Одним из признаков ромба является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. В виде теоремы данный признак формулируется так:
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны друг другу, то такой параллелограмм является ромбом.
Доказательство этой теоремы сводится к тому, чтобы доказать, что у такого параллелограмма стороны равны. Именно равенство сторон параллелограмма позволяет заключить, что это ромб.
Таким образом, нам дан параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны. Требуется доказать, что у такого параллелограмма все стороны равны.
Пусть дан параллелограмм ABCD, его диагонали AC и BD пересекаются в точке E и перпендикулярны друг другу.
Одним из признаков параллелограмма является то, что его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Поскольку нам дан параллелограмм, то AE = EC и BE = ED.
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это … | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА
Рассмотрим треугольники AEB, BEC, CED, DEA. Все они прямоугольные, так как все углы при вершине E прямые, что дано по условию (диагонали перпендикулярны друг другу). У всех этих треугольников катеты также равны, так как являются половинками диагоналей. Таким образом, данные треугольники равны друг другу по двум сторонам и углу между ними или по двум катетам.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов. Стороне AB треугольника ABE соответствуют стороны BC, CD, DA остальных треугольников. Значит, AB = BC = CD = DA.
Таким образом было доказано, что если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то его стороны равны, а значит, он является ромбом.
Источник: scienceland.info
Ромб и квадрат
Частным видом параллелограмма является ромб.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны
ABCD — ромб.
Особое свойство ромба
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам
Дано: ABCD — ромб
Доказать: ACBD, ADO = CDO
Доказательство:
AD = DC (по определению ромба), значит, ADC — равнобедренный.
AO = OC (по свойству диагоналей параллелограмма), DO — медиана ADC , а в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой, ACBD, ADO = CDO, что и требовалось доказать.
Геометрия Признак ромба Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм ромб
Теорема
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб
Дано: ABCD — параллелограмм, ACBD
Доказать: ABCD — ромб
Доказательство:
Рассмотрим AOВ и COВ:
Т.к. ACBD, тоAOВ = COВ = 90 0 ;
AO = OC (по свойству диагоналей параллелограмма), ОВ — общий катет, AOВ = COВ (по двум катетам). В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, ВС = ВА.
В параллелограмме противоположные стороны равны, AD = BC, AB = DC
Итак: ABCD — параллелограмм (по условию) AD = BC = AB = DC (по доказанному). ABCD — ромб, что и требовалось доказать.
Теорема
Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм — ромб
BD, 
ADO = 
DO — медиана 
