe where — fmap ∷ (α → β) → (Maybe α → Maybe β) fmap f = f’ where f’ Nothing = Nothing f’ (Just x) = Just (f x) instance Functor [] where — fmap ∷ (α → β) → ([α] → [β]) fmap g = g’ where g’ [] = [] g’ (x:xs) = (g x) : (g’ xs)

Теперь рассмотрим композицию на примере: [] . Maybe
(fmap . fmap) ∷ (α → β) → ([Maybe α] → [Maybe β]) (fmap . fmap) even [Just 2, Nothing, Just 3] ≡ [Just True, Nothing, Just False]

И в другом порядке: Maybe . []
(fmap . fmap) ∷ (α → β) → (Maybe [α] → Maybe [β]) (fmap . fmap) even Just [1, 2, 3] ≡ Just [False, True, False] (fmap . fmap) even Nothing ≡ Nothing

Если бы мы хотели сделать композицию функторов воплощением класса Functor , то сделали бы это примерно так, как делают авторы пакета TypeCompose. Я впрочем не вижу в этом особого смысла, поскольку приходится оборачивать значения в дополнительный конструктор данных. Итак, если говорить о функторах, как о парах отображений (на объектах и морфизмах), то для двух функторов (φ, fmap φ ) и (ψ, fmap ψ ) , их композицией будет такая пара отображений: (φ . ψ, fmap φ . fmap ψ ) , то есть

α ∷ ∗ ↦ (φ . ψ) α ∷ ∗
f ∷ α → β ↦ (fmap φ . fmap ψ ) f ∷ (φ . ψ) α → (φ . ψ) β

Формально, нужно проверить, что эта пара отображений сама является эндофунктором категории Hask, то есть сохраняет в ней единичный морфизм и композицию морфизмов, но так как один fmap сохраняет, то и два последовательно применённых fmap будут сохранять:

(fmap . fmap) id ≡ fmap (fmap id) ≡ fmap id ≡ id (fmap . fmap) (f . g) ≡ ≡ fmap (fmap (f . g)) ≡ ≡ fmap ((fmap f) . (fmap g)) ≡ ≡ (fmap (fmap f)) . (fmap (fmap g)) ≡ ≡ ((fmap . fmap) f) . ((fmap . fmap) g)

Что и требовалось доказать. Композиция функторов, так же как и тождественный функтор, естественная и простая конструкция, но тем не менее полезная, и понадобится она нам снова, когда мы дойдём до монад.

((φ . ψ) . ω) α ≡ (φ . ψ) (ω α) ≡ ≡ φ (ψ (ω α)) ≡ ≡ φ ((ψ . ω) α) ≡ (φ . (ψ . ω)) α
(φ . Id) α ≡ φ (Id α) ≡ φ α ≡ Id (φ α) ≡ (Id . φ) α fmap . id ≡ id ≡ id . fmap

Структура моноида

На самом деле, наше знакомство с моноидами уже состоялось, так как описанная выше категория является моноидом. Давайте отфильтруем избыточную информацию о ней и оставим только определение:

Моноид – это категория с одним объектом

Вот так просто. Из этой формулировки сразу становится понятно, почему у него такое название: “моно” значит “один”.

Приведу ещё один пример категорного моноида. Рассмотрим подкатегорию категории Hask, с одним объектом Int . В качестве морфизмов возьмём функции следующего вида λn → n + k или коротко (+k) для каждого k ∷ Int , то есть (+(-1)) , (+7) , (+100500) и т.д. Вместе с обычной композицией и (+0) ≡ id получается категория. Можно представить себе все значения типа Int на числовой прямой и действие на них этих морфизмов следующим образом:

Int: … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 … (+(-2)) ∷ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ Int: … -3 -2 -1 0 1 2 3 … (+3) ∷ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Int: … 0 1 2 3 4 5 6 …

То есть визуально это сдвиги начала координат ( 0 ) на заданное число позиций, хотя в целом числовая прямая остаётся той же. Что нам даёт структура категории: во-первых, есть единичный морфизм, который оставляет всё на месте, во-вторых, есть композиция морфизмов, она ассоциативна и id нейтрален относительно неё. Если m и n – два целых числа, то композиция устроена так:

(+m) . (+n) ≡ (+(m+n))

То есть на самом деле, она действует как сумма. Можно думать о каждом морфизме (+m) как просто о числе m (то, куда мы сдвинули начало координат: (+m) 0 ≡ m ), тогда “композиция” m и n – действительно их сумма: (m+n) , а единичный морфизм – просто ноль.

Этот ракурс соответствует теоретико-множественному определению моноида:

Моноид – это тройка, состоящая из множества, ассоциативной бинарной операции на этом множестве и элемента, нейтрального относительно этой операции

В данном примере это такая тройка: (Int, (+), 0) .

(l + m) + n ≡ l + (m + n) m + 0 ≡ m ≡ 0 + m

В этом определении просто переформулируются аксиомы категории: множество – это множество морфизмов, ассоциативная бинарная операция – это композиция морфизмов, а нейтральный элемент – это единичный морфизм. Важно понимать, что с какой бы стороны мы ни смотрели на структуру моноида, главное – это ассоциативность бинарной операции и наличие нейтрального элемента.

Посмотрим теперь на класс Monoid в Haskell:

class Monoid μ where mappend ∷ μ → μ → μ mempty ∷ μ

где μ – рассматриваемое множество, mappend – операция, которая должна быть ассоциативна, mempty – элемент, который должен быть нейтрален относительно mappend . Для тройки (Int, (+), 0) воплощение этого класса будет непосредственным:

instance Monoid Int where mappend = (+) mempty = 0

Аналогично для любой другой тройки, например (Float, (*), 1) или ([α], (++), []) или (Bool, (||), False) , где || – логическое “или”. Но мы можем воплотить и категорное определение, ещё раз продемонстрировав их связь:

type Mor α = α → α instance Monoid (Mor α) where mappend = (.) mempty = id

В данном случае тип α ∷ ∗ – объект категории Hask, функции типа Mor α – морфизмы на этом объекте. Вместе с обычной композицией и единичным морфизмом id они образуют категорию с одним объектом, то есть моноид.

В модуле Data.Monoid есть похожее воплощение для типа Endo . Кстати говоря, почти все воплощения в этом модуле делаются для типов “в обёртках”. Это делается потому, что на одном и том же множестве моноидальную структуру можно ввести разными способами. Например для типа Int , кроме рассмотренной структуры (Int, (+), 0) (ср. Sum ) можно также рассмотреть (Int, (*), 1) (ср.

Заключение

Читателю может показаться, что я перевернул всё с ног на голову с этими разными определениями моноида, но я просто хотел показать, что важна сама структура, а не то, на чём она построена: на элементах множества, морфизмах категории или на чём-либо ещё.

На самом деле, во всей этой теории речь идёт о разных видах стрелок (отображений, преобразований). Можно отождествить объекты с единичными морфизмами и не говорить больше об объектах в дальнейших построениях (нужна только индексация единичных морфизмов, как обозначение, а область и кообласть морфизмов нужны только для корректной конструкции композиции).

hask

hask это значит делать надежду на помощь человеку в жизни

Последняя версия

18 дек. 2019 г.
Разработчик
Google Play ID
Количество установок

App APKs

hask APP

Are you ready to offer your life to your family if the rebels arrive at ur home? This app gave life to help the poor to live a decent and beautiful life

Приложения · Hot

TikTok TikTok Pte. Ltd. · Социальные

Google Play Маркет Google LLC · Инструменты

自由浏览 Greatfire.org · Связь

VK VK.com · Социальные

Spaces — Зона обмена Artem Kalash · Социальные