Сложность алгоритма – это понятие, характеризующее ресурсозатратность алгоритма, как временную (сколько времени нужно центральному процессору для обработки данных), так и связанную с памятью (какой объём памяти ЭВМ требуется для программной реализации алгоритма).
Поскольку эти ресурсы ограничены, то для программиста очень важно разрабатывать эффективные алгоритмы, то есть такие алгоритмы, которые позволят максимально сэкономить машинные ресурсы в процессе компьютерных вычислений.
Как правило, за эффективность алгоритма при решении какой-либо задачи в основном на практике отвечает скорость получения результата. Существуют специальные способы оценки алгоритмов, позволяющие примерно определить время их выполнения, а также сравнить различные алгоритмы по своей эффективности с точки зрения временной сложности, ещё называемой вычислительной сложностью.
Результатом оценки оптимальности алгоритмов по времени является соответствующая им функция сложности (трудоёмкости), которая напрямую зависит от количества входных данных, необходимых для выполнения алгоритма, то есть от так называемого размера самой задачи. Чаще всего, для работы некоторого алгоритма потребуется тем больше времени, чем больше размер задачи, к решению которой он применяется.
СЛОЖНОСТЬ АЛГОРИТМОВ В ПИТОНЕ. ЧТО ЭТО ТАКОЕ И ЗАЧЕМ НУЖНО?
Размер задачи определяется в зависимости от специфики рассматриваемой задачи. Например, при составлении алгоритмов на умножение матриц размером задачи будет считаться наибольший порядок используемых матриц, а при работе в программе с одномерными массивами размер будет измеряться как максимальное из встречающихся количество элементов в массиве. Здесь можно привести и много других примеров. Так, при нахождении НОД двух чисел за размер задачи будет отвечать разрядность наименьшего числа, при вычислении значения некоторого многочлена – его степень, а при решении различных задач из области теории графов – число вершин и рёбер в рассматриваемых графах.
«Алгоритмы и анализ сложности»
Готовые курсовые работы и рефераты
Решение учебных вопросов в 2 клика
Помощь в написании учебной работы
Часто оказывается, что сложность алгоритма зависит не только от размера входных данных, но и от самих этих данных. Это связано с тем, что общее количество элементарных операций, которые центральному процессору компьютера потребуется выполнить для решения определённой задачи при реализации некоторого алгоритма может значительно отличаться в зависимости от входных данных. Так, например, сортировка в массиве может быть выполнена быстрее, если его элементы уже изначально отсортированы.
В связи с этим принято рассматривать понятие временной сложности алгоритма в трёх случаях – наилучшем, наихудшем и среднем. На практике при анализе работы любого алгоритма рекомендуется ориентироваться на самый худший случай. В качестве примера такого наихудшего случая можно привести ситуацию, когда при поиске нужной информации в базе данных оказалось, что она вообще отсутствует в этой базе данных.
Классификация алгоритмов по их сложности
Обычно, рассматривая степень сложности алгоритмов, имеют в виду их асимптотическую сложность. Для определения значения этой характеристики оценивают скорость или порядок роста времени выполнения алгоритма при увеличении размера подаваемых к нему на вход данных, устремляя полученную величину на бесконечность.
#1. О большое (Big O) — верхняя оценка сложности алгоритмов | Структуры данных
Известно, что алгоритм, который в таком асимптотическом смысле является более эффективным, будет более производительным для любых входных данных, за исключением задач очень небольшого размера. Поэтому вычисление асимптотической сложности алгоритма позволит определить допустимый размер задач, которые можно решать с помощью него.
По своей вычислительной сложности все алгоритмы подразделяются на несколько классов. Рассмотрим самые основные из них:
- линейный – класс алгоритмов с временной сложностью, выражаемой некоторой линейной функцией от размера задачи;
- полиномиальный – класс алгоритмов, временная сложность которых задаётся некоторой полиномиальной функцией, зависящей от размера задачи;
- экспоненциальный – класс алгоритмов с временной сложностью, которая задаётся некоторой экспоненциальной функцией от размера задачи.
Анализ сложности алгоритмов
Различия между этими классами алгоритмов становятся явно заметными при решении задач значительно большого размера. В представленной ниже таблице показана скорость нарастания времени исполнения алгоритмов из различных классов в зависимости от объёма входных данных (при их реализации на компьютере с быстродействием 106 операций в секунду).
Рисунок 1. Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Чтобы более подробно в общем виде представить такие различия, посмотрим на следующий рисунок, где изображены графики 6 функций, среди которых константа, линейная функция, квадратичная, кубическая, экспоненциальная функция и функция вида $log_2n$.
Рисунок 2. Графики функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Здесь мы можем наглядно проследить скорость возрастания каждой из этих функций, а также сравнить их поведение между собой, заметив некоторые изменения при соотношении графиков экспоненциальной, квадратичной и кубической функций.
Это означает, что эффективность применяемых видов алгоритмов может несколько меняться в зависимости от аргумента функции сложности алгоритма, то есть от размера задачи. Это и было продемонстрировано в таблице, где сравнивались полиномиальные и экспоненциальные алгоритмы.
Далее приведём примеры полиномиальных и экспоненциальных алгоритмов:
- Именно полиномиальные алгоритмы считаются наиболее эффективными. Примерами полиномиальных алгоритмов являются стандартные алгоритмы целочисленного сложения, умножения, деления, нахождения НОД, перемножения матриц, сортировки массивов, поиска данных и некоторые другие алгоритмы.
- К экспоненциальным алгоритмам относятся алгоритмы построения всех подмножеств заданного множества или всех поддеревьев заданного графа. При этом многие экспоненциальные алгоритмы значительно отличаются друг от друга по своей эффективности.
Замечание 1
Несмотря на то, что обычно задача считается сложной, если для её решения невозможно создать полиномиальный алгоритм, бывают и такие ситуации, в которых экспоненциальные алгоритмы оказываются довольно эффективными. Например, симплекс-метод, используемый для решения задач линейного программирования.
Источник: spravochnick.ru
Name already in use
A tag already exists with the provided branch name. Many Git commands accept both tag and branch names, so creating this branch may cause unexpected behavior. Are you sure you want to create this branch?
Cancel Create
web-developer-cheatsheet / General / Алгоритмическая сложность.md
- Go to file T
- Go to line L
- Copy path
- Copy permalink
This commit does not belong to any branch on this repository, and may belong to a fork outside of the repository.
Cannot retrieve contributors at this time
45 lines (22 sloc) 5.28 KB
- Open with Desktop
- View raw
- Copy raw contents Copy raw contents Copy raw contents
Copy raw contents
Сложность алгоритмов обычно оценивают по времени выполнения или по используемой памяти. В обоих случаях сложность зависит от размеров входных данных: массив из 100 элементов будет обработан быстрее, чем аналогичный из 1000. При этом точное время мало кого интересует: оно зависит от процессора, типа данных, языка программирования и множества других параметров. Важна лишь асимптотическая сложность, т. е. сложность при стремлении размера входных данных к бесконечности.
Допустим, некоторому алгоритму нужно выполнить 4n^3 + 7n условных операций, чтобы обработать n элементов входных данных. При увеличении n на итоговое время работы будет значительно больше влиять возведение n в куб, чем умножение его на 4 или же прибавление 7n . Тогда говорят, что временная сложность этого алгоритма равна О(n^3) , т. е. зависит от размера входных данных кубически.
Использование заглавной буквы О (или так называемая О-нотация) пришло из математики, где е е применяют для сравнения асимптотического поведения функций. Формально O(f(n)) означает, что время работы алгоритма (или объ ем занимаемой памяти) раст ет в зависимости от объ ема входных данных не быстрее, чем некоторая константа, умноженная на f(n) .
O(1) — константная сложность
Случается, что время работы алгоритма вообще не зависит от размера входных данных. Тогда сложность обозначают как O(1) . Например, для определения значения третьего элемента массива не нужно ни запоминать элементы, ни проходить по ним сколько-то раз. Всегда нужно просто дождаться в потоке входных данных третий элемент и это будет результатом, на вычисление которого для любого количества данных нужно одно и то же время.
O(n) — линейная сложность
Такой сложностью обладает, например, алгоритм поиска наибольшего элемента в не отсортированном массиве. Нам прид ется пройтись по всем n элементам массива, чтобы понять, какой из них максимальный.
O(log n) — логарифмическая сложность
Простейший пример — бинарный поиск. Если массив отсортирован, мы можем проверить, есть ли в н ем какое-то конкретное значение, методом деления пополам. Проверим средний элемент, если он больше искомого, то отбросим вторую половину массива — там его точно нет. Если же меньше, то наоборот — отбросим начальную половину. И так будем продолжать делить пополам, в итоге проверим log n элементов.
O(n^2) — квадратичная сложность
Такую сложность имеет, например, алгоритм сортировки вставками. В канонической реализации он представляет из себя два вложенных цикла: один, чтобы проходить по всему массиву, а второй, чтобы находить место очередному элементу в уже отсортированной части. Таким образом, количество операций будет зависеть от размера массива как n * n , т. е. n2 .
Источник: github.com
Сложность алгоритмов в программировании
Сложность алгоритмов в программировании — это тема, которая обсуждается и дискутируется на протяжении десятилетий. Алгоритмы являются основой любой компьютерной программы, и их сложность может оказать значительное влияние на производительность программы. В этой статье мы рассмотрим различные типы сложности алгоритмов и то, как они влияют на программирование.
Сложность алгоритмов можно разделить на две основные категории: временная сложность и пространственная сложность. Временная сложность — это количество времени, которое требуется алгоритму для выполнения своей задачи, а пространственная сложность — это объем памяти, который требуется алгоритму для выполнения.
Временная сложность
Временная сложность обычно измеряется в терминах нотации Big O, которая является математической нотацией, используемой для описания предельного поведения функции. Наиболее распространенными временными сложностями являются O(1), O(log n), O(n), O(n log n), O(n^2) и O(2^n).
Сложность O(1)
Также известная как постоянная временная сложность, означает, что время, необходимое алгоритму для выполнения операций, не зависит от размера входных данных. Это наиболее эффективный тип сложности алгоритма, поскольку для выполнения операций требуется одинаковое количество времени, независимо от размера входных данных. Например, доступ к элементу в массиве или хэш-таблице имеет временную сложность O(1).
Сложность O(log n)
Также известная как логарифмическая временная сложность, означает, что время, необходимое алгоритму для выполнения операций, увеличивается логарифмически с ростом размера входных данных. Это относительно эффективный тип сложности алгоритмов, который часто встречается в алгоритмах, использующих технику «разделяй и властвуй». Например, бинарный поиск имеет временную сложность O(log n), поскольку с каждой итерацией пространство поиска уменьшается вдвое.
Сложность O(n)
Также известная как линейная временная сложность, означает, что время, необходимое алгоритму для выполнения операций, линейно увеличивается с размером входных данных. Это умеренный тип сложности алгоритма, который обычно встречается в алгоритмах, перебирающих каждый элемент входных данных. Например, поиск максимального элемента в несортированном массиве имеет временную сложность O(n), поскольку для нахождения максимума необходимо сравнить каждый элемент.
Сложность O(n log n)
Также известная как линеарифмическая временная сложность, означает, что время, необходимое алгоритму для выполнения операций, увеличивается с ростом n, умноженным на логарифм n. Это относительно эффективный тип сложности алгоритмов, который часто встречается в алгоритмах сортировки, таких как сортировка слиянием (merge sort) и quicksort.
Сложность O(n^2)
Также известная как квадратичная временная сложность, означает, что время, необходимое алгоритму для выполнения операций, увеличивается квадратично с ростом размера входных данных. Это менее эффективный тип сложности алгоритма, который часто встречается в алгоритмах, включающих вложенные циклы. Например, пузырьковая сортировка имеет временную сложность O(n^2), поскольку она сравнивает каждый элемент с каждым другим элементом на входе.
Сложность O(2^n)
Также известная как экспоненциальная временная сложность, означает, что время, необходимое алгоритму для выполнения операций, увеличивается экспоненциально с ростом размера входных данных. Это наименее эффективный тип сложности алгоритма, который обычно встречается в алгоритмах, включающих перебор всех возможных комбинаций или перестановок входных данных. Например, подход грубой силы к решению задачи о путешествующем продавце имеет временную сложность O(2^n), поскольку он генерирует все возможные маршруты.
Пространственная сложность
Пространственная сложность, с другой стороны, относится к объему памяти, который требуется алгоритму для выполнения. Обычно она измеряется объемом памяти, используемой алгоритмом в его наихудшем сценарии.
Наиболее распространенными пространственными сложностями являются O(1), O(n), O(n^2) и O(2^n).
- O(1) пространственной сложности означает, что объем памяти, необходимый для выполнения операций алгоритма, не зависит от размера входных данных. Такие алгоритмы обычно используют константное количество памяти. Например, доступ к элементу в массиве или хэш-таблице имеет пространственную сложность O(1).
- O(n) пространственной сложности означает, что объем памяти, необходимый для выполнения операций алгоритма, растет линейно с размером входных данных. Такие алгоритмы обычно используют память, пропорциональную количеству элементов входных данных. Например, алгоритмы, которые хранят все элементы входных данных в памяти, имеют пространственную сложность O(n).
- O(n^2) пространственной сложности означает, что объем памяти, необходимый для выполнения операций алгоритма, растет квадратично с размером входных данных. Такие алгоритмы обычно используют матрицы или двумерные массивы для хранения данных, что приводит к увеличению объема памяти. Например, алгоритмы, которые используют матрицы для решения задачи о кратчайшем пути, имеют пространственную сложность O(n^2).
- O(2^n) пространственной сложности означает, что объем памяти, необходимый для выполнения операций алгоритма, растет экспоненциально с размером входных данных. Такие алгоритмы обычно используют рекурсию или динамическое программирование, что может привести к большому объему памяти для хранения промежуточных результатов. Например, алгоритмы, которые генерируют все возможные комбинации или перестановки входных данных, имеют пространственную сложность O(2^n).
Заключение
Сложность алгоритма — не единственный фактор, влияющий на производительность программы. Другие факторы, такие как аппаратные возможности, эффективность языка программирования и размер входных данных, также могут оказывать влияние. Поэтому при разработке и реализации алгоритмов необходимо учитывать все эти факторы.
Еще одним аспектом сложности алгоритма является компромисс между временной и пространственной сложностью. В некоторых случаях алгоритм можно оптимизировать либо по временной, либо по пространственной сложности, но не по обеим. Например, алгоритм с высокой временной сложностью может требовать меньше памяти, в то время как алгоритм с низкой временной сложностью может требовать больше памяти. Поэтому программистам необходимо тщательно взвешивать компромисс между временной и пространственной сложностью, исходя из конкретных требований своей программы.
Кроме того, стоит отметить, что сложность алгоритма не является фиксированной величиной. Она может меняться в зависимости от размера входных данных и других факторов. Поэтому программистам необходимо анализировать наихудший сценарий работы алгоритмов, чтобы точно определить их сложность.
Понимание сложности алгоритмов необходимо любому программисту, который хочет писать эффективные и оптимизированные программы. Выбирая подходящую сложность алгоритма для конкретной задачи и тщательно балансируя между временной и пространственной сложностью, программисты могут обеспечить бесперебойную и эффективную работу своих программ при минимальном использовании ресурсов.
ЧИТАЙ ТАКЖЕ:
- Как устроен EXE файл?
- Как работает процессор?
- Почему на собеседовании спрашивают алгоритмы и структуры данных?
Источник: dzen.ru