Что является математической моделью для программы вычисляющей корни квадратного уравнения

Математическое образование является обязательной и неотъемлемой частью общего образования на всех ступенях школы. Содержание математического образования в основной школе формируется на основе фундаментального ядра школьного математического образования. Математическое образование играет важную роль как в практической так и в духовной жизни общества. Практическая сторона математического образования связана с формированием способов деятельности, духовная – с интелектульным развитием человека, формированием характера и общей культуры.

Без базовой математической подготовки невозможно стать образованным современным человеком. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках.

§1. Логико-дидактический анализ содержания темы: «Методика обучения решению квадратного уравнения»

Логико-дидактический анализ – один из инструментов формирования и развития профессионально значимых умений учителя

7 класс, 3 урок, Что такое математическая модель

• видеть структуру содержания учебного предмета в целом,
• видеть логику построения основных линий и тем школьного курса математики,
• видеть особенности процесса формирования знаний и умений по тем или иным темам с учетом особенностей конкретных учащихся.

Логико-дидактический анализ темы – последовательность действий, которые условно объединяются в III блока:

1. целеполагания;
2. логико-математический анализ;
3. методический (дидактический) анализ.

Каждому из блоков соответствуют определенные цели и задачи

Логико-дидактический анализ является системообразующим фактором организации изучения учащимися темы. На основе логико-дидактического анализа

На изучение темы « Квадратные уравнения , 8 класс, учебник «Алгебра, 8 класс»: учебник для общеобразовательных учреждений /Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова/под ред. С. А.Теляковского 18-е изд., стер.

М.: Просвещение, 2013. по программе отводится 30 часов.

Рабочая программа составлена основе Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, рабочей программы к предметной линии учебников (УМК Ю.Н. Макарычев и др.)

Алгебра. Рабочие программы. Предметная линия учебников Ю.Н. Макарычев и др .7 – 9 классы: учеб. пособие для общеобразоват. организаций / Н. Г. Миндюк. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2016.

Тематическое планирование изучения данной темы представлено в таблице

Тематическое планирование, 4часа в неделю

Характеристика основных видов деятельности ученика

(на уровне учебных действий)

Решать квадратные уравнения. Находить подбором корни квадратного уравнения, используя теорему Виета. Исследовать квадратные уравнения по дискриминанту и коэффициентам. Решать дробные рациональные уравнения, сводя решение таких уравнений к решению линейных и квадратных уравнений с последующим исключением посторонних корней.

Решать текстовые задачи, используя в качестве алгебраической модели квадратные и дробные рациональные уравнения

Математическая модель задачи

Квадратное уравнение и его корни

Анализ контрольной работы № 5

Дробные рациональные уравнения

Тема: « Квадратные уравнения » изучается в 8 классе. Учащиеся должны уметь распознавать квадратные уравнения, решать их, исследовать по дискриминанту и коэффициентам. Решать текстовые задачи алгебраическим способом, переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления уравнения, решать составленное уравнение, интерпретировать результат.

При изучении этой темы в учебнике Макарычева рассматриваются понятия:

• определение квадратного уравнения
• понятие приведенного квадратного уравнения
• понятие неполного квадратного уравнения
• понятие дискриминанта
• вводятся формулы дискриминанта и корней уравнения

Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале этой темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям.

Термин, и объем понятия квадратного уравнения одинаковы. Понятие вводится посредством явного определения, что обязывает организовать работу по усвоению его формальных признаков. Это тем более необходимо, что соответствующие признаки существенно используются при построении теории квадратных уравнений, в частности при выводе формулы корней и в теореме Виета.

Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть осуществлен следующим способом: сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением к уравнению = 0 или к уравнению . Приходиться использовать выделение полного квадрата в трехчлене , сводящее уравнение к двучленному. Выделение последовательности шагов, приводящих к решению квадратных уравнений, проводится сначала на конкретных примерах.

Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В результате исследования формулируется вывод: «Если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то оно не имеет действительных корней; если дискриминант равен нулю, то имеется один корень, равный ; если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня ».

Учитывая этот вывод, решение конкретных квадратных уравнений проводится следующим образом: сначала вычисляется дискриминант, сравнивается с нулем, и если он неотрицателен, то применяются формулы для нахождения корней.

Кроме основной формулы для корней квадратного уравнения , приводятся еще формулы корней уравнения или . Использование этих формул упрощает вычисления.

При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются и неполные квадратные уравнения. Они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. Хотя различные виды неполных квадратных уравнений имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы.

В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной – только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета. Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того, чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители.

Далее рассматриваются дробные рациональные уравнения (§9). Отрабатывается алгоритм решения таких уравнений.

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Умножить на общий знаменатель обе части уравнения.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
· преобразования данного уравнения к простейшим;
· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

На последующих уроках рассматриваются задачи на составление рациональных уравнений.

Владение теорией квадратных уравнений существенно расширяет возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры. Так, прямо сводятся к квадратным дробно-рациональные уравнения вида и биквадратные уравнения. Еще один класс составляют алгебраические уравнения, которые разложением на множители могут быть сведены к линейному и квадратному уравнениям.

Богатство и разнообразие приемов, имеющихся у учащихся, овладевших сведением различных уравнений к квадратным, служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения методов решения уравнений. Особенно это сказывается на приложении к алгебраическому методу решения текстовых задач. Сюжеты их становятся более разнообразными, возрастает так же сложность перевода на язык математики.

Таим образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
· преобразования данного уравнения к простейшим;
· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать:
· формулу нахождения дискриминанта;
· формулу нахождения корней квадратного уравнения;
· алгоритмы решения уравнений данного вида;
уметь:
· решать неполные квадратные уравнения;
· решать полные квадратные уравнения;
· решать приведенные квадратные уравнения;
· делать проверку.

Анализ математических задач по теме показал, что в учебнике Макарычева задания разбиваются на уровни: подчеркнутые номера – это задания обязательного уровня, выделенные номера – это задания повышенной сложности, отдельно выделены задания для повторения.

Источник: nsportal.ru

Решение квадратных уравнений: формула, примеры

Решение квадратных уравнений представляет собой решение уравнения вида: a·x 2 +b·x+c=0,
где x – переменная, a, b и c – коэффициенты квадратного уравнения. При этом:
a — первый (старший) коэффициент, который не равен нулю (a ≠ 0),
b – второй коэффициент,
c — свободный член.

Важно: если квадратное уравнение имеет вид a·x 2 –b·x–c=0, то второй коэффициент будет равен (–b), а свободный член (–c), то есть в качестве коэффициентов будут отрицательные числа.

Также квадратное уравнение называют уравнением второй степени, так как оно представляет собой уравнение, содержащее переменную во второй степени.

Примеры квадратного уравнения: 9x 2 +16x+2=0; 7x 2 +3x+11=0 и т.п.

Найти корень уравнения — значит найти такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Формула для решения квадратного уравнения

x =( -b ± √D)/2a, где
D = b 2 − 4ac (D-дискриминант)

Таким образом, решение квадратного уравнения сводится к нахождению от 0 до 2 корней в зависимости от значения дискриминанта (возможно Вас заинтересует как находить корни):

D>0 — уравнение имеет 2 корня: x1 =( -b+√D)/2a, x2 =( -b-√D)/2a
D=0 — уравнение имеет 1 корень: x =( -b)/2a
D — уравнение не имеет корней

При решении квадратных уравнений важно помнить законы математики:

Скачать программу, которая формирует квадратные уравнения. В программе можно выбрать уровень сложности (наличие коэффициента для неизвестного, полные и неполные квадратные уравнения ).

Примеры решений квадратных уравнений

Пример 1. D > 0, уравнение имеет 2 различных корня:
2x 2 + 7x — 4 = 0
a = 2, b = 7, c = -4
D = 7 2 — 4 • 2 • (- 4) = 81 > 0
x1 = (-7 — 9) / (2•2) = — 4
x2 = (-7 + 9) / (2•2) = 1/2

Пример 2. D = 0, уравнение имеет один корень:
x 2 — 4x + 4 = 0
D = (-4) 2 — 4 • 1 • 4 = 0
x =(-4 ± 0 ) / ( 2•1) = 2

Проверить правильность решения можно с помощью калькулятора решения квадратного уравнения.

Решение квадратных уравнений путем р азложения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле:
ax 2 + bx + c = a(x — x1)(x — x2)

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

• Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, где старший коэффициент равен единице.
  Например: x 2 — 2x + 6 = 0; x 2 — x — 1/4 = 0. В каждом из них старший коэффициент равен единице, значит уравнение называется приведенным.
• Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.
  Например: 2x 2 − 4x — 12 = 0. Первый коэффициент отличен от единицы, значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент. При этом у преобразованного уравнения будут те же корни, что и у первоначального.

Полные и неполные квадратные уравнения

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.
Если a = 0, то уравнение будет иметь вид линейного: bx + c = 0.

• Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + c = 0.
• Если c = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + bx = 0.
• Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 = 0.

Решение неполных квадратных уравнений

ax 2 = 0

Уравнение ax 2 = 0 выполняется в том случае, если один из множителей равен нулю.

• Если a ≠ 0, тогда x 2 = 0, следовательно x=0;
• Если a = 0, тогда x 2 — любое число.

Пример: 6x 2 = 0.
Решение: 6x 2 = 0, x 2 = 0, x = √0, x = 0

ax 2 + с = 0

Для решения квадратного уравнения такого вида нужно перенести c в правую часть: ax 2 = — c, а затем
разделить обе части на a: x 2 = — c/а.

Пример 1. 8x 2 + 32 = 0.
Решение: 8x 2 = — 32, x 2 = — 4. В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.
Пример 2. 8x 2 — 32 = 0.
Решение: 8x 2 = 32, x 2 = 4. Ответ: x1=2, x2=-2.

ax 2 + bx = 0

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Для этого вынесем за скобки общий множитель x. Получим: x * (ax + b) = 0.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

• x = 0, корень которого равен x = 0;
• ax + b = 0, линейное уравнение, корень которого равен: x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 имеет два корня.

Пример. 0,5×2 + 0,125x = 0
Решение: х(0,5x + 0,125) = 0. Получаем два уравнения:
1) x = 0
2) 0,5x + 0,125 = 0; 0,5x = 0,125; x = 0,125/0,5; x = 0,25.
Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Скачать программу, которая формирует квадратные уравнения. В программе можно выбрать уровень сложности (наличие коэффициента для неизвестного, полные и неполные квадратные уравнения ).

Если вам показалось очень сложным решение квадратных уравнений, то возможно нужно повторить правила и свойства решения простых уравнений.

Для решения уравнений вам также могут понадобится темы: раскрытие скобок и порядок действий в примерах.

Источник: intmag24.ru

INTEMODINO
SMART APPS FOR EVERYONE

Business Contact Book — профессиональный и удобный в использовании менеджер контактов. Приложение имеет множество полезных функций, включая расширенный поиск, сортировку, различные настройки печати, автоматическое резервное копирование и многое другое.

JustNoteIt

Заметки на рабочий стол для Mac и Windows

Приложение JustNoteIt предлагает все функции для того, чтобы Вы могли легко редактировать, систематизировать, а также обмениваться и управлять информацией, мгновенно получая доступ к заметкам.

Fractions Pro — Калькулятор дробей со скобками и степенями

Интуитивный, функциональный и простой в использовании калькулятор

Многофункциональный и хорошо продуманный калькулятор дробей, который позволяет выполнять математические, инженерные и научно-технические расчеты. Благодаря новому усовершенствованному дизайну, продуманному алгоритму и расширенным функциям, теперь проще, чем когда-либо, рассчитать все, что вам нужно.

Математические приложения и калькуляторы

Генератор случайных чисел

Генератор случайных чисел, или сокращенно ГСЧ — удобное приложение для генерации случайных чисел на основе Ваших предпочтений.

Здоровье и Фитнес

Лучшие приложения для здоровья и фитнеса

BMI калькулятор — Калькулятор индекса массы тела ИМТ и идеального веса
Калькулятор основного обмена веществ (базовой скорости обмена веществ или метаболизма).
Калькулятор суточной нормы калорий с учётом уровня физической активности.

С помощью нашего калькулятора Вы можете легко подсчитать сколько калорий Вы сжигаете во время бега, исходя из расстояния / скорости / темпа и продолжительности.

Источник: ru.intemodino.com