3.1. Линейное программирование как инструмент математического моделирования экономики
Линейное программирование сформировалось как отдельный раздел прикладной математики в 40 – 50-х гг. ХХ в. благодаря работам советского ученого, лауреата Нобелевской премии Л.В. Канторовича. В 1939 году им была опубликована работа «Математические методы организации и планирования производства», в которой он с использованием математики решил экономические задачи о наилучшей загрузке машин, раскрое материалов с наименьшими расходами, распределении грузов по нескольким видам транспорта и другие, предложив метод разрешающих множителей 8 .
Л.В. Канторович впервые сформулировал такие широко используемые экономико-математические понятия, как оптимальный план, оптимальное распределение ресурсов, объективно обусловленные оценки, указав многочисленные области экономики, где они могут быть применены.
Понятие линейного программирования было введено американским математиком Д. Данцигом, который в 1949 г. предложил алгоритм решения задачи линейного программирования, получивший название «симплексный метод».
АЛГОРИТМЫ в ПРОГРАММИРОВАНИИ для новичков | Левенштейн, Фибоначчи, Факториал и т.д.
Математическое программирование, в которое входит линейное программирование, в настоящее время является одним из направлений исследования операций. В зависимости от вида решаемых задач в нем выделяют такие области, как линейное, нелинейное, дискретное, динамическое программирование и др. Термин «программирование» введен в связи с тем, что неизвестные переменные, которые находятся в процессе решения задачи, обычно определяют программу или план работы некоторого экономического объекта.
В классическом математическом анализе исследуются общая постановка задачи определения условного экстремума. Однако в связи с развитием промышленного производства, транспорта, агропромышленного комплекса, банковского сектора традиционных результатов математического анализа оказалось недостаточно. Потребности практики и развитие вычислительной техники привели к необходимости определения оптимальных решений при анализе сложных экономических систем.
Главным инструментом для решения таких задач является математическое моделирование. При этом сначала строится простая модель, затем проводится ее исследование, позволяющее понять, какие из интегрирующих свойств объекта не улавливаются формальной схемой, после чего за счет усложнения модели обеспечивается большая ее адекватность реальности. Во многих случаях первым приближением к действительности является модель, в которой все зависимости между переменными, характеризующими состояние объекта, являются линейными. Практика показывает, что достаточное количество экономических процессов достаточно полно описывается линейными моделями. Следовательно, линейное программирование как аппарат, позволяющий отыскивать условный экстремум на множестве, заданном линейными уравнениями и неравенствами, играет важную роль при анализе этих процессов.
Линейное программирование получило широкое развитие в связи с тем, что было установлено: ряд задач сферы планирования и управления может быть сформулирован в виде задач линейного программирования, для решения которых имеются эффективные методы. По оценкам специалистов примерно 80–85 % всех решаемых на практике задач оптимизации относится к задачам линейного программирования.
Созданный математический аппарат в сочетании с компьютерными программами, производящими трудоемкие расчеты, позволяет широко использовать модели линейного программирования в экономической науке и практике.
Определение 1 9 .Линейное программирование (ЛП) – это область математического программирования, являющегося разделом математики и изучающего методы поиска экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции конечного числа переменных, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.
Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые представляют количественные соотношения между переменными, выражающие условия и требования экономической задачи и математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений.
К задачам линейного программирования сводится широкий круг вопросов планирования экономических процессов, где ставится задача поиска наилучшего (оптимального) решения.
Общая задача линейного программирования (ЗЛП) состоит в нахождении экстремального значения (максимума или минимума) линейной функции, называемой целевой 10 :
(3.1)
от n переменных x1, x2, …, хn при наложенных функциональных ограничениях:
(3.2)
и прямых ограничениях (требовании неотрицательности переменных)
, (3.3)
где aij, bi, cj – заданные постоянные величины.
В системе ограничений (3.2) знаки «меньше или равно», «равно», «больше или равно» могут встречаться одновременно.
ЗЛП в более краткой записи имеет вид:
,
;
.
Вектор Х = (x1, x2, …, хn) компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи называют планом (или допустимым решением) ЗЛП.
Все допустимые решения образуют область определения задачи линейного программирования, или область допустимых решений (ОДР). Допустимое решение, которое доставляет максимум или минимум целевой функции f(X), называется оптимальным планом задачи и обозначается f(X * ), где Х * =(x1 * , x2 * , …, хn * ).
Еще одна форма записи ЗЛП:
,
где f(X * ) есть максимальное (минимальное) значение f(С, х), взятое по всем решениям, входящим в множество возможных решений Х.
Определение 2 11 . Математическое выражение целевой функции и ее ограничений называются математической моделью экономической задачи.
Для составления математической модели необходимо:
1) обозначить переменные;
2) составить целевую функцию исходя из цели задачи;
3) записать систему ограничений, учитывая имеющие в условии задачи показатели и их количественные закономерности.
Источник: studfile.net
Линейное программирование
Под линейным программированием, также известным как линейная оптимизация, понимается метод определения наилучшего результата, получаемого с использованием линейной математической модели и задания множества ограничений.
Этот инструмент позволяет решать проблемы, связанные с минимизацией и максимизацией задаваемых условий, например достижения максимальной прибыли при минимальных затратах. Так, вводя ограничения на количество материалов и затраты труда, вы могли бы использовать линейное программирование для определения «лучшего» уровня производства, позволяющего добиться максимальной прибыли в этих условиях.
Первоначально он был разработан в 1937 г. Леонидом Канторовичем и во время Второй мировой войны применялся как способ планирования расходов и результатов, позволяющий, с одной стороны, сократить затраты на армию, а с другой — добиваться максимальных потерь у врага. Метод держался в секрете до 1947 г. — именно в этот год Джордж Данциг в значительной степени его упростил, после чего он стал применяться не только для военных целей.
В настоящее время линейное программирование широко используется в различных областях, включая бизнес, экономику и инженерное дело, для поиска оптимального решения при наличии различных линейных соотношений и ограничений.
Когда следует применять инструмент
Линейное программирование является частью очень важной и полезной области математики, называемой методами оптимизации. Очевидно, возможность оптимизировать свои ресурсы является одним из важных умений, помогающим добиваться успеха не только в бизнесе, но и в других сферах. Вы можете прибегнуть к этому инструменту, если у вас есть ряд ограничений, например по времени, сырью, числу работников, марже прибыли, и вы хотите узнать, какая комбинация составляющих является лучшей или куда следует направить свои ресурсы для получения максимальной прибыли.
По существу, линейное программирование является процессом распределения ресурсов, результаты которого могут помочь принимать более обоснованные решения и повысить доход.
С его помощью можно промоделировать множество задач различных типов, таких как планирование, маршрутизация, распределение ресурсов и проектирование.
К числу отраслей, в которых используется этот инструмент, относятся, помимо прочих, транспортная, энергетическая, телекоммуникационная и производственная.
Вопросы, на которые можно получить ответ с помощью инструмента
Линейное программирование может помочь вам решить, как лучше распределить ваши ресурсы, чтобы добиться результатов, максимально возможных в имеющихся условиях. В частности, оно позволит вам ответить на следующие и им подобные вопросы.
- Как я могу наилучшим образом распределить ресурсы, чтобы оптимизировать процессы?
- Как мне лучше всего использовать ресурсы, чтобы добиться максимальной прибыли?
- Какой маршрут доставки, учитывая наши ограничения, является оптимальным?
- Каковы оптимальные затраты сил, позволяющие получить на выходе максимальный объем продукции?
Как следует пользоваться инструментом
Первым шагом при применении линейного программирования является определение ваших контрольных переменных (обычно обозначаемых х и у). Затем нужно задать целевую функцию, т. е. определить, что именно вы пытаетесь максимизировать или минимизировать. После этого нужно в виде неравенств ввести ограничения, относящиеся к контрольным переменным. И, наконец, сформулированную задачу следует решить графически.
Полученный график в наглядном виде представляет неравенства, которые в совокупности на плоскости, заданной координатами х и у, образуют «огороженную» зону. Эта зона называется «областью допустимых решений»; ее положение на графике позволяет определить координаты углов этой области.
Это делается путем нахождения точек пересечения различных пар применяемых линий. После их определения вы можете проверить эти угловые точки с помощью уравнения оптимизации, чтобы найти ту, которая имеет наибольшее или наименьшее значение.
Если вы хотите узнать больше о линейном программировании и о том, как следует пользоваться этим инструментом, обратитесь к поисковым системам, или воспользуйтесь соответствующими инструментами программного обеспечения, которые могут вам помочь.
Практический пример
Следующий пример и графики были взяты по ссылке http://www. thestudentroom.со.Uk/wiki/revision:linear_programming. Допустим, вы руководите заводом, на котором производятся два основных изделия — продукт х и продукт у. Однако у вас столько производственных линий и людей, работающих на них, что каждый раз завод может производить лишь один продукт. Число имеющихся у вас работников и продолжительность их труда при производстве любого из двух продуктов одинаковы, то же самое верно и в отношении ресурсов, используемых для производства каждого из них, а вот цена продажи единицы каждого продукта и число продаваемых единиц разные.
Вы пока до конца не разобрались в том, как вам следует распределять различные ресурсы, имеющиеся на вашем заводе. Вы можете использовать свой опыт и изучить прошлые данные. В этом есть смысл, но вы не можете избавиться от ощущения, что должен быть более подходящий способ решения этой задачи, и поэтому вы решили прибегнуть к линейному программированию, чтобы его результаты помогли вам в процессе принятия решений.
Контролируемыми переменными в вашем случае являются продукты х и у, а. целевая функция формулируется так: выяснить, как можно максимизировать прибыль. Вы определили, что у вас имеются следующие ограничения:
- для производства единицы продукта х, реализация которого приносит 12 условных единиц прибыли, нужно 6 ч; для производства единицы продукта у, реализация которого приносит 6 условных единиц прибыли, нужно 4 ч;
- из-за различных ограничений завод может произвести максимум 400 единиц любого продукта;
- всего на производство продуктов вы можете выделить 1700 ч.
Получившаяся в конечном счете область допустимых решений показана на следующем графике.
Вы знаете, что прибыль является максимальной в одном из углов этой области. Чтобы определить, в каком именно, проведите линию с таким же наклоном, как у целевой функции, и переместите эту линию ближе к области допустимых решений. Прибыль будет максимальной в том ее угле, которого эта линия коснется первой.
На втором графике линия целевой функции касается области допустимых решений в угловой точке с координатами 400 и 250.
Это означает, что для получения максимальной прибыли с имеющимися у вас ресурсами вам необходимо произвести 400 единиц продукта х и 250 единиц продукта у, в результате чего вы получите прибыль в размере 6300.
О чем не нужно забывать
В производственном процессе очень легко возникают самые разные узкие места, из-за чего всегда приходится выяснять, как лучше всего в возникшей ситуации использовать имеющиеся у вас ресурсы. Если вы не будете внимательно отслеживать ход производства, одни виды оборудования могут простаивать, в то время как другие работать с перегрузкой. Линейное программирование может помочь вам выявить подобные проблемы и наилучшим образом использовать большую часть имеющихся у вас ресурсов.
Конечно, сказанное по-настоящему полезно только для тех задач, которые можно выразить в виде линейных уравнений (графически представленных прямой линией). Не все ограничения являются полезными, так как в некоторых таких случаях воспользоваться линейным программированием не удастся. К тому же всегда есть и другие факторы, которые вам, возможно, придется принять во внимание, такие как погодные условия или более широкие рыночные условия. Используйте линейное программирование как инструмент для принятия решений, но не полагайтесь полностью на полученные с его помощью результаты без учета того, как на эти результаты могли повлиять другие неопределенные факторы.
Источник: chiefengineer.ru
Лучшее программное обеспечение для линейного программирования для Windows [Руководство по 2020]
Сегодня мы попытаемся ответить на вопрос « Какое программное обеспечение лучше всего подходит для линейного программирования? «Ну, линейное программирование (ЛП), как правило, требует много времени. Это, возможно, причина, почему разработчикам программного обеспечения для линейного программирования потребовалась целая вечность.
Но, похоже, все, наконец, повернуло за угол, если что-то не заставит долго ждать появления какого-то сверхмощного программного обеспечения для линейного программирования.
Используя надежные основы моделирования, эти программы способны минимизировать или максимизировать линейные ограничения с учетом некоторых линейных равенств и / или неравенств для получения оптимизированных решений.
И их удивительные способности делают их любимыми для профессионалов исследования операций.
Как работает программное обеспечение для линейного программирования
Программное обеспечение LP включает в себя структуры, которые зависят от традиционных алгоритмов линейного программирования, таких как симплекс и архитектура поддержки.
Это, плюс варианты других математических методов, позволяют быстро и эффективно решать задачи оптимизации.
Некоторые применяют традиционный подход Excel Solver, а другие используют тактику моделирования для решения сложных задач линейного программирования.
Итак, что такое лучшее программное обеспечение для линейного программирования?