Презентация по предмету «Математика» на тему: «Общая характеристика предметного содержания школьного курса математики.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:
1 Общая характеристика предметного содержания школьного курса математики
2 Содержательно-методические линии школьного курса математики числовая; тождественных преобразований; уравнений, неравенств и их систем; функциональная; геометрических фигур и их свойств; измерения величин; векторно-координатная; начала математического анализа; вероятностно-стохастическая.
4 Линия числа в школьном курсе математики ТМОМ Методика изучения основных разделов предметного содержания школьного курса математики
5 План 1.Числовая линия школьного курса математики как система. 2.Методические особенности преподавания отдельных тем числовой линии.
6 Система – совокупность элементов, находящихся в отношениях и связях между собой и образующих определенную целостность. Структура – строение и внутренняя форма организации системы, выступающая как единство устойчивых взаимосвязей между ее элементами.
тест на ПЯТИКЛАШКУ нестандартная задача по математике
7 Числовая линия горизонтальные отношения: округление; действия; их законы и свойства. вертикальные необходимость рассмотрения; связь между действиями. Элементы: числа, организованные в уровни по отдельным числовым множествам Внутренние связи Внешние связи – связи с другими линиями
8 Схемы развития понятия числа Историческая: N N 0 Q + Q R Логическая: N N 0 Z Q R
9 Схема изучения числовой линии в МПИ-проекте N 0 дес. дроби Z отр. дес. дроби Q + Q — Q Q R R
10 Системно-структурный анализ 1. Общее понятия числа в большинстве технологий не рассматривается. Под натуральным числом понимается некий символ, характеризующий класс эквивалентных между собой множеств, между элементами которых можно установить взаимнооднозначное соответствие, т.е. символ, обозначающий мощность не пустых конечных множеств.
11 Системно-структурный анализ 2. Числа вводятся для разных нужд: натуральные — через необходимость пересчитывать предметы; отрицательные — для обозначения величины или ее измерения; дробные — через понятие доли; иррациональные — через разрешимость уравнений; действительные – через установление соответствия Таким образом, общей идеи нет, вертикальные связи отсутствуют
12 Системно-структурный анализ 3. Базовым действием, которое вводится без определения, является сложение натуральных чисел Остальные операции для множеств Z и Q определяются, но вводятся по-разному, а для множеств Q R и R не вводятся и не рассматриваются. Вопрос о выполнимости операций не ставится, т.к. нет потребности. Таким образом, целостность системы нарушается
13 Системно-структурный анализ 4. При изучении свойств операций целостность сохраняется только для сложения и умножения. Свойства вычитания и деления рассматриваются, как правило, только для натуральных чисел (исключение в МПИ-проекте) и далее к ним не обращаются. Таким образом, целостность нарушается.
Рабочие программы по математике
14 Общий вывод С точки зрения системности в разворачивании числовой линии имеется ряд существенных недостатков
15 Возможные варианты для общей идеи разворачивания числовой линии разрешимость уравнений (вертикальная связь); выполнимость действий (горизонтальная связь).
16 Принцип общности решения типовых задач Если на одном из множеств типовая задача решается каким-либо действием и ее данные могут выражаться числами, принадлежащими другому множеству, то и на этом другом множестве задача должна решаться тем же действием.
17 Принцип перманентности и минимальности для расширения числового множества Если множество А расширяется до множества В, то: А должно быть подмножеством В; все операции, определенные в А, должны быть определены и в В, причем при их выполнении для элементов множества А должны получаться прежние результаты; все свойства операций, имевшие место в А, должны выполняться и в В; в множестве В выполняется какая-либо операция, не выполняющаяся в А; множество В – минимальное, удовлетворяющее предыдущим свойствам.
18 Способы построения множества В Множество В строится независимо от А, а затем в нем выделяется подмножество, изоморфное А, и отождествляется с А. Множество А дополняется новыми элементами, в результате чего получается новое множество В.
19 Некоторые методические особенности изучения натуральных чисел Изучение начинается в начальной школе, в 5 классе осуществляется систематизация знаний. Систематизация идет с опорой на позиционное представление числа. С целью выделения существенных признаков позиционных систем счисления целесообразно рассмотреть недесятичные и непозиционные системы. Усиливается роль теоретических обоснований, что проявляется в сочетании методов индукции и дедукции.
20 Пример сочетания методов индукции и дедукции Сложение многозначных чисел «столбиком» обосновывается следующим образом: Предлагается конкретный пример: Каждое слагаемое раскладывается по разрядам: ( ) + ( ) Применяются переместительный и сочетательный законы сложения: ( ) + ( ) + (5 +3) Выполняются действия = 968
21 Пример сочетания методов индукции и дедукции Далее делается вывод, что сумму многозначных чисел можно получить складывая их поразрядно, а сложение «столбиком» есть краткая запись такого способа сложения:
22 Пример сочетания методов индукции и дедукции Таким образом, рассуждения проводятся на основе примера, поэтому они индуктивны; ссылка на законы сложения внутри этого примера есть проявления дедуктивности.
23 Некоторые методические особенности изучения дробных чисел Первое знакомство с дробными числами происходит в начальной школе, но систематическое изучение начинается в 5 классе. Дробные числа вводятся через понятие «доли». Важное значение имеет вопрос мотивации для введения дробных чисел. Существуют три приема для мотивации: –измерение величины; –разрешимость уравнений; –выполнимость действий.
24 Некоторые методические особенности изучения дробных чисел Существует методическая проблема порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей: какие из них изучать первыми? Имеются три подхода к решению этой проблемы, которые с методической точки зрения равноправны.
25 Подходы к проблеме порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей 1 подход Изучаются сначала обыкновенные дроби, а затем десятичные (Петерсон Л.Г.) Обоснование: десятичные дроби не являются числовым множеством, а представляют собой форму записи дробей с частным видом знаменателей.
26 Подходы к проблеме порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей 2 подход Изучаются сначала десятичные дроби, затем обыкновенные (Гельфман Э.Г.) Обоснование: в десятичных дробях сохраняется идея позиционности, что дает возможность переноса известных способов действий с натуральными числами на новые объекты, и они более удобны в расчетах.
27 Подходы к проблеме порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей 3 подход Изучение обыкновенных и десятичных дробей чередуется (Виленкин Н.Я.) Обоснование: обыкновенные дроби более универсальны, но десятичная форма дробей более проста для изучения.
28 Некоторые методические особенности изучения дробных чисел Особое значение имеет различение сущности понятий «дробь», «дробное число», «смешанное число». Дробь – форма записи как целых, так и не целых чисел, причем любое число можно записать с помощью различных дробей. Смешанное число – форма записи дробных чисел, модуль которых больше единицы.
29 Некоторые методические особенности изучения отрицательных чисел Для сохранения системности в изложении содержания числовой линии необходимо опираться на все три приема для мотивации введения новых чисел, но приоритетным направлением следует рассматривать идею выполнимости действий.
30 Некоторые методические особенности изучения отрицательных чисел Имеется методическая сложность в обосновании целесообразности введения правил действий с отрицательными числами, т.к. сложно подобрать сюжетную фабулу задачи для использования принципа общности решения типовых задач. Такой задачей может быть задача об изменении температуры воздуха или уровня воды в реке. Особенностью изучения правил действий является и то, что для каждого арифметического действия имеется несколько правил их выполнения.
31 Некоторые методические особенности изучения отрицательных чисел Выработка правильных алгоритмов действий – важный момент методики Следует обратить внимание учащихся, что результат действия – число, характеризуемое знаком и модулем, поэтому при выполнении действий 1)сначала находим знак искомого числа, 2)потом модуль искомого числа. Именно в таком порядке!
32 Некоторые методические особенности изучения иррациональных чисел Для практических вычислений множества рациональных чисел достаточно. Необходимость изучения действительных чисел в большей мере вызывается потребностями самой математики (например, построение графиков сплошной линией). Главная трудность – ни одна теория действительного числа не может быть изложена в школьном курсе математики даже в старших классах из-за высокой степени абстрактности, а потребности математики требуют более раннего введения понятия иррациональных чисел.
33 Некоторые методические особенности изучения иррациональных чисел Основой для введения иррациональных чисел служит одна из задач: –задача об измерении отрезка, –задача об извлечении корня. Необходимо отметить, что существуют иррациональные числа, которые нельзя получить извлечением корня, поэтому иррациональное число определяется как бесконечная непериодическая десятичная дробь.
34 Некоторые методические особенности изучения иррациональных чисел Большинство вопросов, связанных с изучением иррациональных чисел, рассматривается на уровне наглядных представлений. Разъяснить арифметический смысл даже основных операций очень непросто, поэтому им часто дается геометрическая, наглядная интерпретация. Например, для суммы через построение отрезка, равного сумме двух других отрезков, а для умножения – через вычисление площади прямоугольника.
35 Изучение комплексных чисел Изучение комплексных чисел не входит в программы базовых курсов школьной математики, но включено в программы профильных физико-математических классов.
Источник: www.myshared.ru
Содержательно-методические линии
курса математики «Учусь учиться» для 5−6 классов
авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон
Числовая линия
Числовая линия строится на основе счета предметов (элементов множества) и измерения величин. Понятия множества и величины подводят учащихся с разных сторон к понятию числа: с одной стороны, натурального числа, а с другой – положительного действительного числа. В этом находит свое отражение двойственная природа числа, а в более глубоком аспекте – двойственная природа бесконечных систем, с которыми имеет дело математика: дискретной, счетной бесконечностью и континуальной бесконечностью. Измерение величин связывает натуральные числа с действительными, поэтому свое дальнейшее развитие при переходе из начальной школы в среднюю числовая линия получает как бесконечно уточняемый процесс измерения величин.
В начальной школе в рамках числовой линии учащиеся осваивают смысл понятия натурального числа и нуля, принципы записи и сравнения целых неотрицательных чисел, смысл и свойства арифметических действий, взаимосвязи между ними, приемы устных и письменных вычислений, прикидки, оценки и проверки результатов арифметических действий, зависимости между их компонентами и результатами, способы нахождения неизвестных компонентов. С другой стороны, они знакомятся с различными величинами и общим принципом их измерения, учатся выполнять действия со значениями величин (именованными числами).
В 5 классе числовая линия продолжается изучением обыкновенных и десятичных дробей, а в 6 – рациональных чисел. В завершение, знания детей о числах систематизируются, дети знакомятся с историей развития понятия о числе и с методом расширения числовых множеств. Ставится проблема недостаточности изученных чисел для измерения величин (например, длины диагонали квадрата со стороной 1).
Числовая линия, имея свои задачи и специфику, тем не менее, тесно переплетается со всеми другими содержательно-методическими линиями курса. Так, при построении алгоритмов действий над числами и исследовании их свойств используются разнообразные графические модели. Активно включаются в учебный процесс как объект исследования и как средство обучения такие понятия, как множество (на первых порах – «мешок», группа предметов), часть и целое, операция и алгоритм, которые становятся затем основой формирования у детей прочных вычислительных навыков и обучения их решению уравнений и текстовых задач.
Алгебраическая линия
Развитие алгебраической линии неразрывно связано с числовой, во многом дополняет ее и обеспечивает лучшее понимание и усвоение изучаемого материала, а также повышает уровень обобщенности усваиваемых детьми знаний. Учащиеся, начиная с 1 класса, записывают выражения и свойства чисел с помощью буквенной символики, что помогает им структурировать изучаемый материал, выявлять сходство и различие, аналогии объектов. Например, при решении уравнений из того, что А + Х = В следует, что Х = В – А (для множеств), а из того, что a + x = b следует, что x = b – a (для величин). И в том, и в другом случаях решение обосновывается тем, что мы ищем неизвестную часть, поэтому из целого вычитаем другую часть.
Как правило, запись общих свойств операций над множествами и величинами обгоняет соответствующие навыки учащихся в выполнении аналогичных операций над числами. Это позволяет создать для каждой из таких операций общую рамку, в которую потом, по мере введения новых классов чисел, укладываются операции над числами и свойства этих операций. Тем самым дается теоретически обобщенный способ ориентации в учениях о множествах, величинах и числах, позволяющий потом решать обширные классы конкретных задач.
В 5–6 классах учащиеся поднимаются на следующую ступень – учатся использовать буквенные обозначения для доказательства общих утверждений. Это позволяет им проводить логическое доказательство свойств и признаков делимости, свойств пропорций и др. Таким образом, обеспечивается качественная подготовка детей к изучению программного материала по алгебре 7–9 классов.
Геометрическая линия
При изучении геометрической линии в начальной школе учащиеся знакомятся с такими геометрическими фигурами, как квадрат, прямоугольник, треугольник, круг, простейшими пространственными образами: куб, параллелепипед, цилиндр, пирамида, шар, конус, а также с более абстрактными понятиями точки, прямой и кривой линии, луча, отрезка и ломаной линии, угла и многоугольника, области и границы, окружности и круга, и др., которые используются для решения разнообразных практических задач. Например, схемы-отрезки служат графическими моделями текстовых задач, окружности используются для построения круговых диаграмм и т.д.
Разрезание фигур на части и составление новых фигур из полученных частей, черчение фигур, склеивание моделей по их разверткам развивает пространственные представления детей, воображение, речь, комбинаторные способности и одновременно формирует практические навыки работы с основными измерительными и чертежными инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир).
Запас геометрических представлений и навыков, который накоплен у учащихся к 3–4 классам, позволяет поставить перед ними новую, значительно более глубокую и увлекательную цель: исследование и открытие свойств геометрических фигур. С помощью построений и измерений они выявляют различные геометрические закономерности (например, свойство углов треугольника, свойства смежных и вертикальных углов, вписанного и центрального углов и др.), которые они формулируют как предположение, гипотезу.
Данная работа продолжается и в 5-6 классах: учащиеся исследуют и открывают для себя различные свойства треугольника и прямоугольника, параллелограмма и трапеции, окружности и круга и др. При этом рассматриваются не только плоские, но и пространственные фигуры – шар, сфера, цилиндр, конус, пирамида, многогранники. Это помогает им, с одной стороны, обнаружить красоту геометрических фактов, а с другой — осознать необходимость их логического обоснования, доказательства, что готовит их к изучению систематического курса геометрии в 7–9 классах.
При работе с геометрическими понятиями в 5–6 классах учителю может оказать помощь методическое пособие Е.С. Смирновой «Геометрическая линия в учебниках математики для 5–6 классов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон».
Функциональная линия
Функциональная линия строится вокруг понятия функциональной зависимости величин, которая является промежуточной моделью между реальной действительностью и общим понятием функции, и служит, таким образом, источником возникновения в старших классах понятия функций. Учащиеся наблюдают за взаимосвязанным изменением различных величин, знакомятся с понятием переменной величины, и к 4 классу приобретают значительный опыт фиксирования зависимостей между величинами с помощью таблиц, диаграмм, графиков (движения) и простейших формул. Так, учащиеся строят и используют для решения практических задач формулы: площади прямоугольника S = a • b, объема прямоугольного параллелепипеда V = a • b • c, пути s = = v • t, стоимости С = а • х, работы А = w • t и др. При исследовании различных зависимостей дети выявляют и фиксируют на математическом языке их общие свойства, что создает основу для построения в старших классах общего понятия функции, осознания целесообразности его введения и практической значимости.
Логическая линия
Достаточно серьезное внимание уделяется в курсе развитию логической линии при изучении арифметических, алгебраических и геометрических вопросов программы. Все задания курса математики «Учусь учиться» требуют от учащихся выполнения логических операций (анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия, классификация), способствуют развитию познавательных процессов: воображения, памяти, речи, логического мышления.
В начальной школе в рамках изучения логической линии учащиеся осваивают математический язык, учатся читать математический текст, использовать математические термины для описания явлений окружающего мира. В процессе вычислений, решения задач, уравнений, геометрических построений они проверяют истинность высказываний, строят свои суждения на математическом языке и обосновывают их с опорой на согласованный способ действий (эталон). Уже в 3 классе учащиеся знакомятся с языком множеств, различными видами высказываний (частное, общее, о существовании), со сложными высказываниями с союзами «и» и «или», приобретают опыт их доказательства и опровержения.
На этой основе в 5–6 классах логическая линия разворачивается в цепочку взаимосвязанных вопросов: математический язык – высказывания – доказательство – методы доказательства – определения – равносильные предложения – отрицание – логическое следование – теорема и т.д. Таким образом, учащиеся получают возможность полноценно подготовиться к изучению математики в старших классах и к решению разнообразных жизненных проблем логического характера.
Линия анализа данных
Линия анализа данных целенаправленно формирует у учащихся информационную грамотность, умение самостоятельно получать информацию – из наблюдений, справочников, энциклопедий, Интернет-источников, бесед; работать с полученной информацией: анализировать, систематизировать и представлять в форме схем, таблиц, конспектов, диаграмм и графиков; делать выводы; выявлять закономерности и существенные признаки; проводить классификацию; осуществлять систематический перебор вариантов; строить и исполнять алгоритмы.
Уже в начальной школе учащиеся знакомятся с деревом возможностей, с различными видами программ: линейными, разветвленными, циклическими. Систематическое построение и использование алгоритмов для обоснования своих действий и самопроверки результатов помогает успешнее изучить многие традиционно трудные вопросы программы (например, порядок действий в выражениях, действия с многозначными числами и др.).
В 5–6 классах эта работа продолжается, причем информационные умения формируются как на уроках, так и во внеурочной проектной деятельности, кружковой работе, при создании собственных информационных объектов: презентаций, сборников задач и примеров, стенгазет и информационных листков и т.д. В ходе этой деятельности учащиеся овладевают началами компьютерной грамотности и навыками работы с компьютером, необходимыми для обучения в школе и современной жизни.
Линия моделирования
В рамках линии моделирования (линии текстовых задач) учащиеся овладевают всеми видами математической деятельности, осознают практическое значение математических знаний, у них формируются универсальные учебные действия, развивается мышление, воображение, речь.
Знания, полученные детьми при изучении различных разделов курса, находят практическое применение при решении текстовых задач. В начальной школе учащиеся знакомятся с решением простых и составных текстовых задач на смысл арифметических действий, разностное и кратное сравнение (содержащих отношения «больше на…, в …», «меньше на…, в …»), на зависимости величин вида a = bc (путь, скорость, время; стоимость, цена, количество товара; работа, производительность, время работы и др.). Особенностью курса является то, что после системной отработки небольшого числа базовых типов задач учащимся предлагается широкий спектр разнообразных структур, состоящих из базовых элементов, но содержащих некоторую новизну, что развивает у них умение действовать в нестандартной ситуации.
Система подбора и расположения задач создает возможность для их сравнения, выявления сходства и различия, взаимосвязей между ними (взаимно обратные задачи, задачи, имеющие одинаковую математическую модель и др.). Особое внимание уделяется обучению самостоятельному анализу текстовых задач. Учащиеся выявляют величины, о которых идет речь в задаче, устанавливают взаимосвязи между ними, составляют модели условия с помощью схем и таблицы, составляют и реализуют план решения, обосновывая каждый свой шаг. Они учатся давать полный ответ на вопрос задачи, находить различные способы их решения и выбирать наиболее рациональные, самостоятельно составлять задачи по заданной модели (выражению, схеме, таблице), используя при этом тот язык и инструментарий, который принят в средней школе.
Освоение общих методов построения плана решения составных задач (аналитического, синтетического, аналитико-синтетического) «наводит порядок» в мышлении детей и тем самым сокращает время на их изучение. В освободившееся время дети знакомятся с новыми типами задач – задачами на дроби (три типа) и на одновременное равномерное движение двух объектов (четыре типа), у них формируется представление о проценте, что создает прочную базу для успешного освоения ими данных традиционно трудных разделов программы 5–6 классов, и в целом, для освоения общего метода математического моделирования.
Источник: www.sch2000.ru
Основные содержательные компоненты начального курса математики, их взаимосвязь
Начальный курс математики, изучаемый в I—IV классах школы, является органической частью школьного курса математики. Это значит, что курс математики для V—X классов — продолжение начального курса, а начальный курс — его исходная база. В соответствии с этим начальный курс математики включает арифметику целых неотрицательных чисел и основных величин, элементы алгебры и геометрии.
Начальный курс математики имеет свои особенности построения.
Такая связь дает возможность, с одной стороны, раньше приобщить детей к идеям алгебры и геометрии и с другой — достичь более высокого уровня усвоения младшими школьниками арифметических знаний.
Арифметический материал вводится концентрически. Сначала изучается нумерация чисел первого десятка, которые не подлежат десятичному расчленению, вводятся цифры для записи этих чисел, изучаются действия сложения и вычитания.
Затем рассматривается нумерация чисел в пределах 100, раскрывается понятие разряда, позиционный принцип записи чисел, которые подлежат десятичному расчленению, изучается сложение и вычитание двузначных чисел, вводятся два новых арифметических действия: умножение и деление. Далее изучается нумерация чисел в пределах 1000.
Здесь рассматриваются три разряда (единицы, десятки, сотни), составляющие основу нумерации многозначных чисел, обобщаются знания об арифметических действиях, вводятся приемы письменного сложения и вычитания. Наконец, изучается нумерация многозначных чисел, рассматривается понятие класса, обобщается знание принципа поместного значения цифр, изучаются приемы письменных вычислений. Таким образом, в курсе выделены четыре концентра: десяток, сотня, тысяча, многозначные числа. Одновременно и в тесной связи с рассмотрением нумерации и арифметических действий изучаются другие вопросы: величины, дроби, алгебраический и геометрический материал.
Схематически расположение материала изображено на рисунке.
Выделение именно таких концентров объясняется особенностями десятичной системы счисления и вычислительных приемов: в каждом концентре раскрываются новые вопросы, связанные с системой счисления и арифметическими действиями. Как показал опыт, концентрическое расположение материала соответствует возможностям младших школьников: обучение математике начинается с небольшой области чисел, доступной детям и известной им до школы; эта область чисел постепенно расширяется, и постепенно вводятся новые понятия; при таком построении курса обеспечивается систематическое повторение и вместе с тем углубление изученного, так как полученные ранее знания, умения и навыки находят применение в новой области чисел. Все это способствует лучшему усвоению курса.
Математические понятия, свойства, закономерности раскрываются в курсе в их взаимосвязи. Это не только связь между арифметическим, алгебраическим и геометрическим материалом, но и так называемые внутренние связи между различными понятиями курса, свойствами, закономерностями. Так, при изучении арифметических действий раскрываются их свойства, связи и зависимости между их компонентами и результатами. Это дает возможность глубже раскрыть понятие арифметических действий, обогатить детей функциональными представлениями. Такое построение обеспечивает более глубокое усвоение курса, так как учащиеся будут овладевать не только отдельными вопросами курса, но одновременно и связями между ними.
Арифметический материалвключает нумерацию целых неотрицательных чисел и арифметические действия над ними, сведения о величинах, их измерении и действиях над ними, понятие о дробях.
Изучение этого материала должно привести учащихся к усвоению системы математических понятий, а также к овладению прочными и осознанными умениями и навыками.
Число нуль трактуется в начальном курсе как количественная характеристика класса пустых множеств. Включение в начальный курс математики числа и цифры нуль позволяет расширить числовую область и создать надлежащие условия для овладения учащимися областью целых неотрицательных чисел. Нуль как число и как цифра вводится в I классе.
Сначала нуль рассматривается как цифра, обозначающая на линейке начало отмеривания, затем вводится число нуль при вычитании вида: 2—2, 3 — 3, что соответствует правильному толкованию сущности этого нового числа как количественной характеристики класса пустых множеств. Далее нуль выступает как компонент действий первой ступени: 5 + 0, 0 + 9, 8—0, 0+0, О—О, а при изучении действий умножения и деления (II класс) как компонент этих действий: 0-4, 3-0, 0-0, 0:4. Здесь же рассматривается невозможность деления на нуль. Цифра нуль используется для обозначения отсутствия единиц какого-либо разряда в записи числа (70, 30000, 204).
В начальных классах дается наглядное представление о дроби. Во II классе вводится понятие доли как одной из равных частей целого (круга, куска шпагата.), дается запись долей. Поскольку суть понятия доли очень ярко раскрывается при решении задач на нахождение доли от числа и числа по его доле, то эти задачи включены в курс, изучаемый во II классе. В III классе вводится дробь как совокупность долей, запись дроби, преобразование и сравнение дробей на задачи на нахождение дроби числа.
Понятие о системе счисленияраскрывается при концентрическом построении курса постепенно, в процессе изучения нумерации натуральных чисел и арифметических действий над ними. При этом понятие разряда, класса, разрядной и классной единицы, разрядного числа, как уже указывалось, находит свое развитие от концентра к концентру, т. е. постепенно вводятся новые разряды и классы, их название и в связи с этим рассматриваются образование, название, запись и чтение чисел, их десятичный состав.
Арифметические действиязанимают центральное место в начальном курсе математики. Это сложный и многогранный вопрос. Он включает раскрытие конкретного смысла арифметических действий, свойств действий, связей и зависимостей между компонентами и результатами действий и между самими действиями, а также формирование вычислительных умений и навыков, умений решать арифметические задачи.
Как и другие математические понятия, каждое арифметическое действие раскрывается на конкретной основе в процессе выполнения операций над множествами: сложение — на основе операции объединения множеств, не имеющих общих элементов, вычитание — на основе операции удаления части множества (подмножества), умножение — на основе операции объединения множеств одинаковой численности и деление — на основе операции разбиения множества на ряд равночисленных непересекающихся множеств. Такой подход позволяет опереться на опыт детей и создать наглядную основу формируемого знания. Одновременно с раскрытием конкретного смысла каждого арифметического действия вводится соответствующая символика (знаки действий) и терминология: название действия, название компонентов и результатов действия. Здесь же начинается работа над понятием математического выражения, сначала рассматриваются простейшие выражения вида: 7 + 3, а позднее более сложные вида: 9— (2 + 3).
Начальный курс математики включает ряд свойств арифметических действий. Это переместительное свойство сложения и умножения, свойства прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы, прибавления суммы к числу, вычитания суммы из числа, прибавления суммы к сумме, вычитания суммы из суммы, умножения числа на сумму и суммы на число, деления суммы на число, умножения числа на произведение, деления числа на произведение.
Каждое из названных свойств раскрывается на основе практических операций над множествами или над числами, в результате чего учащиеся должны прийти к обобщению. Для усвоения свойств в курсе предусматривается система специальных упражнений, но главная сфера применения свойств — это раскрытие на их основе вычислительных приемов. Например, уже в Iклассе после изучения переместительного свойства сложения вводится прием перестановки слагаемых для случаев вида: 2+6; случаю 54 — 20 предшествует рассмотрение разных способов вычитания числа из суммы, на основе чего раскрывается вычислительный прием:
54-20= (50+4) -20= (50-20) +4 = 34.
Опираясь на конкретный смысл арифметических действий, их свойства, связи и зависимости между результатами и компонентами действий, а также десятичный состав чисел, раскрываются приемы устных и письменных вычислений. Такой подход к изучению приемов вычислений обеспечивает, с одной стороны, формирование осознанных умений и навыков, так как учащиеся смогут обосновать любой вычислительный прием, а с другой стороны, при такой системе лучше усваиваются свойства действий и другие вопросы курса.
Одновременно с изучением свойств арифметических действий и соответствующих приемов вычислений раскрываются на основе операций над множествами или над числами связи между компонентами и результатами арифметических действий (например, если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое), ведутся наблюдения за изменением результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов (например, если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а другое оставить без изменения, то сумма увеличится на столько же единиц).
В начальном курсе математики предусматривается система упражнений, направленных на выработку у учащихся вычислительных навыков. Это тренировочные упражнения различного характера: решение отдельных примеров, заполнение таблиц, подстановка числовых значений букв и нахождение значений полученных выражений. В формировании навыков предусматривается разная степень их автоматизации: навыки сложения и умножения табличных случаев и обратные по отношению к ним случаи вычитания и деления должны быть доведены до полного автоматизма (так, учащиеся должны быстро и правильно воспроизводить, что 3+8=11, 7×6 = 42, 12 — 5=7, 56_8=7). Автоматизируется и выполнение отдельных операций; например, при сложении чисел 18 и 7 быстро выполняются операции: 8 + 7=15, 10+15 = 25 или 7 = 2 + 5, 18 + 2 = 20, 20 + 5 = 25.
Все названные вопросы, относящиеся к арифметическим действиям, рассматриваются в тесной взаимосвязи друг с другом.
В связи с изучением арифметического материала вводятся элементы алгебры: на конкретной основе раскрываются понятия равенства, неравенства, уравнения, переменной.
Начиная с I класса рассматриваются числовые равенства и неравенства
Геометрический материалслужит главным образом целям ознакомления с простейшими геометрическими фигурами и развитию пространственных представлений школьников. Поэтому в начальный курс математики, начиная с I класса, включены геометрические фигуры: прямые, кривые и ломаные линии, точка, отрезок прямой, многоугольники (треугольник, четырехугольник.) и их элементы (вершины, стороны, углы), прямой угол, прямоугольник (квадрат), окружность, круг, центр и радиус круга. Учащиеся должны научиться различать эти фигуры, называть их и выполнять простейшие построения на клетчатой бумаге. Кроме того, они должны овладеть умением находить длину отрезка (I класс), длину ломаной и периметр многоугольника (II класс), площадь геометрической фигуры (III класс).Курс математики предусматривает разнообразные задачи геометрического характера, направленные на формирование пространственных представлений учащихся. Все вопросы геометрии раскрываются на наглядной основе.
В тесной связи с изучением арифметического, алгебраического и геометрического материала раскрывается понятие величиныи идея измерения величин. Ознакомление с такими величинами, как длина, масса, время, емкость, площадь, с единицами их измерения и с измерением величин выполняется практически и тесно связывается с формированием понятия числа, десятичной системы счисления и арифметических действий, а также с формированием понятия геометрической фигуры. Вследствие такой связи становится возможным вести обучение, опираясь на наглядные образы, связывая обучение с практической деятельностью детей.
Источник: allrefrs.ru